Basic of Set theory Questions in Hindi

(C) दिया गया है $D_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.
हमें $f(2, 5, 15) = (2+5) \cdot (5^{\prime} + 15)$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$2+5 = \operatorname{LCM}(2, 5) = 10$.
इसके बाद,$5^{\prime} = \frac{30}{5} = 6$.
फिर,$5^{\prime} + 15 = 6 + 15 = \operatorname{LCM}(6, 15) = 30$.
अंत में,$f(2, 5, 15) = 10 \cdot 30 = \operatorname{GCD}(10, 30) = 10$.

(A) बूलियन व्यंजक का द्वैत (dual) ज्ञात करने के लिए,हम $OR$ ऑपरेटर $(+)$ को $AND$ ऑपरेटर $(\cdot)$ से बदलते हैं और इसके विपरीत,साथ ही $0$ को $1$ से और $1$ को $0$ से बदलते हैं।
दिया गया व्यंजक: $(x+y) \cdot (x^{\prime} \cdot 1)$.
$+$ को $\cdot$ से और $\cdot$ को $+$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है: $(x \cdot y) + (x^{\prime} + 1)$.

(C) दिया गया परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। पहली शाखा में स्विच $S_1$ और $S_2$ श्रेणी में हैं,जिसे तार्किक व्यंजक $(S_1 \land S_2)$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
दूसरी शाखा में $S_1$ और $S_3$ श्रेणी में हैं,जिसे तार्किक व्यंजक $(S_1 \land S_3)$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल परिपथ को व्यंजक $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करके,हम $S_1$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$.
यह व्यंजक स्विच $S_1$ को $S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी में दर्शाता है।

(B) आइए समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करें।
$A$: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $(x-2) \in \mathbb{N}$। यदि $x=3$ है,तो $3-2=1 \in \mathbb{N}$। यह सत्य है।
$B$: $\forall x \in A, x+6$ संख्या $2$ से विभाज्य है। यदि $x=3$ है,तो $3+6=9$,जो $2$ से विभाज्य नहीं है। यह असत्य है।
$C$: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $x+2$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $x=3$ है,तो $3+2=5$,जो अभाज्य है। यह सत्य है।
$D$: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $x^{2}+1$ एक सम संख्या है। यदि $x=3$ है,तो $3^{2}+1=10$,जो सम है। यह सत्य है।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया कथन असत्य है।

(A) हमें समुच्चय $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 + 5|x| + 6 = 0\}$ दिया गया है।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,समीकरण को $|x|^2 + 5|x| + 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है। समीकरण $t^2 + 5t + 6 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर,हमें $(t + 2)(t + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = -2$ या $t = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = |x|$ ऋणात्मक नहीं हो सकता $(t \ge 0)$,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान इन शर्तों को पूरा नहीं करता है।
अतः,समुच्चय $A$ एक रिक्त समुच्चय है,अर्थात $A = \emptyset$ है।
इस प्रकार,$A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 0$ है।

(C) समुच्चय $A$ में $0$ और $9$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं।
$A = \{2, 3, 5, 7\}$.
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 4$ है।
$A$ के घात समुच्चय में अवयवों की संख्या $2^{n(A)}$ द्वारा दी जाती है।
$2^{4} = 16$.

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{x \in R : x^2 - 5|x| + 6 = 0\}$ है।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,समीकरण $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ हो जाता है।
माना $|x| = t$,तो $t^2 - 5t + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 2)(t - 3) = 0$.
अतः,$|x| = 2$ या $|x| = 3$.
यदि $|x| = 2$,तो $x = 2$ या $x = -2$.
यदि $|x| = 3$,तो $x = 3$ या $x = -3$.
इस प्रकार,समुच्चय $A = \{-3, -2, 2, 3\}$ है।
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 4$ है।

