Bisector of angle between two lines Questions in Gujarati

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y + 4 = 0$ અને $L_2: 3x - 2y + 4 = 0$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ થી $L_1$ પરના લંબની લંબાઈ $d_1 = \frac{|2a + 3b + 4|}{\sqrt{13}}$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ થી $L_2$ પરના લંબની લંબાઈ $d_2 = \frac{|3a - 2b + 4|}{\sqrt{13}}$ છે.
આપેલ છે કે $d_1 = d_2$,તેથી $|2a + 3b + 4| = |3a - 2b + 4|$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2a + 3b + 4 = 3a - 2b + 4$ અથવા $2a + 3b + 4 = -(3a - 2b + 4)$.
કિસ્સો $1$: $2a + 3b + 4 = 3a - 2b + 4 \Rightarrow a - 5b = 0$.
કિસ્સો $2$: $2a + 3b + 4 = -3a + 2b - 4 \Rightarrow 5a + b + 8 = 0$.
આમ,$(a, b)$ નો બિંદુપથ $x - 5y = 0$ અથવા $5x + y + 8 = 0$ છે.

(A) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ એ બે સમાન બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકને લંબ હોય છે.
આપેલ રેખાઓ $7x-y+3=0$ અને $x+y-3=0$ છે.
તેમના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{7x-y+3}{\sqrt{50}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{2}}$ છે.
આને ઉકેલતા $x-3y+9=0$ અને $3x+y-3=0$ મળે છે.
ત્રીજી બાજુ આ દ્વિભાજકોને લંબ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $3x+y+k=0$ અથવા $x-3y+k=0$ સ્વરૂપમાં હશે.
બિંદુ $(2,-5)$ માંથી પસાર થતી રેખા માટે,$x-3y=17$ મળે છે.

(C) ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
રેખા $x+y+1=0$ એ ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવાથી,દ્વિભાજક અને આપેલી રેખા $2x+3y-4=0$ વચ્ચેનો ખૂણો,દ્વિભાજક અને જરૂરી રેખા વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હશે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે. આપેલી રેખાનો ઢાળ $m_2 = -2/3$ છે.
દ્વિભાજક અને આપેલી રેખા વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{-2/3 - (-1)}{1 + (-2/3)(-1)} \right| = \frac{1}{5}$.
હવે,જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ લેતા,$\tan \theta = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
બંનેને સરખાવતા: $\left| \frac{m+1}{1-m} \right| = \frac{1}{5}$.
ઉકેલતા $m = -3/2$ મળે છે.
$x+y+1=0$ અને $2x+3y-4=0$ નું છેદબિંદુ $(-7, 6)$ છે.
ઢાળ $m = -3/2$ અને બિંદુ $(-7, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 6 = -\frac{3}{2}(x + 7) \implies 3x + 2y + 9 = 0$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 7)$,$B(-5, -1)$ અને $C(-1, 2)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ જે $(1, 7)$ અને $(-5, -1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y - 7 = \frac{-1 - 7}{-5 - 1}(x - 1)$ $\Rightarrow y - 7 = \frac{-8}{-6}(x - 1)$ $\Rightarrow y - 7 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3y - 21 = 4x - 4 \Rightarrow 4x - 3y + 17 = 0$.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ જે $(-5, -1)$ અને $(-1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y + 1 = \frac{2 - (-1)}{-1 - (-5)}(x + 5) \Rightarrow y + 1 = \frac{3}{4}(x + 5)$
$4y + 4 = 3x + 15 \Rightarrow 3x - 4y + 11 = 0$.
$\angle ABC$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ:
$\frac{4x - 3y + 17}{5} = \pm \frac{3x - 4y + 11}{5}$
કિસ્સો $1$: $4x - 3y + 17 = 3x - 4y + 11 \Rightarrow x + y + 6 = 0$.
કિસ્સો $2$: $4x - 3y + 17 = -(3x - 4y + 11)$ $\Rightarrow 4x - 3y + 17 = -3x + 4y - 11$ $\Rightarrow 7x - 7y + 28 = 0$ $\Rightarrow x - y + 4 = 0$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x - y + 4 = 0$ એ સાચું સમીકરણ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(\frac{7}{3}-2)^2 + (\frac{4}{3}-(-1))^2} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle ABC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $AC$ ને $AB:BC = 3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ મળે છે.
દ્વિભાજક $B(2,-1)$ અને $D(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
તેનો ઢાળ $m = -3$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $3x + y = 5$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = 3$ અને $\beta = 1$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = 3^2 + 1^2 = 10$.

(D) રેખા $L_1$ એ $x = -3$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ $(y = x)$ નું છેદબિંદુ $A(-3, -3)$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_3$ $(y = -3x)$ નું છેદબિંદુ $B(-3, 9)$ મળે છે.
$L_2$ $(x - y = 0)$ અને $L_3$ $(3x + y = 0)$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3x + y}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x - y}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3x + y}{\sqrt{10}}$ અથવા $\sqrt{5}(x - y) = \pm (3x + y)$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{5}x - \sqrt{5}y = 3x + y \implies y = \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1}x$.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{5}x - \sqrt{5}y = -3x - y \implies y = \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 1}x$.
ગુરુકોણના દ્વિભાજકને ચકાસતા,$x = -3$ ને દ્વિભાજકના સમીકરણમાં મૂકતા બિંદુ $C$ મળે છે. અંતર $AC$ અને $BC$ ની ગણતરી કરતા,ગુણોત્તર $BC^2 : AC^2 = 3 : 2$ મળે છે.