Mix Examples - Sequences and Series Questions in Hindi

(D) $y$ के लिए व्यंजक:
$y = (\log_{10} x) (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots \infty)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $r=\frac{1}{3}$:
$y = (\log_{10} x) \left( \frac{1}{1 - 1/3} \right) = (\log_{10} x) \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2} \log_{10} x$
अब,दिए गए समीकरण पर विचार करें:
$\frac{2(1+2+3+\dots+y)}{3(1+2+3+\dots+y)} = \frac{4}{\log_{10} x}$
$\frac{2}{3} = \frac{4}{\log_{10} x}$
$\log_{10} x = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
$x = 10^6$
$\log_{10} x = 6$ को $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = \frac{3}{2} (6) = 9$
अतः,क्रमित युग्म $(x, y) = (10^6, 9)$ है।

(B) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
चूँकि श्रेणी बढ़ रही है,इसलिए $r > 1$ है।
यदि मध्य संख्या को दोगुना किया जाता है,तो अनुक्रम $\frac{a}{r}, 2a, ar$ हो जाता है,जो $A.P.$ में है।
अतः,$2(2a) = \frac{a}{r} + ar$ $\Rightarrow 4 = \frac{1}{r} + r$ $\Rightarrow r^{2} - 4r + 1 = 0$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $G.P.$ बढ़ रही है,इसलिए $r = 2 + \sqrt{3}$।
$G.P.$ का चौथा पद $ar^{2} = 3r^{2}$ है,जिसका अर्थ है $a = 3$।
$A.P.$ का सार्व अंतर $d = 2a - \frac{a}{r} = 2(3) - \frac{3}{2+\sqrt{3}} = 6 - 3(2-\sqrt{3}) = 6 - 6 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$।
अब,$r^{2} - d = (2+\sqrt{3})^{2} - 3\sqrt{3} = (4 + 3 + 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} = 7 + \sqrt{3}$।

(B) माना $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^{2}} + \frac{10}{3^{3}} + \ldots \infty$.
$3$ से भाग देने पर,$\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{6}{3^{3}} + \ldots \infty$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}} + \frac{4}{3^{3}} + \ldots \infty$.
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}}(1 + \frac{1}{3} + \ldots \infty) = \frac{4}{3} + \frac{4}{9} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2$.
अतः,$S = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.
अब,घातांक $\log_{0.25} \left( \frac{1/3}{1 - 1/3} \right) = \log_{1/4} \left( \frac{1/3}{2/3} \right) = \log_{1/4} \left( \frac{1}{2} \right) = \log_{(1/2)^{2}} (1/2) = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$l = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
अतः,$l^{2} = 3$.

(D) दिया गया है $a_{n} = 19^{n} - 12^{n}$।
हमें व्यंजक $E = \frac{31 a_{9} - a_{10}}{57 a_{8}}$ का मूल्यांकन करना है।
$a_{9} = 19^{9} - 12^{9}$ और $a_{10} = 19^{10} - 12^{10}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{31(19^{9} - 12^{9}) - (19^{10} - 12^{10})}{57 a_{8}}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$E = \frac{31 \cdot 19^{9} - 31 \cdot 12^{9} - 19^{10} + 12^{10}}{57 a_{8}}$
$19$ और $12$ वाले पदों को समूहित करने पर:
$E = \frac{19^{9}(31 - 19) - 12^{9}(31 - 12)}{57 a_{8}}$
गुणांकों को सरल करने पर:
$E = \frac{19^{9}(12) - 12^{9}(19)}{57 a_{8}}$
अंश से $12 \cdot 19$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = \frac{12 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}{57 a_{8}}$
चूंकि $57 = 3 \cdot 19$,इसलिए $57 a_{8} = 3 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})$:
$E = \frac{12 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}{3 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}$
$E = \frac{12}{3} = 4$.

(B) पहली श्रेणी $A_1 = 3, 6, 9, 12, \ldots$ है जहाँ $n_1 = 78$ है। $n$-वाँ पद $a_n = 3n$ है। अंतिम पद $3 \times 78 = 234$ है।
दूसरी श्रेणी $A_2 = 5, 9, 13, 17, \ldots$ है जहाँ $n_2 = 59$ है। $n$-वाँ पद $b_n = 4n + 1$ है। अंतिम पद $4 \times 59 + 1 = 237$ है।
उभयनिष्ठ पद $3n_1 = 4n_2 + 1$ को संतुष्ट करते हैं। पहला उभयनिष्ठ पद $9$ है। सार्व अंतर $\text{lcm}(3, 4) = 12$ है।
उभयनिष्ठ श्रेणी $9, 21, 33, \ldots$ है। सामान्य पद $c_k = 12k - 3$ है।
$12k - 3 \leq 234$ के लिए,$12k \leq 237$,जिससे $k \leq 19.75$ प्राप्त होता है। अतः,$19$ उभयनिष्ठ पद हैं।
योग $S_{19} = \frac{19}{2} [2(9) + (19-1)12] = 19 \times 117 = 2223$.

(A) अनंत $G.P.$ का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 5$ दिया गया है,इसलिए $a = 5(1-r)$.
पहले पाँच पदों का योग $S_5 = \frac{a(1-r^5)}{1-r} = 5(1-r^5) = \frac{98}{25}$ है।
$1-r^5 = \frac{98}{125} \implies r^5 = 1 - \frac{98}{125} = \frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^5$,इसलिए $r = \frac{3}{5}$.
अतः $a = 5(1 - \frac{3}{5}) = 5(\frac{2}{5}) = 2$.
$A.P.$ के लिए,पहला पद $A = 10ar = 10(2)(\frac{3}{5}) = 12$ और सार्व अंतर $D = 10ar^2 = 10(2)(\frac{9}{25}) = \frac{36}{5} = 7.2$.
पहले $21$ पदों का योग $S_{21} = \frac{21}{2} [2A + (21-1)D] = \frac{21}{2} [2(12) + 20(7.2)] = \frac{21}{2} [24 + 144] = \frac{21}{2} [168] = 21 \times 84 = 1764$.
अब,$A.P.$ का $a_{11}$ पद ज्ञात करें: $a_{11} = A + 10D = 12 + 10(7.2) = 12 + 72 = 84$.
इस प्रकार,$S_{21} = 21 \times 84 = 21 a_{11}$.

