Mix Examples - Sequences and Series Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $a_1 = 2$ और $a_2 = 2$ है।
$n > 2$ के लिए,पुनरावृत्ति संबंध $a_n = a_{n-1} - 1$ है।
अगले पदों की गणना करने पर:
$a_3 = a_2 - 1 = 2 - 1 = 1$
$a_4 = a_3 - 1 = 1 - 1 = 0$
$a_5 = a_4 - 1 = 0 - 1 = -1$
अतः,$a_5$ का मान $-1$ है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a}{abc}, \frac{b}{abc}, \frac{c}{abc}$ $A.P.$ में हैं।
यह सरल होकर $\frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}, \frac{1}{ab}$ $A.P.$ में हैं।
हालाँकि,दिए गए पद $\frac{a}{bc}, \frac{1}{c}, \frac{2}{b}$ हैं।
चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
$abc$ से विभाजित करने पर,$\frac{2}{ac} = \frac{1}{bc} + \frac{1}{ab}$ प्राप्त होता है।
दी गई अनुक्रम $\frac{a}{bc}, \frac{1}{c}, \frac{2}{b}$ सामान्यतः $A.P.$,$G.P.$ या $H.P.$ की शर्तों को पूरा नहीं करती है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ .....$(i)$
$x$,$a$ और $b$ के बीच का समांतर माध्य है,इसलिए $x = \frac{a + b}{2}$ .....(ii)
$y$,$b$ और $c$ के बीच का समांतर माध्य है,इसलिए $y = \frac{b + c}{2}$ .....(iii)
अब,व्यंजक $\frac{a}{x} + \frac{c}{y}$ पर विचार करें।
$x$ और $y$ के मान रखने पर: $\frac{a}{\frac{a+b}{2}} + \frac{c}{\frac{b+c}{2}} = \frac{2a}{a+b} + \frac{2c}{b+c}$
$= \frac{2a(b+c) + 2c(a+b)}{(a+b)(b+c)} = \frac{2ab + 2ac + 2ac + 2bc}{ab + ac + b^2 + bc}$
चूंकि $b^2 = ac$,हर (denominator) $ab + ac + ac + bc = ab + 2ac + bc$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{2(ab + 2ac + bc)}{ab + 2ac + bc} = 2$ है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$.
दिया गया है कि $b - c, c - a, a - b$ एक $H.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{2}{c - a} = \frac{1}{b - c} + \frac{1}{a - b}$.
$H.P.$ की शर्त को सरल करने पर: $\frac{2}{c - a} = \frac{a - b + b - c}{(b - c)(a - b)} = \frac{a - c}{(b - c)(a - b)}$.
$2(b - c)(a - b) = -(c - a)^2$.
$2(ab - b^2 - ac + bc) = -(c - a)^2$.
चूँकि $b^2 = ac$,हमारे पास $2(ab - ac - ac + bc) = -(c - a)^2$ है।
$2(ab + bc - 2ac) = -(c - a)^2$.
$2b(a + c) - 4ac = -(c^2 - 2ac + a^2)$.
$2b(a + c) - 4b^2 = -c^2 + 2b^2 - a^2$.
$a^2 + 2b(a + c) + c^2 = 6b^2$.
अतः,$a+b+c$ का मान $a, b,$ और $c$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह किसी से भी स्वतंत्र नहीं है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
चूंकि $a - b, c - a, b - c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $A.P.$ में होंगे:
$\frac{2}{c - a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c}$
इस समीकरण को हल करने पर:
$2(a - b)(b - c) = -(a - c)^2$
इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$a + 4b + c = 0$.

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
चूंकि $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ और $(r + 1)^{th}$ पद $G.P.$ में हैं,इसलिए:
$(a + md), (a + nd), (a + rd)$ $G.P.$ में हैं।
अतः,$(a + nd)^2 = (a + md)(a + rd)$.
सरल करने पर: $a^2 + 2and + n^2d^2 = a^2 + ard + amd + mrd^2$.
$2and - ard - amd = mrd^2 - n^2d^2$.
$ad(2n - r - m) = d^2(mr - n^2)$.
अतः,$\frac{d}{a} = \frac{2n - (m + r)}{mr - n^2}$ ... $(i)$.
दिया है कि $m, n, r$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $n = \frac{2mr}{m + r}$,जिसका अर्थ है $m + r = \frac{2mr}{n}$।
समीकरण $(i)$ में $m + r$ का मान रखने पर:
$\frac{d}{a} = \frac{2n - \frac{2mr}{n}}{mr - n^2} = \frac{\frac{2n^2 - 2mr}{n}}{mr - n^2} = \frac{-2(mr - n^2)}{n(mr - n^2)} = -\frac{2}{n}$.

(A) स्थिति $1$: यदि $9, x, y, z, a$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो पदों का योग $9 + x + y + z + a = \frac{5}{2}(9 + a)$ होगा।
$x + y + z = 15$ दिया गया है,अतः $9 + 15 + a = \frac{5}{2}(9 + a)$।
$24 + a = \frac{45 + 5a}{2}$।
$48 + 2a = 45 + 5a$।
$3a = 3 \Rightarrow a = 1$।
स्थिति $2$: यदि $9, x, y, z, a$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो $\frac{1}{9}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{a}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
इन पदों का योग $\frac{1}{9} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{a}\right)$ होगा।
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{3}$ दिया गया है,अतः $\frac{1}{9} + \frac{5}{3} + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{a}\right)$।
$\frac{16}{9} + \frac{1}{a} = \frac{5}{18} + \frac{5}{2a}$।
$\frac{1}{a} - \frac{5}{2a} = \frac{5}{18} - \frac{16}{9}$।
$-\frac{3}{2a} = -\frac{3}{2} \Rightarrow a = 1$।

