मान लीजिए कि $A, B,$ और $C$ ऐसे समुच्चय हैं कि $A \cup B = A \cup C$ और $A \cap B = A \cap C$ है। सिद्ध कीजिए कि $B = C$ है।
(N/A) दिया है: $A \cup B = A \cup C$ और $A \cap B = A \cap C$ है।
सिद्ध करना है: $B = C$ है।
माना $x \in B$ है।
चूंकि $B \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$ है।
$A \cup B = A \cup C$ दिया गया है,इसलिए $x \in A \cup C$ है।
इसका अर्थ है कि $x \in A$ या $x \in C$ है।
स्थिति $I$: यदि $x \in A$ है,तो चूंकि $x \in B$ है,इसलिए $x \in A \cap B$ है।
$A \cap B = A \cap C$ होने के कारण,$x \in A \cap C$ है,जिसका अर्थ है कि $x \in C$ है।
स्थिति $II$: यदि $x \in C$ है,तो $x \in C$ पहले से ही सिद्ध है।
दोनों स्थितियों में,$x \in C$ है। अतः,$B \subseteq C$ है।
इसी प्रकार,$x \in C$ लेकर,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $C \subseteq B$ है।
चूंकि $B \subseteq C$ और $C \subseteq B$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $B = C$ है।
सिद्ध करना है: $B = C$ है।
माना $x \in B$ है।
चूंकि $B \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$ है।
$A \cup B = A \cup C$ दिया गया है,इसलिए $x \in A \cup C$ है।
इसका अर्थ है कि $x \in A$ या $x \in C$ है।
स्थिति $I$: यदि $x \in A$ है,तो चूंकि $x \in B$ है,इसलिए $x \in A \cap B$ है।
$A \cap B = A \cap C$ होने के कारण,$x \in A \cap C$ है,जिसका अर्थ है कि $x \in C$ है।
स्थिति $II$: यदि $x \in C$ है,तो $x \in C$ पहले से ही सिद्ध है।
दोनों स्थितियों में,$x \in C$ है। अतः,$B \subseteq C$ है।
इसी प्रकार,$x \in C$ लेकर,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $C \subseteq B$ है।
चूंकि $B \subseteq C$ और $C \subseteq B$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $B = C$ है।
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MediumWBJEE 2015
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$(i)$ $\{1, 2, 3, 6\}$ $(a)$ $\{x : x \text{ एक अभाज्य संख्या है और } 6 \text{ का भाजक है}\}$ $(ii)$ $\{2, 3\}$ $(b)$ $\{x : x \text{ एक विषम प्राकृत संख्या है जो } 10 \text{ से कम है}\}$ $(iii)$ $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$ $(c)$ $\{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 6 \text{ का भाजक है}\}$ $(iv)$ $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ $(d)$ $\{x : x \text{ शब्द } MATHEMATICS \text{ का एक अक्षर है}\}$
| $(i)$ $\{1, 2, 3, 6\}$ | $(a)$ $\{x : x \text{ एक अभाज्य संख्या है और } 6 \text{ का भाजक है}\}$ |
| $(ii)$ $\{2, 3\}$ | $(b)$ $\{x : x \text{ एक विषम प्राकृत संख्या है जो } 10 \text{ से कम है}\}$ |
| $(iii)$ $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$ | $(c)$ $\{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 6 \text{ का भाजक है}\}$ |
| $(iv)$ $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ | $(d)$ $\{x : x \text{ शब्द } MATHEMATICS \text{ का एक अक्षर है}\}$ |
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समुच्चय $\left\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\right\}$ को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए
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