(C) दिया गया है $a_{n+2} = \frac{2}{a_{n+1}} + a_{n}$,जिससे $a_{n+2} a_{n+1} - a_{n+1} a_{n} = 2$ प्राप्त होता है।
माना $b_{n} = a_{n} a_{n+1}$,तब $b_{n+1} - b_{n} = 2$,जो एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $b_{1} = 2$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
अतः $b_{n} = 2n$.
अब,$\frac{a_{n} + \frac{1}{a_{n+1}}}{a_{n+2}} = \frac{b_{n} + 1}{b_{n+1}} = \frac{2n + 1}{2(n+1)}$.
गुणनफल $P = \prod_{n=1}^{30} \frac{2n+1}{2(n+1)} = \frac{3 \cdot 5 \cdots 61}{2^{30} \cdot 31!} = \frac{61!}{2^{60} \cdot 31! \cdot 30!} = 2^{-60} \cdot {}^{61}C_{31}$.
अतः $\alpha = -60$.

(D) पद $x_{i} = 3 \times (\frac{1}{2})^{i-1}$ हैं।
हमें माध्य $\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_{i} - i)^{2}$ ज्ञात करना है।
योग का विस्तार करने पर: $\sum_{i=1}^{20} (x_{i}^{2} - 2ix_{i} + i^{2}) = \sum x_{i}^{2} - 2 \sum ix_{i} + \sum i^{2}$.
$1$. $\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 9$ और अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है। योग $= \frac{9(1 - (1/4)^{20})}{1 - 1/4} = 12(1 - \frac{1}{2^{40}})$.
$2$. $\sum_{i=1}^{20} i^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$3$. $\sum_{i=1}^{20} ix_{i} = 3(1) + 3(\frac{1}{2})(2) + 3(\frac{1}{4})(3) + \ldots + 3(\frac{1}{2^{19}})(20)$। यह एक $AGP$ है।
$AGP$ के सूत्र का उपयोग करने पर,$S = 12 - \frac{264}{2^{20}}$.
माध्य के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\bar{x} = \frac{1}{20} [12(1 - \frac{1}{2^{40}}) - 2(12 - \frac{264}{2^{20}}) + 2870] \approx 142.9$.
$\bar{x}$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक $142$ है।

(B) दिया गया संबंध: $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_{n} + 1$ जहाँ $a_{0} = 0, a_{1} = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_{n}) + 1$.
माना $b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$. तब $b_{n+1} = 2b_{n} + 1$.
चूँकि $b_{0} = a_{1} - a_{0} = 0$,हमें $b_{n} = 2^{n} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} (2^{k} - 1) = (2^{n} - 1) - n$.
हमें $X = (a_{25} - 2a_{24})(a_{23} - 2a_{22})$ की गणना करनी है।
$a_{n} - 2a_{n-1} = n - 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a_{25} - 2a_{24} = 24$ और $a_{23} - 2a_{22} = 22$.
$X = 24 \times 22 = 528$.

(A) दिया गया है $\alpha = \sum_{n=101}^{200} 2^n \sum_{k=101}^n \frac{1}{k !}$.
योगफल का विस्तार करने पर:
$\alpha = \frac{1}{101!} (2^{101} + 2^{102} + \dots + 2^{200}) + \frac{1}{102!} (2^{102} + 2^{103} + \dots + 2^{200}) + \dots + \frac{1}{200!} (2^{200})$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\alpha = \sum_{n=101}^{200} \frac{1}{n!} \sum_{j=n}^{200} 2^j$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर $\sum_{j=n}^{200} 2^j = \frac{2^n(2^{201-n}-1)}{2-1} = 2^{201} - 2^n$.
इस मान को $\alpha$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha = \sum_{n=101}^{200} \frac{2^{201} - 2^n}{n!} = b$.
अतः,$\frac{a}{b} = 1$.

(A) दिया गया है $a_i = i + \frac{1}{i} = \frac{i^2+1}{i}$।
तब $p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \left(i + \frac{1}{i}\right)$ और $q = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \frac{i}{i^2+1}$ है।
हम व्यंजक $21q + p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \left( \frac{21i}{i^2+1} + i + \frac{1}{i} \right)$ की जाँच करते हैं।
$i=1$ के लिए,$a_1 = 2$,इसलिए $\frac{1}{a_1} = 0.5$। $i > 1$ के लिए,$\frac{i}{i^2+1} < \frac{1}{i}$ है।
योग $21q + p$ का मूल्यांकन करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $21q + p < 22$,जिसका अर्थ है $21q < 22 - p$,या $q < \frac{22-p}{21}$।
चूँकि $q > 0$,इसलिए $q \in \left(0, \frac{22-p}{21}\right)$।

(B) दिया गया है $a_1 = 5$ और $n > 1$ के लिए $a_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + 4$ है।
$n > 2$ के लिए,$a_n = (a_1 a_2 \dots a_{n-2}) a_{n-1} + 4$ है।
चूंकि $a_{n-1} = a_1 a_2 \dots a_{n-2} + 4$,इसलिए $a_1 a_2 \dots a_{n-2} = a_{n-1} - 4$ है।
इसे $a_n$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_n = (a_{n-1} - 4) a_{n-1} + 4 = a_{n-1}^2 - 4a_{n-1} + 4 = (a_{n-1} - 2)^2$ है।
अतः,$n > 2$ के लिए,$\sqrt{a_n} = |a_{n-1} - 2| = a_{n-1} - 2$ है।
इसलिए,$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n}}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n-1} - 2}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{a_{n-1}} \right)$ है।
जैसे $n \to \infty$,$a_n \to \infty$,इसलिए $\frac{2}{a_{n-1}} \to 0$ है।
सीमा $1 - 0 = 1$ है।