(D) दिया गया है $\frac{b + a}{b - a} = \frac{b + c}{b - c}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{(b + a) + (b - a)}{(b + a) - (b - a)} = \frac{(b + c) + (b - c)}{(b + c) - (b - c)}$
$\frac{2b}{2a} = \frac{2b}{2c}$
$\frac{b}{a} = \frac{b}{c}$
अतः $a = c$ प्राप्त होता है।
इसलिए $a, b, c$ किसी विशिष्ट श्रेणी में नहीं हैं।

(D) माना $A.P.$ के पद $a, a+d, a+2d, \dots$ हैं।
पदों का वर्ग करने पर,हमें $a^2, (a+d)^2, (a+2d)^2, \dots$ प्राप्त होता है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करने पर:
$d_1 = (a+d)^2 - a^2 = 2ad + d^2$
$d_2 = (a+2d)^2 - (a+d)^2 = 2ad + 3d^2$
चूंकि $d_1 \neq d_2$ (जब तक $d=0$ न हो),नई श्रेणी $A.P.$ नहीं है।
इसी प्रकार,$G.P.$ या $H.P.$ की जांच करने पर पता चलता है कि नई श्रेणी इन प्रगतियों का पालन नहीं करती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $\log_x y, \log_z x, \log_y z$ एक $G.P.$ में हैं।
अतः,$(\log_z x)^2 = (\log_x y)(\log_y z) = \log_x z = \frac{1}{\log_z x}$।
इसका अर्थ है कि $(\log_z x)^3 = 1$,इसलिए $\log_z x = 1$,जिसका अर्थ है $x = z$।
दिया गया है कि $xyz = 64$ और $x = z$,इसलिए $x^2 y = 64$,यानी $y = \frac{64}{x^2}$।
दिया गया है कि $x^3, y^3, z^3$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2y^3 = x^3 + z^3$।
चूंकि $x = z$,$2y^3 = 2x^3$,जिसका अर्थ है $y^3 = x^3$,इसलिए $y = x$।
$y = x$ को $x^2 y = 64$ में रखने पर,हमें $x^3 = 64$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 4$।
इस प्रकार,$x = y = z = 4$।
चूंकि $x = y = z = 4$,सभी शर्तें पूरी होती हैं: $x=y=z$ सत्य है,$x=4$ सत्य है,और $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं (सार्व अनुपात $1$ के साथ) यह भी सत्य है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) दिया गया है कि $p, q, r$ $H.P.$ में हैं,अतः $q = \frac{2pr}{p+r}$।
माना $K = \frac{pr}{p+r}$,तब $q = 2K$ और $pr = K(p+r)$।
चूंकि $p^2, q^2, r^2$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2q^2 = p^2 + r^2$।
$q = 2K$ प्रतिस्थापित करने पर,$2(4K^2) = p^2 + r^2$,अर्थात $8K^2 = p^2 + r^2$।
हम जानते हैं कि $(p+r)^2 = p^2 + r^2 + 2pr = 8K^2 + 2K(p+r)$।
माना $S = p+r$। तब $S^2 - 2KS - 8K^2 = 0$।
$S$ के लिए हल करने पर,$(S - 4K)(S + 2K) = 0$,अतः $S = 4K$ या $S = -2K$।
यदि $S = 4K$ है,तो $(p-r)^2 = (p+r)^2 - 4pr = 16K^2 - 4(4K^2) = 0$,जिसका अर्थ है $p=r$,जो असमान संख्याओं की शर्त का खंडन करता है।
यदि $S = -2K$ है,तो $pr = K(-2K) = -2K^2$।
तब $(p-r)^2 = (p+r)^2 - 4pr = (-2K)^2 - 4(-2K^2) = 12K^2$।
अतः $p-r = \pm 2\sqrt{3}K$।
$p+r = -2K$ और $p-r = \pm 2\sqrt{3}K$ को हल करने पर,$p = (-1 \pm \sqrt{3})K$ और $r = (-1 \mp \sqrt{3})K$ प्राप्त होता है।
अतः $p:q:r = 1 \mp \sqrt{3} : -2 : 1 \pm \sqrt{3}$।

(C) यदि $\frac{1}{16}, a, b$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,तो $a^2 = \frac{b}{16}$,जिसका अर्थ है $b = 16a^2$ ..... $(i)$
यदि $a, b, \frac{1}{6}$ हरात्मक श्रेणी में हैं,तो $b = \frac{2 \cdot a \cdot \frac{1}{6}}{a + \frac{1}{6}} = \frac{2a}{6a + 1}$ ..... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$16a^2 = \frac{2a}{6a + 1}$.
$a \neq 0$ के लिए,$8a = \frac{1}{6a + 1}$,जिससे $48a^2 + 8a - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4a + 1)(12a - 1) = 0$.
अतः,$a = -\frac{1}{4}$ या $a = \frac{1}{12}$.
यदि $a = -\frac{1}{4}$ है,तो $b = 16(-\frac{1}{4})^2 = 1$.
यदि $a = \frac{1}{12}$ है,तो $b = 16(\frac{1}{12})^2 = \frac{1}{9}$.
अतः,दोनों युग्म सही हैं।

