Basic of Set theory Questions in Hindi

(A) समुच्चय $\emptyset $ एक रिक्त समुच्चय है,जिसमें कोई अवयव नहीं है।
परिभाषा के अनुसार,रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
अतः,$\emptyset $ का एकमात्र उपसमुच्चय स्वयं $\emptyset $ है।

(B) हम जानते हैं कि यदि $A$ एक समुच्चय है जिसमें $m$ अवयव हैं,अर्थात $n(A) = m$,तो घात समुच्चय (power set) में अवयवों की संख्या $n[P(A)] = 2^{m}$ होती है।
यदि $A = \varnothing$ है,तो $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 0$ है।
इसलिए,$n[P(A)] = 2^{0} = 1$ है।
अतः,$P(A)$ में $1$ अवयव है।

(C) दिया गया समुच्चय $\{ x : x \in R, -4 < x \le 6 \}$ है।
चूंकि असमिका $-4 < x$ सख्त (strict) है,इसलिए अंतराल $-4$ पर खुला (open) है।
चूंकि असमिका $x \le 6$ में समानता शामिल है,इसलिए अंतराल $6$ पर बंद (closed) है।
अतः,अंतराल $(-4, 6]$ है।

(C) दिया गया समुच्चय $\{x : x \in \mathbb{R}, 0 \le x < 7\}$ है।
चूंकि $0$ सम्मिलित है ($\le$ के कारण) और $7$ सम्मिलित नहीं है ($ < $ के कारण),इसलिए अंतराल $0$ पर बंद (closed) और $7$ पर खुला (open) है।
अतः,अंतराल $[0, 7)$ है।

(A) समुच्चय $\{ x:x \in R, 3 \le x \le 4 \}$ उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ को दर्शाता है जहाँ $x$,$3$ से बड़ा या उसके बराबर और $4$ से छोटा या उसके बराबर है।
चूँकि दोनों अंत बिंदु $3$ और $4$ समुच्चय में शामिल हैं,इसलिए हम बंद कोष्ठक (closed brackets) का उपयोग करते हैं।
अतः,अंतराल रूप $[3, 4]$ है।

(B) अंतराल $(-3, 0)$ उन सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है जो $-3$ और $0$ के बीच स्थित हैं।
समुच्चय-निर्माण रूप में,इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
$(-3, 0) = \{x : x \in R, -3 < x < 0\}$

(C) अंतराल $[6, 12]$ एक संवृत अंतराल (closed interval) है,जिसमें $6$ और $12$ दोनों सम्मिलित हैं और उनके बीच की सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ आती हैं,जहाँ $6 \le x \le 12$ है।
समुच्चय निर्माण रूप में,इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
${x : x \in R, 6 \le x \le 12}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) अंतराल $(6, 12]$ उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ को दर्शाता है जिनके लिए $6 < x \le 12$ है।
समुच्चय निर्माण रूप में,इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
$\{x : x \in R, 6 < x \le 12\}$

(N/A) अंतराल $\left[ -23, 5 \right)$ उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ को दर्शाता है जिनके लिए $-23 \le x < 5$ है।
समुच्चय निर्माण रूप में,इसे इस प्रकार लिखा जाता है: $\{ x : x \in \mathbb{R}, -23 \le x < 5 \}$

(N/A) सार्वत्रिक समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें विचाराधीन सभी अवयव शामिल होते हैं। समकोण त्रिभुजों के समुच्चय के लिए,सार्वत्रिक समुच्चय सभी त्रिभुजों का समुच्चय या सभी बहुभुजों का समुच्चय हो सकता है।

(N/A) समद्विबाहु त्रिभुजों के समुच्चय के लिए,सार्वत्रिक समुच्चय एक समतल में सभी त्रिभुजों का समुच्चय या एक समतल में सभी बहुभुजों का समुच्चय या एक समतल में सभी द्वि-आयामी आकृतियों का समुच्चय हो सकता है।