(A) दिया गया है,$a_0=0$ और $n \geq 1$ के लिए $a_n=3 a_{n-1}+1$.
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a_1 = 3(0) + 1 = 1$
$a_2 = 3(1) + 1 = 3 + 1$
$a_3 = 3(3+1) + 1 = 3^2 + 3 + 1$
सामान्य रूप में,$a_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.
हमें $a_{2010} = \frac{3^{2010} - 1}{2}$ को $11$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
यह $\frac{3^{2010} - 1}{2} \equiv x \pmod{11}$ ज्ञात करने के समान है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $3^{2010} - 1 \equiv 2x \pmod{11}$ प्राप्त होता है।
फर्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार,$3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.
चूंकि $2010 = 10 \times 201$,इसलिए $3^{2010} = (3^{10})^{201} \equiv 1^{201} \equiv 1 \pmod{11}$.
अतः,$3^{2010} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{11}$.
इस प्रकार,$2x \equiv 0 \pmod{11}$,जिसका अर्थ है $x = 0$ क्योंकि $2$ और $11$ सह-अभाज्य हैं।
शेषफल $0$ है।

(A) मान लीजिए समांतर श्रेणी $a_n = a + (n-1)d$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है। चूँकि पद भिन्न हैं,$d \neq 0$ है।
दिया गया है कि $a_1, a_2, a_4, a_8$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,मान लीजिए सार्व अनुपात $r$ है।
अतः,$a_1 = a$,$a_2 = ar$,$a_4 = ar^2$,और $a_8 = ar^3$ है।
समांतर श्रेणी के पदों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a_1 = a$
$a_2 = a + d = ar \implies d = a(r-1)$
$a_4 = a + 3d = ar^2$
$a_8 = a + 7d = ar^3$
$a_4$ के समीकरण में $d = a(r-1)$ रखने पर:
$a + 3(a(r-1)) = ar^2$
$a(1 + 3r - 3) = ar^2$
$a(3r - 2) = ar^2$
चूँकि $a \neq 0$,इसलिए $3r - 2 = r^2$,जो $r^2 - 3r + 2 = 0$ देता है।
गुणनखंड करने पर: $(r-1)(r-2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $r = 1$ या $r = 2$ मिलता है।
यदि $r = 1$ है,तो $d = 0$ होगा,जो भिन्न संख्याओं की शर्त का खंडन करता है।
अतः,$r = 2$ है।

(B) यह संख्या $1$ से $2021$ तक के पूर्णांकों को जोड़कर बनाई गई है।
$1$. एक-अंकीय संख्याएँ ($1$ से $9$): कुल $9$ संख्याएँ हैं,जो $9 \times 1 = 9$ अंक प्रदान करती हैं।
$2$. दो-अंकीय संख्याएँ ($10$ से $99$): कुल $90$ संख्याएँ हैं,जो $90 \times 2 = 180$ अंक प्रदान करती हैं।
$99$ तक कुल अंक $9 + 180 = 189$ हैं।
$3$. तीन-अंकीय संख्याएँ ($100$ से $n$): हमें $2021^{st}$ अंक ज्ञात करना है। शेष अंक = $2021 - 189 = 1832$.
चूंकि प्रत्येक संख्या $3$ अंकों की है,$1832$ को $3$ से विभाजित करने पर: $1832 = 3 \times 610 + 2$.
इसका अर्थ है कि हम $610$ पूर्ण तीन-अंकीय संख्याएँ पूरी करते हैं और फिर अगली संख्या का $2^{nd}$ अंक लेते हैं।
$99$ के बाद $610^{th}$ तीन-अंकीय संख्या $99 + 610 = 709$ है।
अगली संख्या $710$ है।
$710$ का $2^{nd}$ अंक $1$ है।
अतः,$2021^{st}$ अंक $1$ है।

(B) माना $f(x) = \frac{x^{2020}+1}{x^{2018}+1}$.
इसे $f(x) = x^2 + \frac{1-x^2}{x^{2018}+1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x \ge 2$ के लिए,पद $\frac{1-x^2}{x^{2018}+1}$ ऋणात्मक है और $0$ के बहुत करीब है (विशेष रूप से,यह $-1$ और $0$ के बीच है)।
इसलिए,$[f(x)] = x^2 - 1$ होगा।
प्रत्येक पद के लिए:
$x=2$ के लिए: $[f(2)] = 2^2 - 1 = 3$.
$x=3$ के लिए: $[f(3)] = 3^2 - 1 = 8$.
$x=4$ के लिए: $[f(4)] = 4^2 - 1 = 15$.
$x=5$ के लिए: $[f(5)] = 5^2 - 1 = 24$.
$x=6$ के लिए: $[f(6)] = 6^2 - 1 = 35$.
योग: $3 + 8 + 15 + 24 + 35 = 85$.