(B) दिया है कि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$.
चूंकि $\log a - \log 2b, \log 2b - \log 3c, \log 3c - \log a$ एक $A.P.$ में हैं,उनका योग $0$ है:
$(\log a - \log 2b) + (\log 2b - \log 3c) + (\log 3c - \log a) = 0$.
साथ ही,$2(\log 2b - \log 3c) = \log 3c - \log 2b$.
यह $3(\log 2b - \log 3c) = 0$ में सरल होता है,जिसका अर्थ है $2b = 3c$,या $b = \frac{3}{2}c$.
$b = \frac{3}{2}c$ को $b^2 = ac$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{9}{4}c^2 = ac$,इसलिए $a = \frac{9}{4}c$.
अतः,भुजाएँ $a = \frac{9}{4}c, b = \frac{3}{2}c, c = c$ हैं।
$\frac{4}{c}$ से गुणा करने पर,भुजाएँ $9, 6, 4$ के अनुपात में हैं।
चूंकि $4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 < 9^2 = 81$,सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग से अधिक है।
इसलिए,त्रिभुज अधिककोण है।

(B) दिया गया है कि $a$,$b$ और $c$ का समांतर माध्य है,इसलिए $a = \frac{b+c}{2}$,जिसका अर्थ है $b+c = 2a$.
चूंकि $G_1$ और $G_2$ $b$ और $c$ के बीच दो गुणोत्तर माध्य हैं,अनुक्रम $b, G_1, G_2, c$ एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में है।
मान लीजिए सार्व अनुपात $r$ है। तब $G_1 = br$,$G_2 = br^2$,और $c = br^3$.
अतः,$r = (c/b)^{1/3}$.
हम जानते हैं कि $G_1 G_2 = (br)(br^2) = b^2 r^3 = b^2 (c/b) = bc$.
अब,$G_1^3 + G_2^3 = (br)^3 + (br^2)^3 = b^3 r^3 + b^3 r^6 = b^3 (c/b) + b^3 (c/b)^2 = b^2 c + b c^2 = bc(b+c)$.
$bc = G_1 G_2$ और $b+c = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$G_1^3 + G_2^3 = (G_1 G_2)(2a) = 2 G_1 G_2 a$.

(C) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार,$a, ar, ar^2 - 64$ एक $A.P.$ में हैं।
अतः,$2(ar) = a + (ar^2 - 64) \Rightarrow a(r - 1)^2 = 64$ .....$(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$a, ar - 8, ar^2 - 64$ एक $G.P.$ में हैं।
अतः,$(ar - 8)^2 = a(ar^2 - 64) \Rightarrow ar - 4a = 4$ .....(ii)
समीकरणों को हल करने पर,$r = 5$ और $a = 4$ प्राप्त होता है।
अतः संख्याएँ $4, 20, 100$ हैं।

(D) माना $y = n^n \left( \frac{n+1}{2} \right)^{2n}$ है।
$n = 2$ के लिए:
$y = 2^2 \left( \frac{3}{2} \right)^4 = 4 \times \frac{81}{16} = \frac{81}{4} = 20.25$ है।
विकल्प $(a)$ और $(b)$ की जाँच करें:
$\left( \frac{n+1}{2} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8} = 3.375$ है।
चूँकि $20.25 > 3.375$,इसलिए $y$,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^3$ से अधिक है।
विकल्प $(c)$ की जाँच करें:
$(n!)^3 = (2!)^3 = 2^3 = 8$ है।
चूँकि $20.25 > 8$,इसलिए $y$,$(n!)^3$ से अधिक है।
अतः,$(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,या तो $n$ सम है या $n$ विषम है।
यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए,इसलिए $n(n + 1) = 2k(2k + 1)$,जो सम है।
यदि $n$ विषम है,तो $n = 2k + 1$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए,इसलिए $n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$,जो सम है। अतः,$n(n + 1) = (2k + 1) \times 2(k + 1) = 2(2k + 1)(k + 1)$,जो भी सम है।
इसलिए,दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा सम होता है।

(D) हम योग $a(n) = \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k}$ का विश्लेषण करते हैं।
पदों को समूहित करके,हम देख सकते हैं कि $a(n) = 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2^n-1})$।
$\frac{1}{2^{m-1}} + \dots + \frac{1}{2^m-1}$ के रूप का प्रत्येक समूह $\frac{1}{2}$ से बड़ा है।
चूंकि ऐसे $n$ समूह हैं,इसलिए $a(n) > \frac{n}{2}$।
$n=200$ के लिए,$a(200) > \frac{200}{2} = 100$।
साथ ही,यह एक ज्ञात गुण है कि इन योगों के लिए $a(n) \le n$ होता है।
अतः,$a(100) \le 100$ और $a(200) > 100$ दोनों सत्य हैं।

(C) फलन $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 200}$ पर विचार करें।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^3 + 200)(2x) - x^2(3x^2)}{(x^3 + 200)^2} = \frac{2x^4 + 400x - 3x^4}{(x^3 + 200)^2} = \frac{x(400 - x^3)}{(x^3 + 200)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $x = 0$ या $x^3 = 400$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = \sqrt[3]{400}$।
चूंकि $7^3 = 343$ और $8^3 = 512$,इसलिए $7 < \sqrt[3]{400} < 8$ है।
अतः,सबसे बड़ा पद $a_7$ या $a_8$ होना चाहिए।
मानों की गणना करने पर:
$a_7 = \frac{7^2}{7^3 + 200} = \frac{49}{343 + 200} = \frac{49}{543} \approx 0.0902$.
$a_8 = \frac{8^2}{8^3 + 200} = \frac{64}{512 + 200} = \frac{64}{712} = \frac{8}{89} \approx 0.0898$.
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{49}{543} > \frac{8}{89}$ है।
इसलिए,सबसे बड़ा पद $a_7 = \frac{49}{543}$ है।