(D) समुच्चयों के किसी संग्रह के लिए एक सार्वत्रिक समुच्चय में उस संग्रह के प्रत्येक समुच्चय के सभी अवयव होने चाहिए।
दिए गए समुच्चयों $A = \{1, 3, 5\}$,$B = \{2, 4, 6\}$ और $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ के लिए,सार्वत्रिक समुच्चय $U$ को $A \subseteq U$,$B \subseteq U$ और $C \subseteq U$ की शर्तों को पूरा करना चाहिए।
समुच्चय $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ की जाँच करने पर:
$A \subset X$ सत्य है।
$B \subset X$ सत्य है।
हालाँकि,$C \not\subset X$ है क्योंकि अवयव $8 \in C$ है लेकिन $8 \notin X$ है।
इसलिए,समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ $A$,$B$ और $C$ के लिए सार्वत्रिक समुच्चय नहीं है।

(C) समुच्चयों के समूह के लिए एक सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में उन समुच्चयों के सभी अवयव होने चाहिए।
दिए गए समुच्चयों $A = \{1, 3, 5\}$,$B = \{2, 4, 6\}$ और $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ के लिए,सार्वत्रिक समुच्चय में $A \cup B \cup C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ के सभी अवयव होने चाहिए।
विकल्प $A$ रिक्त समुच्चय $\varnothing$ है,जिसमें कोई अवयव नहीं है।
विकल्प $B$ में $8$ अनुपस्थित है।
विकल्प $D$ में $0$ अनुपस्थित है।
विकल्प $C$ में $A$,$B$ और $C$ के सभी अवयव शामिल हैं (अर्थात $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$)।
अतः,सही सार्वत्रिक समुच्चय $C$ है।

(B) एक सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में दिए गए समुच्चयों $A$,$B$ और $C$ के सभी अवयव होने चाहिए।
दिया गया है $A = \{1, 3, 5\}$,$B = \{2, 4, 6\}$ और $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$।
इन समुच्चयों का संघ (union) $A \cup B \cup C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ है।
चूंकि $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\} \subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$,इसलिए समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ $A$,$B$ और $C$ के लिए एक सार्वत्रिक समुच्चय है।

(B) एक सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में दिए गए समुच्चयों $A$,$B$ और $C$ के सभी अवयव होने चाहिए।
दिए गए समुच्चय $A = \{1, 3, 5\}$,$B = \{2, 4, 6\}$ और $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ हैं।
इन समुच्चयों का संघ (union) $A \cup B \cup C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ है।
किसी समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय होने के लिए,उसमें $A \cup B \cup C$ के सभी अवयव होने चाहिए।
विकल्पों की तुलना करने पर,समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ में $A$,$B$ और $C$ के सभी अवयव मौजूद हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही सार्वत्रिक समुच्चय है।

(N/A) $A = \{ x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 3 \text{ का गुणज है } \} = \{ 3, 6, 9, 12, \ldots \}$
$B = \{ x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है जो } 6 \text{ से कम है } \} = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$
$A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, \ldots \}$
$\therefore A \cup B = \{ x : x = 1, 2, 4, 5 \text{ या } x, 3 \text{ का गुणज है } \}$

(A) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सम्मिलन,जिसे $A \cup B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में,$B$ में,या दोनों में हैं।
दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \varnothing$ (रिक्त समुच्चय) हैं।
इसलिए,$A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \varnothing = \{1, 2, 3\}$.
अतः,$A \cup B = A$.

(D) दिए गए समुच्चय हैं:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots \}$
$D = \{2, 3, 5, 7, 11, \ldots \}$
चूंकि प्रत्येक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है,इसलिए $D \subset A$ है।
अतः,$A$ और $D$ का सर्वनिष्ठ (intersection) सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है।
$A \cap D = \{x : x \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = D$.

