$r$ त्रिज्या का एक गोलाकार गुब्बारा एक प्रेक्षक की आँख पर $\alpha$ कोण बनाता है। यदि गुब्बारे के केंद्र का उन्नयन कोण $\beta$ है,तो गुब्बारे के केंद्र की ऊँचाई क्या है?

त्रिभुज $ABC$ में,यदि $a=7, c=11, \cos A=\frac{17}{22}, \cos C=\frac{1}{14}$ है,तो $b \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C-A}{2} =$

मान लीजिए $p_1, p_2, p_3$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों $A, B, C$ से खींचे गए शीर्षलंब हैं। यदि $r_1=4, r_2=6, r_3=12$ त्रिभुज $ABC$ की बहिःत्रिज्याएँ हैं,तो $\frac{1}{p_1^2}+\frac{1}{p_2^2}+\frac{1}{p_3^2}=$

एक त्रिभुज $PQR$ पर विचार करें जिसकी भुजाओं की लंबाई $p, q$ और $r$ है जो क्रमशः कोणों $P, Q$ और $R$ के विपरीत हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है (हैं)?
$(A)$ $\cos P \geq 1-\frac{p^2}{2qr}$
$(B)$ $\cos R \geq \left(\frac{q-r}{p+q}\right) \cos P + \left(\frac{p-r}{p+q}\right) \cos Q$
$(C)$ $\frac{q+r}{p} < 2 \frac{\sqrt{\sin Q \sin R}}{\sin P}$
$(D)$ यदि $p < q$ और $p < r$ है,तो $\cos Q > \frac{p}{r}$ और $\cos R > \frac{p}{q}$

माना $a, b, c$ त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं की लंबाई इस प्रकार है कि $\frac{a+b}{7}=\frac{b+c}{8}=\frac{c+a}{9}=k$ है। तो $\frac{(A(\triangle ABC))^2}{k^4}=$

$\triangle ABC$ में,यदि $b=10$,$a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = 15$ और त्रिभुज का क्षेत्रफल $15\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है,तो $\cot \frac{B}{2} =$