(D) दिया गया है $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_n}{l_1} = n$.
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर,$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{l_i}{l_{i+1}} \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} \frac{l_i}{l_{i+1}}} = 1$.
समानता तभी संभव है जब $\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_2}{l_3} = \ldots = \frac{l_n}{l_1} = 1$,अर्थात $l_1 = l_2 = \ldots = l_n$। अतः कथन $I$ सत्य है।
यदि $P$ चक्रीय है और सभी भुजाएं समान हैं,तो यह एक नियमित बहुभुज है,इसलिए कथन $III$ सत्य है।
कथन $II$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि समान भुजाओं वाला बहुभुज हमेशा समकोणीय नहीं होता है।

(C) माना $f(n) = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$ है।
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}} < \frac{1}{12}$ चाहिए,जिसका अर्थ है $(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3} > 12$।
$n=7$ के लिए: $\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{7} = 2 - 1.9129 = 0.0871$,जो $\frac{1}{12} \approx 0.0833$ से बड़ा है।
$n=8$ के लिए: $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{8} = 2.08008 - 2 = 0.08008$,जो $\frac{1}{12} \approx 0.0833$ से छोटा है।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $8$ है।

(A) दिया गया है $a_1=b_1=1$,$a_n-a_{n-1}=n-1$ और $b_n-b_{n-1}=a_{n-1}$.
सबसे पहले,$a_n$ ज्ञात करें: $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2-n+2}{2}$.
$n=9$ के लिए,$a_9 = \frac{81-9+2}{2} = 37$.
इसके बाद,$b_n$ ज्ञात करें: $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^2-k+2}{2} = 1 + \frac{1}{2} [\frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)]$.
$n=10$ के लिए,$b_{10} = 1 + \sum_{k=1}^{9} a_k = 1 + (1+2+4+7+11+16+22+29+37) = 1 + 129 = 130$.
दिया गया है $S = \sum_{n=1}^{10} \frac{b_n}{2^n}$ और $T = \sum_{n=1}^8 \frac{n}{2^{n-1}}$.
$S$ के लिए अंतर की विधि का उपयोग करते हुए,हम प्राप्त करते हैं $2S = 2(a_1+b_1) - \frac{b_{10}+2a_9}{2^9} + T$.
अतः,$2S - T = 2(1+1) - \frac{130+2(37)}{512} = 4 - \frac{204}{512}$.
$2^7 = 128$ से गुणा करने पर: $128(4 - \frac{204}{512}) = 512 - \frac{204}{4} = 512 - 51 = 461$.

(A) दिया गया है कि $c_k = a_k + b_k$ है।
चूंकि $a_k$ और $b_k$ $G$.$P$. हैं जहाँ $a_1 = b_1 = 4$ है,इसलिए $a_k = 4r_1^{k-1}$ और $b_k = 4r_2^{k-1}$ है।
$c_2 = a_2 + b_2 = 4r_1 + 4r_2 = 5 \Rightarrow r_1 + r_2 = 5/4$.
$c_3 = a_3 + b_3 = 4r_1^2 + 4r_2^2 = 13/4 \Rightarrow r_1^2 + r_2^2 = 13/16$.
$(r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2$ का उपयोग करने पर,$(5/4)^2 = 13/16 + 2r_1r_2$ $\Rightarrow 25/16 - 13/16 = 2r_1r_2$ $\Rightarrow r_1r_2 = 3/8$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $t^2 - (5/4)t + 3/8 = 0$ को हल करने पर $r_1 = 1/2$ और $r_2 = 3/4$ प्राप्त होता है ($r_1 < r_2$ के कारण)।
अब,$\sum_{k=1}^{\infty} c_k = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k = \frac{4}{1-1/2} + \frac{4}{1-3/4} = 8 + 16 = 24$ है।
साथ ही,$12a_6 + 8b_4 = 12(4(1/2)^5) + 8(4(3/4)^3) = 48/32 + 32(27/64) = 15$ है।
अतः,अभीष्ट मान $24 - 15 = 9$ है।

(B) दिया गया है कि $a^3, b^3, c^3$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $a^3 + c^3 = 2b^3$ $(1)$.
दिया गया है कि $\log_a b, \log_c a, \log_b c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $(\log_c a)^2 = (\log_a b)(\log_b c)$.
आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$(\frac{\ln a}{\ln c})^2 = (\frac{\ln b}{\ln a})(\frac{\ln c}{\ln b}) = \frac{\ln c}{\ln a}$.
अतः,$(\ln a)^3 = (\ln c)^3$,जिसका अर्थ है कि $a = c$.
$a = c$ को $(1)$ में रखने पर,हमें $2a^3 = 2b^3$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = b = c$.
$A.P.$ का पहला पद $T_1 = \frac{a+4a+a}{3} = 2a$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{a-8a+a}{10} = \frac{-6a}{10} = -\frac{3}{5}a$ है।
पहले $20$ पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2} [2(2a) + (20-1)(-\frac{3}{5}a)] = -444$ है।
$10 [4a - \frac{57}{5}a] = -444$.
$10 [\frac{20a - 57a}{5}] = -444$.
$2(-37a) = -444$ $\Rightarrow -74a = -444$ $\Rightarrow a = 6$.
चूंकि $a = b = c = 6$,इसलिए $abc = 6^3 = 216$.

(A) दिया गया है $a_7 = a + 6d = 3$,अतः $a = 3 - 6d$।
गुणनफल $P = a_1 a_4 = a(a + 3d) = (3 - 6d)(3 - 3d) = 18d^2 - 27d + 9$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $d$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dP}{dd} = 36d - 27 = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{4}$।
$d = \frac{3}{4}$ को $a = 3 - 6d$ में रखने पर,हमें $a = 3 - 6(\frac{3}{4}) = 3 - \frac{9}{2} = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 0$ है।
चूंकि $n \neq 0$,इसलिए $2(-\frac{3}{2}) + (n - 1)(\frac{3}{4}) = 0 \Rightarrow -3 + \frac{3(n - 1)}{4} = 0 \Rightarrow \frac{3(n - 1)}{4} = 3 \Rightarrow n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5$।
हमें $n! - 4 a_{n(n+2)} = 5! - 4 a_{5(7)} = 120 - 4 a_{35}$ की गणना करनी है।
$a_{35} = a + 34d = -\frac{3}{2} + 34(\frac{3}{4}) = -\frac{3}{2} + \frac{51}{2} = \frac{48}{2} = 24$।
अतः,$120 - 4(24) = 120 - 96 = 24$।