(A) दो समुच्चय असंयुक्त होते हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त समुच्चय हो,जिसे $\varnothing$ द्वारा दर्शाया जाता है।
माना $A = \{ x : x \text{ एक सम पूर्णांक है} \}$ और $B = \{ x : x \text{ एक विषम पूर्णांक है} \}$।
$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ है:
$A \cap B = \{ x : x \text{ एक सम पूर्णांक है और } x \text{ एक विषम पूर्णांक है} \}$।
चूंकि कोई भी पूर्णांक एक साथ सम और विषम नहीं हो सकता,इसलिए $A \cap B = \varnothing$।
अतः,समुच्चयों का यह जोड़ा असंयुक्त है।

(A) दो समुच्चयों $X$ और $Y$ का अंतर,जिसे $X - Y$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन अवयवों का समुच्चय है जो $X$ में हैं लेकिन $Y$ में नहीं हैं।
दिया गया है $X = \{a, b, c, d\}$ और $Y = \{f, b, d, g\}$।
$X$ के अवयव $a, b, c, d$ हैं।
$Y$ के अवयव $f, b, d, g$ हैं।
$X$ में मौजूद लेकिन $Y$ में अनुपस्थित अवयव $a$ और $c$ हैं।
अतः,$X - Y = \{a, c\}$।

(B) $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
$Q$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है।
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$,परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय $I$ का संघ (union) है।
अतः,$R = Q \cup I$।
इसलिए,$R - Q = I$,जो कि अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

(A) सत्य।
दो समुच्चय असंयुक्त होते हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त समुच्चय हो,जिसे $\varnothing$ द्वारा दर्शाया जाता है।
माना $A = \{2, 6, 10\}$ और $B = \{3, 7, 11\}$ है।
उनका सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{2, 6, 10\} \cap \{3, 7, 11\} = \varnothing$ है।
चूंकि सर्वनिष्ठ रिक्त है,इसलिए ये समुच्चय असंयुक्त हैं।

(N/A) मान लीजिए $X$,"$CATARACT$" में अक्षरों का समुच्चय है।
तब $X = \{C, A, T, R\}$।
मान लीजिए $Y$,"$TRACT$" में अक्षरों का समुच्चय है।
तब $Y = \{T, R, A, C, T\} = \{T, R, A, C\}$।
चूँकि $X$ का प्रत्येक अवयव $Y$ में है और $Y$ का प्रत्येक अवयव $X$ में है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $X = Y$।

(N/A) माना $A = \{-1, 0, 1\}$ है।
$A$ में अवयवों की संख्या $n = 3$ है। उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^n = 2^3 = 8$ है।
$0$ अवयव वाला $A$ का उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय $\phi$ है।
$1$ अवयव वाले $A$ के उपसमुच्चय $\{-1\}, \{0\}, \{1\}$ हैं।
$2$ अवयव वाले $A$ के उपसमुच्चय $\{-1, 0\}, \{-1, 1\}, \{0, 1\}$ हैं।
$3$ अवयव वाला $A$ का उपसमुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ है।
अतः,$A$ के सभी उपसमुच्चय $\phi, \{-1\}, \{0\}, \{1\}, \{-1, 0\}, \{-1, 1\}, \{0, 1\}, \{-1, 0, 1\}$ हैं।

माना $x \in A$ है। चूँकि $A \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$ होगा।
दिया गया है कि $A \cup B = A \cap B$,अतः $x \in A \cap B$ होगा।
सर्वनिष्ठ (intersection) की परिभाषा के अनुसार,$x \in A$ और $x \in B$ होगा।
अतः,$x \in B$,जिसका तात्पर्य है कि $A \subseteq B$ है।
इसी प्रकार,माना $y \in B$ है। चूँकि $B \subseteq A \cup B$,इसलिए $y \in A \cup B$ होगा।
दिया गया है कि $A \cup B = A \cap B$,अतः $y \in A \cap B$ होगा।
सर्वनिष्ठ की परिभाषा के अनुसार,$y \in A$ और $y \in B$ होगा।
अतः,$y \in A$,जिसका तात्पर्य है कि $B \subseteq A$ है।
चूँकि $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A = B$ है।