(C) मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0, r \neq 1$ (क्योंकि संख्याएँ भिन्न हैं)।
अतः $b_1 = a$,$b_2 = a(1+r)$,$b_3 = a(1+r+r^2)$,$b_4 = a(1+r+r^2+r^3)$ है।
$b_1, b_2, b_3, b_4$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए $b_2 - b_1 = b_3 - b_2$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $ar = ar^2$,अतः $r=1$,जो भिन्नता के विरोधाभास में है।
$b_1, b_2, b_3, b_4$ के गुणोत्तर श्रेणी में होने के लिए $b_2^2 = b_1 b_3$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^2(1+r)^2 = a^2(1+r+r^2)$,अतः $1+2r+r^2 = 1+r+r^2$,जिसका अर्थ है $r=0$,जो धनात्मक संख्याओं के लिए संभव नहीं है।
इस प्रकार,कथन-$I$ सत्य है।
हरात्मक श्रेणी के लिए,उनके व्युत्क्रम समांतर श्रेणी में होने चाहिए। सामान्य $r$ के लिए $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, \frac{1}{b_4}$ समांतर श्रेणी में नहीं हैं। अतः,कथन-$II$ असत्य है।

(C) दिया गया समीकरण $8^{(1 + |\cos x| + |\cos^2 x| + |\cos^3 x| + \dots)} = 4^3$ है।
चूँकि घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = |\cos x|$ है,जहाँ $|\cos x| < 1$,तो योग $S = \frac{1}{1 - |\cos x|}$ होगा।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$8^{\frac{1}{1 - |\cos x|}} = (2^2)^3 = 2^6 = (2^3)^2 = 8^2$ प्राप्त होता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$\frac{1}{1 - |\cos x|} = 2$ मिलता है।
इससे $1 - |\cos x| = \frac{1}{2}$,अर्थात $|\cos x| = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos x = \pm \frac{1}{2}$।
अंतराल $(-\pi, \pi)$ में,हल $x = \pm \frac{\pi}{3}$ और $x = \pm \frac{2\pi}{3}$ हैं।

(D) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। पद $(a + md), (a + nd), (a + rd)$ हैं।
चूंकि ये पद गुणोत्तर श्रेणी में हैं:
$(a + nd)^2 = (a + md)(a + rd)$
$a^2 + 2and + n^2d^2 = a^2 + ard + amd + mrd^2$
$d(2n - r - m) = d^2(mr - n^2)$
चूंकि $m, n, r$ हरात्मक श्रेणी में हैं,$n = \frac{2mr}{m + r}$,जिसका अर्थ है $m + r = \frac{2mr}{n}$.
यह मान रखने पर,$d(2n - \frac{2mr}{n}) = d^2(mr - n^2)$.
$d \cdot \frac{2(n^2 - mr)}{n} = d^2(mr - n^2)$.
अतः,सार्व अंतर और प्रथम पद का अनुपात $-\frac{2}{n}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $t_7 = a + 6d = 9$,इसलिए $a = 9 - 6d$.
गुणनफल $P = t_1 t_2 t_7 = a(a + d)(a + 6d)$ है।
चूंकि $t_7 = 9$,हमारे पास $P = 9a(a + d) = 9(9 - 6d)(9 - 6d + d) = 9(9 - 6d)(9 - 5d)$ है।
$P = 9[81 - 45d - 54d + 30d^2] = 9[30d^2 - 99d + 81]$।
$P$ को न्यूनतम करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक $f(d) = 30d^2 - 99d + 81$ का शीर्ष ज्ञात करते हैं।
न्यूनतम मान $d = -\frac{b}{2a} = -\frac{-99}{2 \times 30} = \frac{99}{60} = \frac{33}{20}$ पर प्राप्त होता है।

(B) माना दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया है कि $x$ समांतर माध्य है,अतः $x = \frac{a+b}{2}$,यानी $a+b = 2x$.
दिया है कि $y$ और $z$ $a$ और $b$ के बीच दो गुणोत्तर माध्य हैं,अतः अनुक्रम $a, y, z, b$ गुणोत्तर श्रेणी में है।
माना सार्व अनुपात $r$ है। तब $y = ar$,$z = ar^2$,और $b = ar^3$.
अतः,$r^3 = \frac{b}{a}$,जिसका अर्थ है $r = (\frac{b}{a})^{1/3}$.
साथ ही,$y = a(\frac{b}{a})^{1/3} = a^{2/3}b^{1/3}$ और $z = a(\frac{b}{a})^{2/3} = a^{1/3}b^{2/3}$.
तब $xyz = (a^{2/3}b^{1/3})(a^{1/3}b^{2/3})x = abx$.
चूंकि $a+b = 2x$,हमारे पास $y^3 = a^2b$ और $z^3 = ab^2$ है।
इसलिए,$\frac{y^3 + z^3}{xyz} = \frac{a^2b + ab^2}{abx} = \frac{ab(a+b)}{abx} = \frac{a+b}{x} = \frac{2x}{x} = 2$.

(B) दी गई श्रेणी $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 7 + 16 + 9 + \dots$ के $40$ पद हैं।
इसे दो अलग-अलग श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में $20$ पद हैं:
श्रेणी $1$: $1, 3, 5, 7, \dots$ ($20$ पद,समांतर श्रेणी जहाँ $a=1, d=2$)
श्रेणी $2$: $2, 4, 8, 16, \dots$ ($20$ पद,गुणोत्तर श्रेणी जहाँ $a=2, r=2$)
श्रेणी $1$ का योग $= \frac{20}{2} [2(1) + (20-1)2] = 10 [2 + 38] = 10 \times 40 = 400$.
श्रेणी $2$ का योग $= \frac{2(2^{20} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2$.
कुल योग $= 400 + 2^{21} - 2 = 398 + 2^{21}$.

