मान लीजिए a_0=0 और n geq 1 के लिए a_n=3 a_{n- | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$a_0=0$ और $n \geq 1$ के लिए $a_n=3 a_{n-1}+1$.हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:$a_1 = 3(0) + 1 = 1$$a_2 = 3(1) + 1 = 3 + 1$$a_3 = 3(

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$0$

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(A) दिया गया है,$a_0=0$ और $n \geq 1$ के लिए $a_n=3 a_{n-1}+1$.हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:$a_1 = 3(0) + 1 = 1$$a_2 = 3(1) + 1 = 3 + 1$$a_3 = 3(3+1) + 1 = 3^2 + 3 + 1$सामान्य रूप में,$a_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.हमें $a_{2010} = \frac{3^{2010} - 1}{2}$ को $11$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।यह $\frac{3^{2010} - 1}{2} \equiv x \pmod{11}$ ज्ञात करने के समान है।$2$ से गुणा करने पर,हमें $3^{2010} - 1 \equiv 2x \pmod{11}$ प्राप्त होता है।फर्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार,$3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.चूंकि $2010 = 10 	imes 201$,इसलिए $3^{2010} = (3^{10})^{201} \equiv 1^{201} \equiv 1 \pmod{11}$.अतः,$3^{2010} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{11}$.इस प्रकार,$2x \equiv 0 \pmod{11}$,जिसका अर्थ है $x = 0$ क्योंकि $2$ और $11$ सह-अभाज्य हैं।शेषफल $0$ है।

मान लीजिए $a_0=0$ और $n \geq 1$ के लिए $a_n=3 a_{n-1}+1$ है। तो,$a_{2010}$ को $11$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल क्या है?

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