(N/A) माना $X \in P(A \cap B).$ तब $X \subset A \cap B.$
अतः,$X \subset A$ और $X \subset B.$
इसलिए,$X \in P(A)$ और $X \in P(B),$ जिसका अर्थ है $X \in P(A) \cap P(B).$
इससे $P(A \cap B) \subset P(A) \cap P(B)$ प्राप्त होता है।
माना $Y \in P(A) \cap P(B).$ तब $Y \in P(A)$ और $Y \in P(B).$
अतः,$Y \subset A$ और $Y \subset B.$
इसलिए,$Y \subset A \cap B,$ जिसका अर्थ है $Y \in P(A \cap B).$
इससे $P(A) \cap P(B) \subset P(A \cap B)$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(A \cap B) = P(A) \cap P(B).$

(D) दिया गया है $A = \{ x: x \in \mathbb{R} \text{ और } x^2 - 8x + 12 = 0 \}$.
द्विघात समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ को हल करने पर:
$(x - 2)(x - 6) = 0$,जिससे $x = 2$ या $x = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \{2, 6\}$.
दिए गए समुच्चय $B = \{2, 4, 6\}$,$C = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$,और $D = \{6\}$ हैं।
अवयवों की तुलना करने पर:
$D = \{6\} \subset A = \{2, 6\}$.
$A = \{2, 6\} \subset B = \{2, 4, 6\}$.
$B = \{2, 4, 6\} \subset C = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$.
अतः,उपसमुच्चय संबंध $D \subset A \subset B \subset C$ हैं।

(N/A) यह कथन असत्य है।
कथन को गलत सिद्ध करने के लिए,हम एक उदाहरण देते हैं।
माना $A = \{2\}$,$B = \{0, 2\}$,और $C = \{1, \{0, 2\}, 3\}$ है।
यहाँ,$A \subset B$ है क्योंकि $A$ का प्रत्येक अवयव $(2)$ $B$ का भी अवयव है।
साथ ही,$B \in C$ है क्योंकि समुच्चय $B = \{0, 2\}$,$C$ का एक अवयव है।
हालाँकि,$A \notin C$ है क्योंकि समुच्चय $A = \{2\}$,$C$ के अवयवों में से एक नहीं है ($C$ के अवयव $1$,$\{0, 2\}$,और $3$ हैं)।
अतः,यह कथन असत्य है।

(A) कथन सत्य है।
उपपत्ति:
माना $A \subset B$ और $B \subset C$ है।
माना $x$ एक स्वेच्छ अवयव है इस प्रकार कि $x \in A$ है।
चूंकि $A \subset B$ है,उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार,$x \in B$ है।
चूंकि $B \subset C$ है,उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार,$x \in C$ है।
चूंकि $x \in A$ का तात्पर्य $x \in C$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $A \subset C$ है।

(N/A) यह कथन असत्य है।
कथन को गलत सिद्ध करने के लिए,हमें एक ऐसा उदाहरण खोजने की आवश्यकता है जहाँ $A \not\subset B$ और $B \not\subset C$ सत्य हों,लेकिन $A \subset C$ भी सत्य हो।
मान लीजिए $A = \{1, 2\}$,$B = \{3, 4\}$,और $C = \{1, 2, 5\}$ है।
यहाँ,$A \not\subset B$ (क्योंकि $1 \in A$ लेकिन $1 \notin B$) और $B \not\subset C$ (क्योंकि $3 \in B$ लेकिन $3 \notin C$) है।
हालाँकि,$A \subset C$ है क्योंकि $A$ का प्रत्येक अवयव $C$ का भी अवयव है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(N/A) यह कथन $False$ (असत्य) है।
कथन को गलत सिद्ध करने के लिए,हम एक प्रति-उदाहरण (counterexample) देते हैं।
मान लीजिए $A = \{1, 2\}$ और $B = \{1, 3\}$ है।
यहाँ,$A \not\subset B$ है क्योंकि $2 \in A$ लेकिन $2 \notin B$ है।
मान लीजिए $x = 2$ है। तो $x \in A$ और $A \not\subset B$ की शर्तें पूरी होती हैं।
हालाँकि,$x \notin B$ है क्योंकि $2 \notin \{1, 3\}$ है।
अतः,यह कथन $False$ है।