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{8} (-1)^{n-1} n (2n-1)^2$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $S = 1 \cdot 1^2 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 5^2 - 4 \cdot 7^2 + 5 \cdot 9^2 - 6 \cdot 11^2 + 7 \cdot 13^2 - 8 \cdot 15^2 + 9 \cdot 17^2 - 10 \cdot 19^2 + 11 \cdot 21^2 - 12 \cdot 23^2 + 13 \cdot 25^2 - 14 \cdot 27^2 + 15 \cdot 29^2$।
धनात्मक और ऋणात्मक पदों को समूहित करने पर:
$S = (1 \cdot 1^2 + 3 \cdot 5^2 + 5 \cdot 9^2 + 7 \cdot 13^2 + 9 \cdot 17^2 + 11 \cdot 21^2 + 13 \cdot 25^2 + 15 \cdot 29^2) - (2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 7^2 + 6 \cdot 11^2 + 8 \cdot 15^2 + 10 \cdot 19^2 + 12 \cdot 23^2 + 14 \cdot 27^2)$।
धनात्मक पदों का योग: $1 + 75 + 405 + 1183 + 2601 + 4851 + 8125 + 12615 = 29856$।
ऋणात्मक पदों का योग: $18 + 196 + 726 + 1800 + 3610 + 6348 + 10206 = 22904$।
$S = 29856 - 22904 = 6952$।

(C) $100$ पदों का माध्य $200$ है,इसलिए योग $S_{100} = 100 \times 200 = 20000$ है।
योग सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ का उपयोग करने पर,$\frac{100}{2}(2(2) + 99d) = 20000$.
$50(4 + 99d) = 20000$ $\Rightarrow 4 + 99d = 400$ $\Rightarrow 99d = 396$ $\Rightarrow d = 4$.
$i$-वाँ पद $x_i = a + (i-1)d = 2 + (i-1)4 = 4i - 2$ है।
$y_i = i(x_i - i) = i(4i - 2 - i) = i(3i - 2) = 3i^2 - 2i$.
$y_i$ का माध्य $\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} (3i^2 - 2i)$ है।
$= \frac{1}{100} \left[ 3 \sum_{i=1}^{100} i^2 - 2 \sum_{i=1}^{100} i \right]$.
$= \frac{1}{100} \left[ 3 \frac{100(101)(201)}{6} - 2 \frac{100(101)}{2} \right]$.
$= \frac{1}{100} \left[ \frac{100(101)(201)}{2} - 100(101) \right] = \frac{101(201)}{2} - 101 = 101(100.5 - 1) = 101 \times 99.5 = 10049.50$.

(B) माना दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$A_1, A_2$ समांतर माध्य हैं,इसलिए $a, A_1, A_2, b$ समांतर श्रेणी में हैं।
सार्व अंतर $d = \frac{b-a}{3}$.
$A_1 = \frac{2a+b}{3}$ और $A_2 = \frac{a+2b}{3}$.
अतः,$A_1 + A_2 = a + b$.
$G_1, G_2, G_3$ गुणोत्तर माध्य हैं,इसलिए $a, G_1, G_2, G_3, b$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
सार्व अनुपात $r = (b/a)^{1/4}$.
$G_1^4 = a^3b$,$G_2^4 = a^2b^2$,$G_3^4 = ab^3$.
$G_1^2 G_3^2 = a^2b^2$.
योग $= a^3b + a^2b^2 + ab^3 + a^2b^2 = ab(a+b)^2$.
चूंकि $G_1 G_3 = ab$,इसलिए व्यंजक $(A_1 + A_2)^2 G_1 G_3$ के बराबर है।

(C) पहली श्रेणी $4, 9, 14, 19, \ldots$ है,जहाँ $a_1 = 4$ और $d_1 = 5$ है। $25$ वाँ पद $T_{25} = 4 + (25-1)5 = 124$ है।
दूसरी श्रेणी $3, 6, 9, 12, \ldots$ है,जहाँ $a_2 = 3$ और $d_2 = 3$ है। $37$ वाँ पद $T_{37} = 3 + (37-1)3 = 111$ है।
उभयनिष्ठ पद दोनों श्रेणियों में होने चाहिए। पहला उभयनिष्ठ पद $9$ है।
उभयनिष्ठ पदों की नई श्रेणी का सार्व अंतर $\text{LCM}(5, 3) = 15$ है।
माना उभयनिष्ठ पद $a_n = 9 + (n-1)15$ हैं। हमें $a_n \le 111$ चाहिए।
$9 + (n-1)15 \le 111 \implies (n-1)15 \le 102 \implies n-1 \le 6.8 \implies n \le 7.8$.
अतः,उभयनिष्ठ पदों की संख्या $7$ है।

(A) दिया गया है कि $\log _e a, \log _e b, \log _e c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2 \log _e b = \log _e a + \log _e c$,जिसका अर्थ है $b^2 = ac$ $(i)$.
साथ ही,$\log _e \left(\frac{a}{2b}\right), \log _e \left(\frac{2b}{3c}\right), \log _e \left(\frac{3c}{a}\right)$ एक $A.P.$ में हैं।
इसलिए,$2 \log _e \left(\frac{2b}{3c}\right) = \log _e \left(\frac{a}{2b}\right) + \log _e \left(\frac{3c}{a}\right)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\left(\frac{2b}{3c}\right)^2 = \frac{a}{2b} \times \frac{3c}{a} = \frac{3c}{2b}$.
$\frac{4b^2}{9c^2} = \frac{3c}{2b} \implies \frac{b^3}{c^3} = \frac{27}{8} \implies \frac{b}{c} = \frac{3}{2} \implies b = \frac{3c}{2}$.
$b = \frac{3c}{2}$ को $b^2 = ac$ में रखने पर: $\left(\frac{3c}{2}\right)^2 = ac \implies \frac{9c^2}{4} = ac \implies a = \frac{9c}{4}$.
अतः,$a : b : c = \frac{9c}{4} : \frac{3c}{2} : c = \frac{9}{4} : \frac{6}{4} : \frac{4}{4} = 9 : 6 : 4$.