(B) हैंडशेकिंग लेम्मा के अनुसार,एक ग्राफ में सभी शीर्षों की डिग्री का योग किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर होता है,जो एक सम संख्या है।
मान लीजिए $V_{odd}$ विषम डिग्री वाले शीर्षों का सेट है और $V_{even}$ सम डिग्री वाले शीर्षों का सेट है।
डिग्री का योग $\sum_{v \in V_{odd}} \text{deg}(v) + \sum_{v \in V_{even}} \text{deg}(v) = 2|E|$ है।
चूंकि $\sum_{v \in V_{even}} \text{deg}(v)$ हमेशा सम होता है,इसलिए कुल योग को सम होने के लिए $\sum_{v \in V_{odd}} \text{deg}(v)$ को भी सम होना चाहिए।
$m$ विषम संख्याओं का योग सम होने के लिए,$m$ को एक सम संख्या होना चाहिए।
इसलिए,विषम डिग्री वाले शीर्षों की संख्या $m$ हमेशा सम होती है।

(D) समूह $(Z_{5}, +_{5})$ अभाज्य कोटि $p = 5$ का एक चक्रीय समूह है।
लाग्रेंज प्रमेय के अनुसार,किसी भी उपसमूह की कोटि समूह की कोटि को विभाजित करती है।
चूंकि $5$ एक अभाज्य संख्या है,इसके केवल $1$ और $5$ ही भाजक हैं।
इसलिए,केवल दो उपसमूह संभव हैं: कोटि $1$ का तुच्छ उपसमूह ${0}$ और स्वयं समूह $Z_{5}$ जिसकी कोटि $5$ है।
अतः,उपसमूहों की कुल संख्या $2$ है।

(C) मान लीजिए समुच्चय $A$ में $m$ अवयव हैं और समुच्चय $B$ में $n$ अवयव हैं।
समुच्चय $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ है और समुच्चय $B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2^m - 2^n = 56$.
इसे $2^n(2^{m-n} - 1) = 56$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$56$ का गुणनखंड करने पर,$56 = 8 \times 7 = 2^3 \times (2^3 - 1)$.
$2^n(2^{m-n} - 1) = 2^3(2^3 - 1)$ की तुलना करने पर,हमें $n = 3$ और $m - n = 3$ प्राप्त होता है।
$m - n = 3$ में $n = 3$ रखने पर,$m - 3 = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m = 6$.
अतः,$m$ और $n$ के मान क्रमशः $6$ और $3$ हैं।

(A) विकल्प $A$ के लिए: $x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $x \in \mathbb{R}$ का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक $(x^2 \ge 0)$ होता है,इसलिए ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो $x^2=-1$ को संतुष्ट करे। अतः,यह समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।
विकल्प $B$ के लिए: $x^2-9=0$ $\Rightarrow x^2=9$ $\Rightarrow x = \pm 3$। यह समुच्चय $\{3, -3\}$ है,जो रिक्त नहीं है।
विकल्प $C$ के लिए: $x^2-x-2=0$ $\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$ $\Rightarrow x=2, -1$। यह समुच्चय $\{2, -1\}$ है,जो रिक्त नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $x^2-1=0$ $\Rightarrow x^2=1$ $\Rightarrow x = \pm 1$। यह समुच्चय $\{1, -1\}$ है,जो रिक्त नहीं है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है,$A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$।
$A$ में विषम संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ है।
$S$ में अवयवों की संख्या $n = 5$ है।
$S$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n = 2^5 = 32$ है।
चूंकि प्रश्न में केवल विषम संख्याओं वाले उपसमुच्चय पूछे गए हैं,इसलिए हम रिक्त समुच्चय को घटा देंगे।
अतः,अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ है।

(C) दिया गया समुच्चय $ A = \{-1, 1\} $ है।
दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करने पर:
विकल्प $ C $ के लिए,समीकरण $ x^{2} = 1 $ है।
$ x^{2} = 1 $ को हल करने पर,हमें $ x = \pm 1 $ प्राप्त होता है।
अतः,मूलों का समुच्चय $ \{-1, 1\} $ है।
इसलिए,समुच्चय निर्माण रूप $ A = \{x : x \text{ समीकरण } x^{2} = 1 \text{ का एक मूल है} \} $ है।