(C) माना दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$a$ और $b$ के बीच दो समांतर माध्य $A_1, A_2$ के लिए,उनका योग $A_1 + A_2 = 2 \times \frac{a+b}{2} = a+b$ होता है।
$a$ और $b$ के बीच दो गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2$ के लिए,उनका गुणनफल $G_1 G_2 = ab$ होता है।
$a$ और $b$ के बीच दो हरात्मक माध्य $H_1, H_2$ के लिए,उनके व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{H_1} + \frac{1}{H_2} = 2 \times \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a+b}{ab}$ होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{H_1 + H_2}{H_1 H_2} = \frac{a+b}{ab}$ प्राप्त होता है।
$a+b = A_1 + A_2$ और $ab = G_1 G_2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{H_1 + H_2}{H_1 H_2} = \frac{A_1 + A_2}{G_1 G_2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{A_1 + A_2}{H_1 + H_2} \cdot \frac{H_1 H_2}{G_1 G_2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $m = \frac{l+n}{2}$,अतः $2m = l+n$.
चूंकि $G_1, G_2, G_3$ $l$ और $n$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य हैं,अनुक्रम $l, G_1, G_2, G_3, n$ एक $G.P.$ में है।
मान लीजिए सार्व अनुपात $r$ है। तब $n = l r^4$,अर्थात $r^4 = \frac{n}{l}$।
पद $G_1 = lr, G_2 = lr^2, G_3 = lr^3$ हैं।
हमें $G_1^4 + 2G_2^4 + G_3^4 = (lr)^4 + 2(lr^2)^4 + (lr^3)^4$ का मान ज्ञात करना है।
$= l^4r^4 + 2l^4r^8 + l^4r^{12} = l^4r^4(1 + 2r^4 + r^8) = l^4r^4(1 + r^4)^2$.
$r^4 = \frac{n}{l}$ रखने पर:
$= l^4 \left(\frac{n}{l}\right) \left(1 + \frac{n}{l}\right)^2 = l^3n \left(\frac{l+n}{l}\right)^2 = l^3n \frac{(l+n)^2}{l^2} = ln(l+n)^2$.
चूंकि $l+n = 2m$,हमें $ln(2m)^2 = 4lm^2n$ प्राप्त होता है।

(B) माना गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
योग $14$ दिया गया है,अतः $\frac{a}{r} + a + ar = 14 \Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$ ... $(i)$
प्रश्न के अनुसार,नए पद $(\frac{a}{r} + 1), (a + 1), (ar - 1)$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,$2(a + 1) = (\frac{a}{r} + 1) + (ar - 1)$
$2a + 2 = \frac{a}{r} + ar$
$2a + 2 = a(\frac{1}{r} + r)$
$(i)$ से,$a(\frac{1}{r} + r) = 14 - a$. इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2a + 2 = 14 - a$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$.
अब,$a = 4$ को $(i)$ में रखने पर:
$4(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$
$\frac{1}{r} + 1 + r = 3.5$
$r + \frac{1}{r} = 2.5 = \frac{5}{2}$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
अतः,$r = 2$ या $r = \frac{1}{2}$.
यदि $r = 2$ है,तो पद $\frac{4}{2}, 4, 4(2) = 2, 4, 8$ हैं।
यदि $r = \frac{1}{2}$ है,तो पद $\frac{4}{1/2}, 4, 4(1/2) = 8, 4, 2$ हैं।
दोनों स्थितियों में,पद $2, 4, 8$ हैं। सबसे छोटा पद $2$ है।

(A) दिया गया है $t_n = \log \left( \frac{5^{n+1}}{3^{n-1}} \right) = \log(25) + (n-1) \log \left( \frac{5}{3} \right)$.
यह $A.P.$ का रूप है जहाँ प्रथम पद $a = \log(25)$ और सार्व अंतर $d = \log(5/3)$ है.
दिया गया है $s_n = \left[ \log \left( \frac{5}{3} \right) \right]^n$. यह $G.P.$ का रूप है जहाँ सार्व अनुपात $r = \log(5/3)$ है.
अतः,$\{t_n\}$ एक $A.P.$ है और $\{s_n\}$ एक $G.P.$ है।

(D) अनुक्रम का $n$-वाँ पद $T_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n > 1$ है।
$n=1$ के लिए,$T_1 = S_1 = 3(1)^2 + 4(1) + 15 = 22$ है।
$n=2$ के लिए,$T_2 = S_2 - S_1 = (3(2)^2 + 4(2) + 15) - 22 = 35 - 22 = 13$ है।
$n=3$ के लिए,$T_3 = S_3 - S_2 = (3(3)^2 + 4(3) + 15) - 35 = 54 - 35 = 19$ है।
अतः,$T_3 - T_1 = 19 - 22 = -3$ है।

(C) दिया गया है कि $a, a + 2b, 2a + b$ एक $A.P.$ में हैं।
अतः,$2(a + 2b) = a + (2a + b)$
$2a + 4b = 3a + b$
$a = 3b$ ... $(1)$
दिया गया है कि $(b + 1)^2, ab + 5, (a + 1)^2$ एक $G.P.$ में हैं।
अतः,$(ab + 5)^2 = (a + 1)^2(b + 1)^2$ ... $(2)$
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3b^2 + 5)^2 = (3b + 1)^2(b + 1)^2$
$3b^2 + 5 = \pm(3b + 1)(b + 1)$
स्थिति $1$: $3b^2 + 5 = (3b + 1)(b + 1)$
$3b^2 + 5 = 3b^2 + 4b + 1$
$4b = 4 \Rightarrow b = 1$
$(1)$ से,$a = 3(1) = 3$
अतः,$a + b = 3 + 1 = 4$
स्थिति $2$: $3b^2 + 5 = -(3b + 1)(b + 1)$
$3b^2 + 5 = -(3b^2 + 4b + 1)$
$6b^2 + 4b + 6 = 0 \Rightarrow 3b^2 + 2b + 3 = 0$
चूंकि विविक्तकर $D = 2^2 - 4(3)(3) = 4 - 36 = -32 < 0$ है,इसलिए $b$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$a + b = 4$.