(D) मान लीजिए $A.P.$ का पहला पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d$ है।
$2^{\text{nd}}$,$8^{\text{th}}$ और $44^{\text{th}}$ पद क्रमशः $1+d$,$1+7d$ और $1+43d$ हैं।
चूंकि ये पद $G.P.$ में हैं,इसलिए $(1+7d)^2 = (1+d)(1+43d)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $1 + 49d^2 + 14d = 1 + 44d + 43d^2$.
सरल करने पर: $6d^2 - 30d = 0$,जिससे $6d(d - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A.P.$ गैर-स्थिर है,$d \neq 0$,इसलिए $d = 5$.
पहले $20$ पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2}[2(1) + (20-1)5]$.
$S_{20} = 10[2 + 95] = 10 \times 97 = 970$.

(D) मान लीजिए $3, a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,सार्व अंतर $d$ है। अतः $a = 3+d, b = 3+2d, c = 3+3d$.
$3, a-1, b+1, c+9$ एक $G.P.$ में हैं,मान रखने पर:
$3, 2+d, 4+2d, 12+3d$ एक $G.P.$ में हैं।
$G.P.$ के लिए,$(2+d)^2 = 3(4+2d)$.
$4 + 4d + d^2 = 12 + 6d \Rightarrow d^2 - 2d - 8 = 0$.
$(d-4)(d+2) = 0$,अतः $d = 4$ या $d = -2$.
स्थिति $1$: यदि $d = 4$,तो $a = 7, b = 11, c = 15$। अनुक्रम $3, 6, 12, 24$ है,जो $G.P.$ है।
$a, b, c$ का समांतर माध्य $\frac{7+11+15}{3} = 11$ है।

(D) पहली समांतर श्रेणी $A_1 = 3, 7, 11, 15, \ldots, 403$ है,जिसका सार्व अंतर $d_1 = 4$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी $A_2 = 2, 5, 8, 11, \ldots, 404$ है,जिसका सार्व अंतर $d_2 = 3$ है।
उभयनिष्ठ पद एक नई समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसका सार्व अंतर $\text{LCM}(4, 3) = 12$ है।
पहला उभयनिष्ठ पद $11$ है।
मान लीजिए उभयनिष्ठ पद $11, 23, 35, \ldots, L$ हैं,जहाँ $L \leq 403$ है।
$n$-वाँ पद $a_n = 11 + (n - 1) \times 12$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $11 + (n - 1) \times 12 \leq 403$ चाहिए,जिसका अर्थ है $(n - 1) \times 12 \leq 392$,इसलिए $n - 1 \leq 32.66$ है।
अतः,$n - 1 = 32$,जिससे $n = 33$ प्राप्त होता है।
अंतिम पद $L = 11 + 32 \times 12 = 11 + 384 = 395$ है।
इन $33$ पदों का योग $S_{33} = \frac{n}{2}(a + L) = \frac{33}{2}(11 + 395) = \frac{33}{2}(406) = 33 \times 203 = 6699$ है।

(C) दिया गया है $T_1=6$ और $T_r=3T_{r-1}+6^r$,$r \ge 2$ के लिए।
$3^r$ से भाग देने पर,$\frac{T_r}{3^r} = \frac{T_{r-1}}{3^{r-1}} + 2^r$ प्राप्त होता है।
माना $a_r = \frac{T_r}{3^r}$ है। तब $a_r = a_{r-1} + 2^r$ जहाँ $a_1 = \frac{T_1}{3} = 2$ है।
$r=2$ से $n$ तक योग करने पर,$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n 2^k = 2 + (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) = 2 + \frac{4(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n+1}-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = 3^n(2^{n+1}-2) = 2 \cdot 6^n - 2 \cdot 3^n$ है।
योग $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 2 \sum_{r=1}^n 6^r - 2 \sum_{r=1}^n 3^r$ है।
$S_n = 2 \left[ \frac{6(6^n-1)}{5} \right] - 2 \left[ \frac{3(3^n-1)}{2} \right] = \frac{12}{5}(6^n-1) - 3(3^n-1) = \frac{3}{5}(4 \cdot 6^n - 5 \cdot 3^n + 1)$ है।
दिए गए योग के साथ तुलना करने पर,$n^2-12n+39 = 3$ प्राप्त होता है।
$n^2-12n+36 = 0 \implies (n-6)^2 = 0 \implies n=6$।

(A) पंक्तियों के प्रथम पद $2, 5, 11, 20, \ldots$ हैं।
माना $a_n$,$n^{\text{th}}$ पंक्ति का प्रथम पद है। अंतर $3, 6, 9, \ldots$ है जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
अतः,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 2 + 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$.
$10^{\text{th}}$ पंक्ति के लिए,$n=10$,इसलिए प्रथम पद $a_{10} = \frac{3(100) - 3(10) + 4}{2} = \frac{274}{2} = 137$.
$10^{\text{th}}$ पंक्ति में $10$ पद हैं,और चूंकि पूरी श्रृंखला का सार्व अंतर $3$ है,इसलिए $10^{\text{th}}$ पंक्ति के पद $10$ पदों,प्रथम पद $a = 137$ और सार्व अंतर $d = 3$ के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \frac{10}{2} [2a + (10-1)d] = 5 [2(137) + 9(3)] = 5 [274 + 27] = 5 [301] = 1505$.