(A) यह कथन सत्य है।
दिया गया है: $A \subset B$ और $x \notin B$।
सिद्ध करना है: $x \notin A$।
विरोधोक्ति द्वारा प्रमाण (Proof by contradiction):
मान लीजिए $x \in A$।
चूंकि $A \subset B$,$A$ का प्रत्येक अवयव $B$ का भी अवयव होना चाहिए।
इसलिए,$x \in A$ का अर्थ है कि $x \in B$।
हालांकि,हमें दिया गया है कि $x \notin B$।
यह एक विरोधाभास है।
इसलिए,हमारी यह धारणा कि $x \in A$ गलत है।
अतः,$x \notin A$।

(N/A) दिया है: $A \cup B = A \cup C$ और $A \cap B = A \cap C$ है।
सिद्ध करना है: $B = C$ है।
माना $x \in B$ है।
चूंकि $B \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$ है।
$A \cup B = A \cup C$ दिया गया है,इसलिए $x \in A \cup C$ है।
इसका अर्थ है कि $x \in A$ या $x \in C$ है।
स्थिति $I$: यदि $x \in A$ है,तो चूंकि $x \in B$ है,इसलिए $x \in A \cap B$ है।
$A \cap B = A \cap C$ होने के कारण,$x \in A \cap C$ है,जिसका अर्थ है कि $x \in C$ है।
स्थिति $II$: यदि $x \in C$ है,तो $x \in C$ पहले से ही सिद्ध है।
दोनों स्थितियों में,$x \in C$ है। अतः,$B \subseteq C$ है।
इसी प्रकार,$x \in C$ लेकर,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $C \subseteq B$ है।
चूंकि $B \subseteq C$ और $C \subseteq B$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $B = C$ है।

(A) हमें सिद्ध करना है कि $(i) \Leftrightarrow (ii) \Leftrightarrow (iii) \Leftrightarrow (iv)$।
$(i) \Leftrightarrow (ii)$:
मान लीजिए $A \subset B$ है। यदि $x \in A - B$ है,तो $x \in A$ और $x \notin B$ है। लेकिन $A \subset B$ का अर्थ है $x \in A \Rightarrow x \in B$,जो $x \notin B$ का विरोधाभास है। अतः,$A - B = \phi$ है।
इसके विपरीत,यदि $A - B = \phi$ है,तो $A \subset B$ सिद्ध होता है।
$(i) \Leftrightarrow (iii)$:
मान लीजिए $A \subset B$ है। चूँकि $B \subset A \cup B$ हमेशा सत्य है,हमें केवल $A \cup B \subset B$ सिद्ध करना है। यदि $x \in A \cup B$ है,तो $x \in A$ या $x \in B$ है। यदि $x \in A$ है,तो $x \in B$ (क्योंकि $A \subset B$)। अतः,$A \cup B = B$ है।
इसके विपरीत,यदि $A \cup B = B$ है,तो $A \subset B$ सिद्ध होता है।
$(i) \Leftrightarrow (iv)$:
मान लीजिए $A \subset B$ है। चूँकि $A \cap B \subset A$ हमेशा सत्य है,हमें $A \subset A \cap B$ सिद्ध करना है। यदि $x \in A$ है,तो $x \in B$ (क्योंकि $A \subset B$)। अतः,$x \in A \cap B$,जिसका अर्थ है $A \cap B = A$ है।
इसके विपरीत,यदि $A \cap B = A$ है,तो $A \subset B$ सिद्ध होता है।