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ $GP$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ .....$(1)$
दिया गया है कि $4a, 5b, 4c$ $AP$ में हैं,इसलिए $2(5b) = 4a + 4c$,जो सरल होकर $10b = 4(a + c)$ या $a + c = \frac{5b}{2}$ हो जाता है .....$(2)$
हमें $a + b + c = 70$ दिया गया है। इसमें $(2)$ का मान रखने पर,$\frac{5b}{2} + b = 70$,जिसका अर्थ है कि $\frac{7b}{2} = 70$,इसलिए $b = 20$.
अब,$b = 20$ को $(2)$ में रखने पर $a + c = \frac{5(20)}{2} = 50$ प्राप्त होता है। साथ ही,$(1)$ से,$ac = b^2 = 20^2 = 400$.
हमें द्विघात समीकरण $x^2 - (a+c)x + ac = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 50x + 400 = 0$ है। इसे हल करने पर,$(x - 40)(x - 10) = 0$,इसलिए ${a, c} = {10, 40}$.
अतः,$a^3 + b^3 + c^3 = 10^3 + 20^3 + 40^3 = 1000 + 8000 + 64000 = 73000$.

(D) मान लीजिए $G.P.$ के तीन क्रमागत पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि पदों का गुणनफल $512$ है:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 512$
$a^3 = 512 \Rightarrow a = 8$.
अब,यदि पहले और दूसरे पद में $4$ जोड़ा जाता है,तो पद $(\frac{8}{r} + 4), 12, 8r$ बन जाते हैं।
चूंकि ये पद $A.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद अन्य दो का समांतर माध्य है:
$2 \times 12 = (\frac{8}{r} + 4) + 8r$
$24 = \frac{8}{r} + 4 + 8r$
$20 = \frac{8}{r} + 8r$
$4$ से विभाजित करने पर:
$5 = \frac{2}{r} + 2r$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
अतः,$r = 2$ या $r = \frac{1}{2}$.
यदि $r = 2$ है,तो पद $4, 8, 16$ हैं।
यदि $r = \frac{1}{2}$ है,तो पद $16, 8, 4$ हैं।
दोनों स्थितियों में,पदों का योग $4 + 8 + 16 = 28$ है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2.$
चूंकि $3a, 7b, 15c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2(7b) = 3a + 15c.$
$b$ और $c$ का मान रखने पर: $14(ar) = 3a + 15ar^2.$
चूंकि $a \ne 0,$ इसलिए $15r^2 - 14r + 3 = 0.$
गुणनखंड करने पर: $(3r - 1)(5r - 1) = 0,$ अतः $r = \frac{1}{3}$ या $r = \frac{1}{5}.$
$0 < r \le \frac{1}{2}$ के लिए,दोनों मान स्वीकार्य हैं। विकल्पों के अनुसार,$r = \frac{1}{3}$ लेने पर.
सार्व अंतर $d = 7b - 3a = 7a(\frac{1}{3}) - 3a = -\frac{2a}{3}.$
चौथा पद $= 15c + d = 15a(\frac{1}{3})^2 - \frac{2a}{3} = \frac{15a}{9} - \frac{2a}{3} = a.$

(A) दी गई श्रेणी $3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots$ में $40$ पद हैं।
हम पदों को जोड़ों में व्यवस्थित कर सकते हैं: $(3+4) + (8+9) + (13+14) + (18+19) + \ldots$
इसमें $20$ ऐसे जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के प्रथम पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं: $3, 8, 13, 18, \ldots$ जहाँ $a=3$ और $d=5$ है।
इस श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = 5n-2$ है।
प्रत्येक जोड़े के दूसरे पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं: $4, 9, 14, 19, \ldots$ जहाँ $a=4$ और $d=5$ है।
इस श्रेणी का $n$-वाँ पद $b_n = 5n-1$ है।
$20$ जोड़ों का योग $\sum_{n=1}^{20} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{20} (10n-3) = 2040$ है।
दिया गया है कि योग $(102)m$ है,इसलिए $102m = 2040$ है।
$m = 20$।

(C) $x$ के लिए व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\tan^2 \theta$ है।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \tan^2 \theta < 1$,अतः श्रेणी का योग $x = \frac{1}{1 - (-\tan^2 \theta)} = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \cos^2 \theta$ होगा।
$y$ के लिए व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \cos^2 \theta$ है।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\frac{1}{2} < \cos^2 \theta < 1$,अतः श्रेणी का योग $y = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ होगा।
$x = \cos^2 \theta$ से,हमें $\sin^2 \theta = 1 - x$ प्राप्त होता है।
इस मान को $y$ में प्रतिस्थापित करने पर,$y = \frac{1}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(1 - x) = 1$।

(A) दिया गया अनुक्रम सूत्र $a_{n} = \frac{n-3}{4}$ है।
पहले तीन पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 1, 2, 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$n = 1$ के लिए: $a_{1} = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$।
$n = 2$ के लिए: $a_{2} = \frac{2-3}{4} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$।
$n = 3$ के लिए: $a_{3} = \frac{3-3}{4} = \frac{0}{4} = 0$।
अतः,पहले तीन पद $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, 0$ हैं।