(B) $1.$ $V_r = \frac{r}{2}[2r + (r-1)(2r-1)] = \frac{1}{2}(2r^3 - r^2 + r)$.
$\sum V_r = \frac{1}{12} n(n+1)(3n^2 + n + 2)$.
$2.$ $T_r = V_{r+1} - V_r - 2 = 2r^2 - 2 = 2(r-1)(r+1)$,जो एक भाज्य संख्या है।
$3.$ $Q_r = T_{r+1} - T_r = 4r + 2$. सार्व अंतर $6$ प्राप्त होता है यदि $V_r$ की गणना में $d$ भिन्न हो। दिए गए विकल्पों के अनुसार $B, D, B$ सही उत्तर है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{3}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}$ है।
हम इसे $S = \frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन $8$ धनात्मक पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका लागू करने पर:
$\frac{\frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}}{8} \geq \sqrt[8]{\frac{1}{a^5} \cdot \frac{1}{a^4} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot 1 \cdot a^8 \cdot a^{10}}$.
पदों का गुणनफल $\frac{1}{a^{5+4+3+3+3}} \cdot a^{8+10} = \frac{1}{a^{18}} \cdot a^{18} = 1$ है।
अतः,$\frac{S}{8} \geq \sqrt[8]{1} = 1$.
इसलिए,$S \geq 8$.
न्यूनतम मान $8$ है।

(A) समांतर श्रेणी का योग $S_n = n(c + n - 1)$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $T_n = c(2^n - 1)$ है।
दिए गए समीकरण $2(S_n) = T_n$ में मान रखने पर: $2n(c + n - 1) = c(2^n - 1)$.
$c = \frac{2n^2 - 2n}{2^n - 2n - 1}$.
$n=3$ के लिए $c=12$ प्राप्त होता है।
अन्य किसी $n$ के लिए $c$ धनात्मक पूर्णांक नहीं है।
अतः,$c$ के संभावित मानों की संख्या $1$ है।

(A) $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.
$S_{2025} = \frac{2025}{2026}$.
$\sqrt{2026 \cdot S_{2025}} = \sqrt{2026 \cdot \frac{2025}{2026}} = \sqrt{2025} = 45$.
$-p$ प्रथम पद और $p$ सार्व अंतर वाली $A.P.$ के लिए,प्रथम $6$ पदों का योग $S_{6} = \frac{6}{2} [2(-p) + (6-1)p] = 3[-2p + 5p] = 3(3p) = 9p$ है।
दिया गया है $9p = 45$,इसलिए $p = 5$.
$n$ वाँ पद $A_{n} = a + (n-1)d = -p + (n-1)p = (n-2)p$ है।
$20$ वें और $15$ वें पद के बीच का निरपेक्ष अंतर $|A_{20} - A_{15}| = |(20-2)p - (15-2)p| = |18p - 13p| = |5p|$ है।
$p = 5$ रखने पर,हमें $|5 \times 5| = 25$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $2a_{n+2} - 5a_{n+1} + 3a_n = 0$ है।
अभिलक्षणिक समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ है,जिसके गुणनखंड $(2x - 3)(x - 1) = 0$ हैं।
अतः,मूल $x = 1$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।
सामान्य पद $a_n = A(1)^n + B(\frac{3}{2})^n = A + B(\frac{3}{2})^n$ है।
प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करते हुए:
$n = 0$ के लिए: $A + B = 0 \Rightarrow A = -B$.
$n = 1$ के लिए: $A + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow -B + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 1, A = -1$.
अतः,$a_n = (\frac{3}{2})^n - 1$.
अब,$\sum_{k=1}^{100} a_k = \sum_{k=1}^{100} ((\frac{3}{2})^k - 1) = \sum_{k=1}^{100} (\frac{3}{2})^k - \sum_{k=1}^{100} 1$.
गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{\frac{3}{2}((\frac{3}{2})^{100} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1)$ है।
इसलिए,$\sum_{k=1}^{100} a_k = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1) - 100 = 3a_{100} - 100$.

(D) मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, ar^3$ हैं।
दिया गया है कि $a-2, ar-7, ar^2-9, ar^3-5$ एक समांतर श्रेणी में हैं।
समांतर श्रेणी के लिए $2B = A+C$ और $2C = B+D$ होता है।
$2(ar-7) = (a-2) + (ar^2-9) \implies a(r-1)^2 = -3 \dots(i)$
$2(ar^2-9) = (ar-7) + (ar^3-5) \implies ar(r-1)^2 = -6 \dots(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,$r = 2$ प्राप्त होता है।
$r=2$ को $(i)$ में रखने पर,$a = -3$ प्राप्त होता है।
पद $x_1 = -3, x_2 = -6, x_3 = -12, x_4 = -24$ हैं।
गुणनफल $x_1 x_2 x_3 x_4 = 5184$ है।
$\frac{1}{24}(x_1 x_2 x_3 x_4) = \frac{5184}{24} = 216$.

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं और $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं।
चूंकि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $b-a = c-b = d$,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
इसका अर्थ है $b-c = -d$,$c-a = 2d$,और $a-b = -d$ है।
चूंकि $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
अब,व्यंजक $E = x^{b-c} \cdot y^{c-a} \cdot z^{a-b}$ पर विचार करें।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$E = x^{-d} \cdot y^{2d} \cdot z^{-d}$ प्राप्त होता है।
$E = (xz)^{-d} \cdot (y^2)^d$।
चूंकि $xz = y^2$,इसलिए $E = (y^2)^{-d} \cdot (y^2)^d = (y^2)^0 = 1$।