(N/A) माना $A \subset B$ है।
सिद्ध करना है: $(C - B) \subset (C - A)$।
माना $x \in (C - B)$ है।
$\Rightarrow x \in C$ और $x \notin B$ है।
चूँकि $A \subset B$ है,यदि $x \notin B$ है,तो $x \notin A$ होगा।
$\Rightarrow x \in C$ और $x \notin A$ है।
$\Rightarrow x \in (C - A)$ है।
अतः,$(C - B) \subset (C - A)$ है।

दिया गया है कि $P(A) = P(B)$.
सिद्ध करना है: $A = B$.
मान लीजिए $x \in A$.
चूंकि $A \in P(A)$ और $P(A) = P(B)$,इसलिए $A \in P(B)$ होगा।
घात समुच्चय (power set) की परिभाषा के अनुसार,यदि $A \in P(B)$ है,तो $A \subseteq B$ होगा।
अतः,$x \in A \implies x \in B$,जिसका अर्थ है कि $A \subseteq B$.
इसी प्रकार,मान लीजिए $y \in B$. चूंकि $B \in P(B)$ और $P(B) = P(A)$,इसलिए $B \in P(A)$ होगा।
घात समुच्चय की परिभाषा के अनुसार,यदि $B \in P(A)$ है,तो $B \subseteq A$ होगा।
अतः,$y \in B \implies y \in A$,जिसका अर्थ है कि $B \subseteq A$.
चूंकि $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A = B$।

(N/A) यह कथन $False$ (असत्य) है।
माना $A = \{0, 1\}$ और $B = \{1, 2\}$ है।
तब $A \cup B = \{0, 1, 2\}$ होगा।
घात समुच्चय $P(A) = \{\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\}$ है।
घात समुच्चय $P(B) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$ है।
अतः,$P(A) \cup P(B) = \{\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{0, 1\}, \{1, 2\}\}$ होगा।
घात समुच्चय $P(A \cup B) = \{\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{0, 1\}, \{0, 2\}, \{1, 2\}, \{0, 1, 2\}\}$ होगा।
दोनों समुच्चयों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\{0, 2\} \in P(A \cup B)$ है लेकिन $\{0, 2\} \notin P(A) \cup P(B)$ है।
अतः,$P(A) \cup P(B) \neq P(A \cup B)$ है।

(N/A) सिद्ध करना है: $A \cap (A \cup B) = A$
संघ पर सर्वनिष्ठ के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$A \cap (A \cup B) = (A \cap A) \cup (A \cap B)$
चूंकि $A \cap A = A$ (वर्गसम नियम):
$= A \cup (A \cap B)$
चूंकि $(A \cap B) \subseteq A$,इसलिए $A$ और $A$ के उपसमुच्चय का संघ $A$ ही होता है (अवशोषण नियम):
$= A$

(N/A) माना $A = \{0, 1\}, B = \{0, 2, 3\},$ और $C = \{0, 4, 5\}$ है।
अतः,$A \cap B = \{0\}$ और $A \cap C = \{0\}$ है।
यहाँ,$A \cap B = A \cap C = \{0\}$ है।
हालाँकि,$B \neq C$ क्योंकि $2 \in B$ और $2 \notin C$ है।

दिया गया है कि किसी समुच्चय $X$ के लिए $A \cap X = \phi$,$B \cap X = \phi$ और $A \cup X = B \cup X$ है।
सिद्ध करना है: $A = B$।
हम जानते हैं कि $A = A \cap (A \cup X)$।
$A \cup X = B \cup X$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = A \cap (B \cup X)$।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,$A = (A \cap B) \cup (A \cap X)$।
चूंकि $A \cap X = \phi$,इसलिए $A = (A \cap B) \cup \phi = A \cap B$ ... $(1)$।
इसी प्रकार,$B = B \cap (B \cup X)$।
$B \cup X = A \cup X$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = B \cap (A \cup X)$।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,$B = (B \cap A) \cup (B \cap X)$।
चूंकि $B \cap X = \phi$,इसलिए $B = (B \cap A) \cup \phi = B \cap A = A \cap B$ ... $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A = B$।