(A) प्रथम पाँच पद ज्ञात करने के लिए,हम $n = 1, 2, 3, 4, 5$ को सूत्र $a_{n} = (-1)^{n-1} 5^{n+1}$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$n = 1$ के लिए: $a_{1} = (-1)^{1-1} 5^{1+1} = (-1)^{0} 5^{2} = 1 \times 25 = 25$.
$n = 2$ के लिए: $a_{2} = (-1)^{2-1} 5^{2+1} = (-1)^{1} 5^{3} = -1 \times 125 = -125$.
$n = 3$ के लिए: $a_{3} = (-1)^{3-1} 5^{3+1} = (-1)^{2} 5^{4} = 1 \times 625 = 625$.
$n = 4$ के लिए: $a_{4} = (-1)^{4-1} 5^{4+1} = (-1)^{3} 5^{5} = -1 \times 3125 = -3125$.
$n = 5$ के लिए: $a_{5} = (-1)^{5-1} 5^{5+1} = (-1)^{4} 5^{6} = 1 \times 15625 = 15625$.
अतः,प्रथम पाँच पद $25, -125, 625, -3125, 15625$ हैं।

(A) दिया गया है कि अनुक्रम का $n^{\text{th}}$ पद $a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ है।
$7^{\text{th}}$ पद ज्ञात करने के लिए,सूत्र में $n = 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{7} = \frac{7^{2}}{2^{7}}$
$a_{7} = \frac{49}{128}$

(A) दिया है: $a_{1}=3$ और $a_{n}=3a_{n-1}+2$ जहाँ $n > 1$ है।
चरण $1$: $a_{2} = 3(a_{1}) + 2 = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11$.
चरण $2$: $a_{3} = 3(a_{2}) + 2 = 3(11) + 2 = 33 + 2 = 35$.
चरण $3$: $a_{4} = 3(a_{3}) + 2 = 3(35) + 2 = 105 + 2 = 107$.
चरण $4$: $a_{5} = 3(a_{4}) + 2 = 3(107) + 2 = 321 + 2 = 323$.
अतः,प्रथम पाँच पद $3, 11, 35, 107, 323$ हैं।
संगत श्रेणी $3+11+35+107+323+\ldots$ है।

(A) दिया गया है $a_{1} = -1$ और $n \geq 2$ के लिए $a_{n} = \frac{a_{n-1}}{n}$।
$n = 2$ के लिए: $a_{2} = \frac{a_{1}}{2} = \frac{-1}{2}$।
$n = 3$ के लिए: $a_{3} = \frac{a_{2}}{3} = \frac{-1/2}{3} = \frac{-1}{6}$।
$n = 4$ के लिए: $a_{4} = \frac{a_{3}}{4} = \frac{-1/6}{4} = \frac{-1}{24}$।
$n = 5$ के लिए: $a_{5} = \frac{a_{4}}{5} = \frac{-1/24}{5} = \frac{-1}{120}$।
पहले पाँच पद $-1, \frac{-1}{2}, \frac{-1}{6}, \frac{-1}{24}, \frac{-1}{120}$ हैं।
संगत श्रेणी $(-1) + (\frac{-1}{2}) + (\frac{-1}{6}) + (\frac{-1}{24}) + (\frac{-1}{120}) + \dots$ है।

(C) दिया गया है: $a_{1} = 2, a_{2} = 2$ और $a_{n} = a_{n-1} - 1, n > 2$ के लिए।
$n = 3$ के लिए: $a_{3} = a_{2} - 1 = 2 - 1 = 1$.
$n = 4$ के लिए: $a_{4} = a_{3} - 1 = 1 - 1 = 0$.
$n = 5$ के लिए: $a_{5} = a_{4} - 1 = 0 - 1 = -1$.
प्रथम पाँच पद $2, 2, 1, 0, -1$ हैं।
संगत श्रेणी $2 + 2 + 1 + 0 + (-1)$ है।

(A) गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ $4$ से शुरू होनी चाहिए और सार्व अनुपात $r = 2$ होना चाहिए,इसलिए पद $4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192$ हैं। अगला पद $16384$ एक पांच अंकों की संख्या है।
समांतर श्रेणी $(AP)$ $11$ से शुरू होनी चाहिए और सार्व अंतर $d = 5$ होना चाहिए (क्योंकि $16-11=5, 21-16=5, 26-21=5$),इसलिए पद $11, 16, 21, 26, 31, \dots, a_n = 11 + (n-1)5$ हैं।
हम $GP$ में ऐसे पदों की तलाश करते हैं जो $AP$ में भी हों। एक पद $x$,$AP$ में है यदि $x \equiv 1 \pmod{5}$ हो।
$GP$ के पदों की जाँच करने पर:
$16 \equiv 1 \pmod{5}$ (उभयनिष्ठ)
$256 \equiv 1 \pmod{5}$ (उभयनिष्ठ)
$4096 \equiv 1 \pmod{5}$ (उभयनिष्ठ)
उभयनिष्ठ पद $16, 256, 4096$ हैं। ऐसे $3$ पद हैं।

(A) दी गई श्रेणी $S = (x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots$ है।
$(x-y)$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{(x-y)(x+y)+(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+(x-y)(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots}{x-y}$
सर्वसमिका $(x-y)(x^n + x^{n-1}y + \ldots + y^n) = x^{n+1} - y^{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{(x^{2}-y^{2})+(x^{3}-y^{3})+(x^{4}-y^{4})+\ldots}{x-y}$
$S = \frac{(x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots) - (y^{2}+y^{3}+y^{4}+\ldots)}{x-y}$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\frac{x^{2}}{1-x} - \frac{y^{2}}{1-y}}{x-y}$
सरल करने पर:
$S = \frac{x+y-xy}{(1-x)(1-y)}$