(A) माना $f(n) = n(n+1)(2n+1)$ है।
हम जानते हैं कि $2n+1 = (n-1) + (n+2)$,इसलिए $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$ है।
ध्यान दें कि $n(n+1)(n-1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
इसी प्रकार,$n(n+1)(n+2)$ भी तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
अतः,$f(n)$ सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $6$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$\{n(n+1)(2n+1) : n \in \mathbb{Z}\} \subset \{6k : k \in \mathbb{Z}\}$।

(A) तीन वास्तविक संख्याओं $a, b, c$ के साथ बना एक समुच्चय जिसमें अवयवों का क्रम निश्चित या पूर्व-निर्धारित होता है,उसे क्रमित त्रिक (ordered triad) कहा जाता है,जिसे $(a, b, c)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) माना $f(n) = n(n+1)(2n+1)$.
हम जानते हैं कि $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$.
प्रत्येक पद $n(n+1)(n-1)$ और $n(n+1)(n+2)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
इसलिए,$n(n+1)(n-1) = 6k_1$ और $n(n+1)(n+2) = 6k_2$ किसी पूर्णांक $k_1, k_2$ के लिए।
अतः,$f(n) = 6(k_1 + k_2) = 6k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इसलिए,यह समुच्चय $\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$ का उपसमुच्चय है।

(B) दिया गया है कि $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}$ समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ से चुनी गई $15$ भिन्न संख्याएँ हैं।
चूंकि समुच्चय में ठीक $15$ भिन्न संख्याएँ हैं और हम $15$ भिन्न संख्याएँ चुन रहे हैं,इसलिए समुच्चय $\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}\}$ अनिवार्य रूप से $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ ही होगा।
अतः,किसी एक $x_{i}$ का मान $1$ होना चाहिए।
यदि किसी $i \in \{1, 2, \ldots, 15\}$ के लिए $x_{i} = 1$ है,तो पद $(x_{i}-1) = (1-1) = 0$ होगा।
चूंकि गुणनफल में $0$ का एक गुणनखंड मौजूद है,इसलिए संपूर्ण गुणनफल $(x_{1}-1)(x_{2}-1) \ldots (x_{15}-1)$ का मान $0$ होगा।

(B) हम व्यंजक $(A \setminus B) \setminus C$ का मूल्यांकन करते हैं:
समुच्चय अंतर की परिभाषा के अनुसार,$A \setminus B = A \cap B'$।
अतः,$(A \setminus B) \setminus C = (A \cap B') \cap C'$।
सर्वनिष्ठ (intersection) के साहचर्य नियम का उपयोग करने पर,हमें $A \cap (B' \cap C')$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$B' \cap C' = (B \cup C)'$।
इसलिए,$(A \setminus B) \setminus C = A \cap (B \cup C)' = A \setminus (B \cup C)$।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया कथन मान्य है।

(B) समुच्चय $P$ प्रथम चतुर्थांश $(x > 0, y > 0)$ में इकाई वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के चाप को दर्शाता है।
समुच्चय $T$ प्रथम चतुर्थांश में वक्र $x^8 + y^8 = 1$ के अंदर के क्षेत्र को दर्शाता है।
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर स्थित किसी भी बिंदु $(x, y)$ के लिए,हमारे पास $0 < x < 1$ और $0 < y < 1$ है।
चूंकि $0 < x < 1$,इसलिए $x^8 < x^2$ और चूंकि $0 < y < 1$,इसलिए $y^8 < y^2$ है।
अतः,$x^8 + y^8 < x^2 + y^2 = 1$ है।
इसका अर्थ है कि $P$ का प्रत्येक बिंदु $(x, y)$,$x^8 + y^8 < 1$ शर्त को भी संतुष्ट करता है,इसलिए $P \subset T$ है।
अतः,$P \cap T = P$।