(N/A) माना $A = \{0, 1\}, B = \{1, 2\},$ और $C = \{2, 0\}$ है।
तदनुसार,$A \cap B = \{1\}, B \cap C = \{2\},$ और $A \cap C = \{0\}$ है।
अतः,$A \cap B, B \cap C,$ और $A \cap C$ अरिक्त समुच्चय हैं।
हालाँकि,$A \cap B \cap C = \varnothing$ है।

जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं।
$B$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने की घटना है:
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
$C$ योग $\leq 5$ प्राप्त करने की घटना है:
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
घटना $B$ या $C$ संघ $B \cup C$ है,जिसमें $B$ या $C$ में मौजूद सभी तत्व शामिल हैं:
$B \cup C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$

(B) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम हैं।
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
चूंकि $B$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने की घटना है,इसका पूरक $B^{\prime}$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
अतः,$B^{\prime} = A$ है।
अब,$A \cap B^{\prime} = A \cap A = A$ है।
चूंकि $A$ एक रिक्त समुच्चय नहीं है $(A \neq \phi)$,इसलिए $A \cap B^{\prime} \neq \phi$ है।
अतः,$A$ और $B^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
इस प्रकार,दिया गया कथन असत्य है।

(C) $k$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^k$ होती है।
दिया गया है कि $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $B$ के उपसमुच्चयों की संख्या से $112$ अधिक है,इसलिए समीकरण: $2^m - 2^n = 112$ है।
इसे $2^n(2^{m-n} - 1) = 112$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $112 = 16 \times 7 = 2^4 \times (2^3 - 1)$,हम पदों की तुलना करते हैं:
$2^n = 2^4 \implies n = 4$.
$2^{m-n} - 1 = 2^3 - 1 \implies m - n = 3$.
$n = 4$ रखने पर,$m - 4 = 3$,अतः $m = 7$.
इसलिए,$m \times n = 7 \times 4 = 28$.

(A) दिया गया समीकरण: $(1+a^2)(1+b^2) = 4ab$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $1 + b^2 + a^2 + a^2b^2 = 4ab$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^2 - 2ab + b^2 + a^2b^2 - 2ab + 1 = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a-b)^2 + (ab-1)^2 = 0$
चूंकि $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं,वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$(a-b)^2 = 0 \implies a = b$
$(ab-1)^2 = 0 \implies ab = 1$
$b=a$ को $ab=1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 1$ या $a = -1$।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $a > 0$ और $a \neq 1$ है। अतः,दी गई शर्तों के तहत $b$ का कोई मान नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करे।
इसलिए,समुच्चय $S$ एक रिक्त समुच्चय है।

(D) समुच्चय $S_n$ में $18$ क्रमागत पूर्णांक होते हैं।
$(a)$ यदि $n=10$ है,तो $S_{10} = \{11, 12, \ldots, 28\}$। $19$ का गुणज $19$ है। लेकिन यदि $n=19$ है,तो $S_{19} = \{20, 21, \ldots, 37\}$। $19$ का गुणज $38$ है जो $S_{19}$ में नहीं है। अतः,$(a)$ गलत है।
$(b)$ $S_n$ में हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है। यह सत्य है,लेकिन $(d)$ अधिक सटीक गुण है।
$(c)$ $n=10$ के लिए,$S_{10} = \{11, 12, \ldots, 28\}$। $5$ के गुणज $15, 20, 25$ हैं। केवल $3$ गुणज हैं। अतः,$(c)$ गलत है।
$(d)$ $18$ क्रमागत पूर्णांकों के किसी भी समुच्चय में,अधिकतम $6$ अभाज्य संख्याएँ होती हैं। अतः,$(d)$ सही विकल्प है।