(C) श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{9} [x^n + (k + 2(n-1))a]$ द्वारा दी गई है।
योग का विस्तार करने पर,हमें $S = (x + x^2 + \ldots + x^9) + \sum_{n=1}^{9} (k + 2n - 2)a$ प्राप्त होता है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{9} x^n = x \frac{x^9 - 1}{x - 1} = \frac{x^{10} - x}{x - 1}$ है।
अंकगणितीय भाग का योग $\sum_{n=0}^{8} (k + 2n)a = 9ka + 72a = a(9k + 72)$ है।
अतः,$S = \frac{x^{10} - x + (9k + 72)a(x - 1)}{x - 1}$ है।
दिए गए $S = \frac{x^{10} - x + 45a(x - 1)}{x - 1}$ से तुलना करने पर,$9k + 72 = 45$ प्राप्त होता है।
$9k = -27$,इसलिए $k = -3$।

(A) माना $3$ और $243$ के बीच समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_m$ हैं। सार्व अंतर $d = \frac{243 - 3}{m + 1} = \frac{240}{m + 1}$ है।
$4^{\text{th}}$ $A.M.$ का मान $A_4 = a + 4d = 3 + 4 \left( \frac{240}{m + 1} \right)$ है।
माना $3$ और $243$ के बीच गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, G_3$ हैं। सार्व अनुपात $r = \left( \frac{243}{3} \right)^{\frac{1}{3 + 1}} = (81)^{\frac{1}{4}} = 3$ है।
$2^{\text{nd}}$ $G.M.$ का मान $G_2 = ar^2 = 3 \times (3)^2 = 27$ है।
चूंकि $A_4 = G_2$,इसलिए $3 + \frac{960}{m + 1} = 27$ है।
$\frac{960}{m + 1} = 24$ है।
$m + 1 = 40$ है।
$m = 39$ है।

(A) श्रेणी का सामान्य पद $\log_{a^{1/k_n}} x = k_n \log_a x$ है,जहाँ $k_n$ अनुक्रम $2, 3, 6, 11, 18, 27, \ldots$ का पालन करता है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी है।
इस अनुक्रम का $n$-वाँ पद $k_n = (n-1)^2 + 2$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n(x) = \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2n \right) \log_a x$ है।
$n=24$ के लिए,$S_{24}(x) = 4372 \log_a x = 1093$,इसलिए $\log_a x = \frac{1}{4}$।
$n=12$ के लिए,$S_{12}(2x) = 530 \log_a (2x) = 265$,इसलिए $\log_a (2x) = \frac{1}{2}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $\log_a (2x) - \log_a x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।
$\log_a 2 = \frac{1}{4} \implies a = 2^4 = 16$।

(D) माना $S = \cos^{2} x + \cos^{4} x + \cos^{6} x + \dots \infty$. यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \cos^{2} x$ और सार्व अनुपात $r = \cos^{2} x$ है।
चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$,$0 < \cos^{2} x < 1$,इसलिए $S = \frac{\cos^{2} x}{1 - \cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \cot^{2} x$.
दिया गया व्यंजक $e^{S \log_{e} 2} = 2^{S} = 2^{\cot^{2} x}$ है।
समीकरण $t^{2} - 9t + 8 = 0$ से,$(t - 8)(t - 1) = 0$,अतः $t = 8$ या $t = 1$.
इस प्रकार,$2^{\cot^{2} x} = 8 = 2^{3}$ या $2^{\cot^{2} x} = 1 = 2^{0}$.
यदि $\cot^{2} x = 3$,तो $\cot x = \sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)।
यदि $\cot^{2} x = 0$,तो $\cot x = 0$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{2}$,लेकिन $x < \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\cot x = \sqrt{3}$.
अब,$\frac{2 \sin x}{\sin x + \sqrt{3} \cos x} = \frac{2}{1 + \sqrt{3} \cot x}$ में मान रखने पर,$\frac{2}{1 + \sqrt{3}(\sqrt{3})} = \frac{2}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(B) हमें ऐसी $3$-अंकीय संख्याएँ $N \le 500$ ज्ञात करनी हैं जो $11$ की गुणज हों और जिनमें $1$ अंक का उपयोग न हुआ हो।
$100$ और $500$ के बीच $11$ के गुणज $110, 121, \ldots, 495$ हैं।
$1$ अंक वाली संख्याओं को हटाने पर,मान्य संख्याएँ हैं:
$209, 220, 242, 253, 264, 275, 286, 297, 308, 330, 352, 363, 374, 385, 396, 407, 429, 440, 462, 473, 484, 495$.
इन मानों का योग:
$209+220+242+253+264+275+286+297+308+330+352+363+374+385+396+407+429+440+462+473+484+495 = 7744$.

(A) दिया गया है $c_{2} = a_{2} + b_{2} = (a_{1} - 3) + (2b_{1}) = 12$,इसलिए $a_{1} + 2b_{1} = 15 \dots (1)$.
दिया गया है $c_{3} = a_{3} + b_{3} = (a_{1} - 6) + (4b_{1}) = 13$,इसलिए $a_{1} + 4b_{1} = 19 \dots (2)$.
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर,हमें $2b_{1} = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b_{1} = 2$.
$b_{1} = 2$ को $(1)$ में रखने पर,हमें $a_{1} + 4 = 15$ प्राप्त होता है,इसलिए $a_{1} = 11$.
अब,$\sum_{k=1}^{10} c_{k} = \sum_{k=1}^{10} a_{k} + \sum_{k=1}^{10} b_{k}$.
$AP$ का योग $S_{a} = \frac{10}{2} [2(11) + (10-1)(-3)] = 5(22 - 27) = 5(-5) = -25$.
$GP$ का योग $S_{b} = \frac{b_{1}(r^{10} - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2(1024 - 1) = 2(1023) = 2046$.
अतः,$\sum_{k=1}^{10} c_{k} = -25 + 2046 = 2021$.