Mix Examples - Sequences and Series Questions in Hindi

(A) माना $AP$ में पाँच संख्याएँ $(a-2d), (a-d), a, (a+d), (a+2d)$ हैं,जहाँ $d \neq 0$ है।
दिया गया है कि $1^{st}$,$3^{rd}$ और $4^{th}$ पद $GP$ में हैं।
अतः,$(a-d)^2 = (a-2d)(a+d)$ (यह शर्त $1^{st}, 3^{rd}, 4^{th}$ के लिए है).
समीकरण को हल करने पर: $a^2 = a^2 - ad - 2d^2$.
$ad = -2d^2$.
चूँकि $d \neq 0$,इसलिए $a = -2d$.
पद हैं: $-4d, -3d, -2d, -d, 0$ है।
अतः,$5^{th}$ पद हमेशा $0$ होता है।

(A) हमें $I(n) = n^n$ और $J(n) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)$ दिया गया है।
$n$ धनात्मक पूर्णांकों $1, 3, 5, \ldots, (2n - 1)$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)}{n} > \sqrt[n]{1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)}$
प्रथम $n$ विषम पूर्णांकों का योग $n^2$ है,इसलिए $\frac{n^2}{n} > (J(n))^{1/n}$।
यह $n > (J(n))^{1/n}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों की घात $n$ लेने पर,हमें $n^n > J(n)$ प्राप्त होता है।
अतः,$I(n) > J(n)$।

(C) सबसे पहले,$a = \min \{x^{2} + 2x + 3\}$ ज्ञात करें। द्विघात समीकरण $Ax^{2} + Bx + C$ का न्यूनतम मान $\frac{4AC - B^{2}}{4A}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $A=1, B=2, C=3$ है,इसलिए $a = \frac{4(1)(3) - (2)^{2}}{4(1)} = \frac{12 - 4}{4} = 2$ है।
अगला,$b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}}$ ज्ञात करें। सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^{2}(\theta/2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{\theta^{2}} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{4(\theta/2)^{2}} = \frac{2}{4}(1)^{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,योग $S = \sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} (\frac{1}{2})^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^{r}$ का मूल्यांकन करें।
यह $n+1$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $4$ है। योग $2^{-n} \left[ \frac{1(4^{n+1} - 1)}{4 - 1} \right] = 2^{-n} \left[ \frac{4^{n+1} - 1}{3} \right] = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^{n}}$ है।

(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
इसे $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $b_{n} = a_{n} - \frac{2}{n^{2}}$. तब $a_{n} = b_{n} + \frac{2}{n^{2}}$.
इसे संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$b_{n+1} + \frac{2}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}(b_{n} + \frac{2}{n^{2}}) + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{(n+1)^{2}} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर:
$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{(n+1)^{2} - 2n^{2} + n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{n^{2}+2n+1-2n^{2}+n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n}$.
चूंकि $b_{1} = a_{1} - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = -1$,इसलिए $b_{n} = b_{1} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^{n-1}$.
अतः,$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} -(\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{1 - 1/2} = -2$.
इसलिए,$|\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}| = |-2| = 2$.

(A) मान लीजिए $A$.$P$. $a, a+d, \dots$ है और $G$.$P$. $g, gr, \dots$ है।
दिया गया है कि $A$.$P$. के प्रथम दस पदों का योग $160$ है,इसलिए $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 160$,जो सरल होकर $2a + 9d = 32$ हो जाता है।
दिया गया है कि $G$.$P$. के प्रथम दो पदों का योग $8$ है,इसलिए $g + gr = 8$,या $g(1+r) = 8$ है।
हमें $a = r$ और $g = d$ दिया गया है। इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$2r + 9g = 32$ और $g(1+r) = 8$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से,$g = \frac{8}{1+r}$ है। इसे पहले समीकरण में रखने पर:
$2r + 9(\frac{8}{1+r}) = 32 \Rightarrow 2r(1+r) + 72 = 32(1+r)$।
$2r^2 + 2r + 72 = 32 + 32r \Rightarrow 2r^2 - 30r + 40 = 0 \Rightarrow r^2 - 15r + 20 = 0$।
मान लीजिए मूल $r_1$ और $r_2$ हैं। तब $r_1 + r_2 = 15$ और $r_1r_2 = 20$ है।
$G$.$P$. का प्रथम पद $g = \frac{8}{1+r}$ है। $g$ के सभी संभावित मानों का योग है:
$g_1 + g_2 = \frac{8}{1+r_1} + \frac{8}{1+r_2} = 8 \left( \frac{1+r_2 + 1+r_1}{(1+r_1)(1+r_2)} \right) = 8 \left( \frac{2 + (r_1+r_2)}{1 + (r_1+r_2) + r_1r_2} \right)$।
मान रखने पर: $8 \left( \frac{2 + 15}{1 + 15 + 20} \right) = 8 \left( \frac{17}{36} \right) = \frac{34}{9}$।

(C) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 5n$ है।
$n$ वां पद $T_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$T_n = (3n^2 + 5n) - (3(n-1)^2 + 5(n-1)) = 3n^2 + 5n - (3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5) = 6n + 2$.
प्रथम $10$ पद $8, 14, 20, \dots, 62$ हैं।
हमें वर्गों का योग ज्ञात करना है: $\sum_{n=1}^{10} (6n + 2)^2$.
$= \sum_{n=1}^{10} (36n^2 + 24n + 4) = 36 \sum_{n=1}^{10} n^2 + 24 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 4$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$.
$= 36 \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + 24 \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right) + 4(10)$.
$= 6(10 \cdot 11 \cdot 21) + 12(110) + 40$.
$= 6(2310) + 1320 + 40 = 13860 + 1360 = 15220$.

(D) मान लीजिए $A$.$P$. $a_n = a + (n-1)d$ है और $G$.$P$. $g_n = ar^{n-1}$ है।
दिया है $a_1 = g_1 = a$.
$a_2 + g_2 = 1$ से,$(a+d) + ar = 1 \implies d = 1 - a - ar$.
$a_3 + g_3 = 4$ से,$(a+2d) + ar^2 = 4$.
$d$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $a + 2(1 - a - ar) + ar^2 = 4$.
$a + 2 - 2a - 2ar + ar^2 = 4 \implies ar^2 - 2ar - a = 2 \implies a(r^2 - 2r - 1) = 2$.
$a = 1/(1+r)$ रखने पर,$\frac{r^2 - 2r - 1}{r+1} = 2 \implies r^2 - 2r - 1 = 2r + 2 \implies r^2 - 4r - 3 = 0$.
यदि हम $a=1$ और $r=3$ लेते हैं,तो $a_1=1, g_1=1$. $a_2+g_2 = (1+d)+3 = 1 \implies d=-3$. $a_3+g_3 = (1-6)+9 = 4$. यह शर्त संतुष्ट होती है।
अतः $a_n = 1 + (n-1)(-3) = 4 - 3n$ और $g_n = 3^{n-1}$.
$a_{10} = 4 - 3(10) = -26$.
$g_5 = 3^4 = 81$.
$a_{10} + g_5 = -26 + 81 = 55$.