(C) समुच्चय $A = S \times S$ में $n^2$ अवयव हैं।
$A$ का एक उपसमुच्चय $B$ एक 'गुड सबसेट' है यदि इसमें $(x, x)$ रूप के सभी अवयव शामिल हों,जहाँ $x \in S$ है।
ऐसे कुल $n$ अवयव हैं: $(1, 1), (2, 2), \ldots, (n, n)$।
$B$ के गुड सबसेट होने के लिए,ये $n$ अवयव $B$ में होने अनिवार्य हैं।
शेष अवयव वे हैं जिनमें $a \neq b$ है। ऐसे अवयवों की संख्या $n^2 - n = n(n - 1)$ है।
इन $n(n - 1)$ अवयवों में से प्रत्येक अवयव $B$ में हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
इसलिए,शेष अवयवों को चुनने के तरीकों की संख्या $2^{n(n - 1)}$ है।
अतः,कुल गुड सबसेट की संख्या $2^{n(n - 1)}$ है।

(A) मान लीजिए $n$ एक पूर्णांक है। जब $n$ के दाईं ओर एक शून्येतर अंक $d$ जोड़ा जाता है,तो नई संख्या $10n + d$ बनती है।
हमें दिया गया है कि $10n + d$,प्रत्येक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए $d$ से विभाज्य है।
इसका अर्थ है कि $\frac{10n + d}{d} = \frac{10n}{d} + 1$ प्रत्येक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए एक पूर्णांक होना चाहिए।
अतः,$10n$ को प्रत्येक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $10n$ को $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ का गुणज होना चाहिए।
$\text{LCM}(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
इसलिए,$10n$ को $2520$ का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $n$ को $252$ का गुणज होना चाहिए।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$,$252$ है।
$N = 252$ के अंकों का गुणनफल $2 \times 5 \times 2 = 20$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 2^y = 2023$ है,जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 - 2023 = 2^y$ प्राप्त होता है।
यदि $y = 1$ है,तो $x^2 - 2023 = 2^1 = 2$,जिसका अर्थ है कि $x^2 = 2025$,इसलिए $x = 45$ है।
अन्य मानों के लिए कोई पूर्णांक हल नहीं मिलता है।
अतः,एकमात्र हल $(45, 1)$ है।
योग $\sum_{(x, y) \in C} (x + y) = 45 + 1 = 46$ है।

(A) हमें $A = \{1, 2, \ldots, 10\}$ और $B = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in A, m < n, \gcd(m, n) = 1\right\}$ दिया गया है।
$n(B)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक $n \in \{2, 3, \ldots, 10\}$ के लिए उन भिन्नों $\frac{m}{n}$ की गणना करते हैं जहाँ $m < n$ और $\gcd(m, n) = 1$ है।
$n=2$ के लिए: $m \in \{1\}$,$\gcd(1, 2) = 1$. संख्या = $1$.
$n=3$ के लिए: $m \in \{1, 2\}$,$\gcd(1, 3) = 1, \gcd(2, 3) = 1$. संख्या = $2$.
$n=4$ के लिए: $m \in \{1, 3\}$,$\gcd(1, 4) = 1, \gcd(3, 4) = 1$. संख्या = $2$.
$n=5$ के लिए: $m \in \{1, 2, 3, 4\}$,सभी $5$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $4$.
$n=6$ के लिए: $m \in \{1, 5\}$,$\gcd(1, 6) = 1, \gcd(5, 6) = 1$. संख्या = $2$.
$n=7$ के लिए: $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,सभी $7$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $6$.
$n=8$ के लिए: $m \in \{1, 3, 5, 7\}$,सभी $8$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $4$.
$n=9$ के लिए: $m \in \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$,सभी $9$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $6$.
$n=10$ के लिए: $m \in \{1, 3, 7, 9\}$,सभी $10$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $4$.
इन सभी संख्याओं का योग: $1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 + 4 + 6 + 4 = 31$.
अतः,$n(B) = 31$.