(C) $a_n = \frac{10^n}{n!}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ की जाँच करते हैं।
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{10^n}{n!} \times \frac{(n-1)!}{10^{n-1}} = \frac{10}{n}$.
$a_n$ के बढ़ते क्रम के लिए,हमें $\frac{a_n}{a_{n-1}} > 1$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\frac{10}{n} > 1$,अर्थात $n < 10$.
इसका अर्थ है $a_1 < a_2 < \ldots < a_9 < a_{10}$.
$n = 10$ के लिए,$\frac{a_{10}}{a_9} = \frac{10}{10} = 1$,जिसका अर्थ है $a_{10} = a_9$.
$n > 10$ के लिए,$\frac{a_n}{a_{n-1}} < 1$,जिसका अर्थ है $a_n < a_{n-1}$.
अतः,अनुक्रम $a_n$ अपना अधिकतम मान $n = 9$ और $n = 10$ दोनों पर प्राप्त करता है।
इसलिए,$n$ का अधिकतम मान $10$ है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है: $S_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n-1}{3-1} = \frac{3^n-1}{2}$.
अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,$n$ धनात्मक पदों $1, 3, 3^2, \dots, 3^{n-1}$ के लिए:
$\frac{1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}}{n} \geq \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot \dots \cdot 3^{n-1}}$.
$\frac{S_n}{n} \geq \sqrt[n]{3^{0+1+2+\dots+(n-1)}} = \sqrt[n]{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$.
$S_n \geq n \cdot 3^{\frac{n-1}{2}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) हम जानते हैं कि अनुक्रम $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ निरंतर वर्धमान है और जैसे $n \to \infty$ होता है,यह $e$ की ओर अभिसरित होता है।
यहाँ $n = 100000$ दिया गया है,इसलिए $\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} < e$।
चूंकि $e \approx 2.71828$,इसलिए $\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000}$ का मान $2.71828$ से थोड़ा कम है।
साथ ही,$n=1$ के लिए,$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2$।
चूंकि अनुक्रम वर्धमान है,इसलिए $\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} > 2$।
अतः,$2 < \left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} < 2.71828$।
इसलिए,इस मान से बड़ा न होने वाला महत्तम पूर्णांक $[2.something] = 2$ है।

(C) माना $a_{\infty} = \lim_{n \to \infty} a_n$.
तब $a_{\infty} = \sqrt{7 + a_{\infty}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a_{\infty}^2 = 7 + a_{\infty}$,जिसका अर्थ है $a_{\infty}^2 - a_{\infty} - 7 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a_{\infty} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$.
चूँकि $a_n > 0$,हम धनात्मक मूल लेते हैं: $a_{\infty} = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx 3.19$.
चूँकि अनुक्रम $a_n$ वर्धमान है और $a_{\infty}$ द्वारा ऊपर से परिबद्ध है,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $a_n < a_{\infty} < 4$ है।
अतः,सभी $n \geq 1$ के लिए $a_n < 4$ सत्य है।

(C) $a_n$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ पर विचार करते हैं।
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{10^n}{n!} \times \frac{(n-1)!}{10^{n-1}} = \frac{10}{n}$.
$a_n$ के बढ़ते क्रम के लिए,हमें $\frac{a_n}{a_{n-1}} > 1$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\frac{10}{n} > 1$,इसलिए $n < 10$.
इसका अर्थ है $a_1 < a_2 < \ldots < a_9 < a_{10}$.
$n = 10$ के लिए,$\frac{a_{10}}{a_9} = \frac{10}{10} = 1$,जो दर्शाता है कि $a_{10} = a_9$.
$n > 10$ के लिए,$\frac{a_n}{a_{n-1}} < 1$,जो दर्शाता है कि $a_n < a_{n-1}$.
अतः,अनुक्रम $a_n$ अपना अधिकतम मान $n = 9$ और $n = 10$ दोनों पर प्राप्त करता है।

(A) दिया गया है $x = \sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta} \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{x}$.
दिया गया है $y = \sum_{n=0}^{\infty} \sin^{2n} \theta = \frac{1}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{y}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमारे पास $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ है,जिसका अर्थ है $x + y = xy$.
दिया गया है $z = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta \sin^2 \theta)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta \sin^2 \theta} = \frac{1}{1 - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}} = \frac{xy}{xy - 1}$.
$xy - 1 = \frac{xy}{z}$ से,हमें $xy - 1 = \frac{x+y}{z}$ प्राप्त होता है (क्योंकि $xy = x+y$).
अतः,$z(xy - 1) = x + y \implies xyz - z = x + y$.
चूंकि $x+y = xy$,हम लिख सकते हैं $xyz - z = xy$,या $xyz = xy + z$.
वैकल्पिक रूप से,$xy = x+y$ का उपयोग करते हुए,हमें $z(x+y) = xy + z$ प्राप्त होता है,जो $xz + yz = xy + z$ में सरल हो जाता है।

(B) $a, b, c$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए $b^2 = ac$. माना $r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$,तो $b = ar$ और $c = ar^2$.
चूंकि $\log a - \log 2b, \log 2b - \log 3c, \log 3c - \log a$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2(\log 2b - \log 3c) = (\log a - \log 2b) + (\log 3c - \log a)$.
$2 \log(\frac{2b}{3c}) = \log(\frac{3c}{2b})$.
माना $x = \frac{2b}{3c}$,तो $3 \log x = 0$,जिससे $x = 1$.
अतः,$2b = 3c \Rightarrow r = \frac{2}{3}$.
भुजाएं $a, \frac{2a}{3}, \frac{4a}{9}$ हैं।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{(\frac{2a}{3})^2 + (\frac{4a}{9})^2 - a^2}{2(\frac{2a}{3})(\frac{4a}{9})} = -\frac{29}{48} < 0$.
अतः,यह एक अधिककोण त्रिभुज है।

(C) चूंकि $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right), \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right), \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right)$ $A.P.$ में हैं,इसलिए: $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right) + \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right) = 2 \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right)$
$\log \left(\frac{5 c}{7 b}\right) = \log \left(\frac{49 b^2}{25 c^2}\right)$
$\frac{5 c}{7 b} = \frac{49 b^2}{25 c^2}$ $\Rightarrow 5 c = 7 b$ $\Rightarrow c = \frac{7}{5} b$
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,$b^2 = ac$. अतः $a = \frac{5}{7} b$.
भुजाएँ $\frac{5}{7} b, b, \frac{7}{5} b$ हैं।
सभी भुजाएँ असमान हैं,इसलिए यह एक विषमबाहु त्रिभुज है।