Advanced Use of permutations and combinations in probability Questions in Hindi

(D) $9$ विशेषज्ञों में से $3$ विशेषज्ञों को चुनने के कुल तरीके $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
$3$ विशेषज्ञों को इस प्रकार चुनने के तरीके कि प्रत्येक अलग संगठन से हो (एक $A$ से,एक $B$ से और एक $C$ से) $^2C_1 \times ^3C_1 \times ^4C_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ है।

(C) कुल गेंदों की संख्या = $8 + 7 = 15$.
$15$ में से $2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $n(S) = \binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों गेंदें एक ही रंग की हैं।
इसका मतलब है कि या तो दोनों लाल हैं या दोनों काली हैं।
$2$ लाल गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या = $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
$2$ काली गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या = $\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 28 + 21 = 49$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{49}{105} = \frac{7}{15}$.

(D) एक संख्या $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है यदि और केवल यदि वह $6$ से विभाज्य हो।
प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याओं में,$6$ से विभाज्य संख्याएँ $6, 12, 18, \dots, 96$ हैं।
ऐसी कुल संख्याएँ $\lfloor 100/6 \rfloor = 16$ हैं।
$100$ में से $3$ भिन्न संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{100}C_3$ हैं।
$16$ संख्याओं में से $3$ भिन्न संख्याएँ चुनने के तरीके $^{16}C_3$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{^{16}C_3}{^{100}C_3}$ है।
$P = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98} = \frac{4}{1155}$.

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 3 + 4 + 5 = 12$ है।
$12$ गेंदों में से $3$ गेंद चुनने के तरीके $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
गेंदों के अलग-अलग रंग के होने के लिए,हमें $1$ लाल,$1$ सफेद और $1$ काली गेंद चुननी होगी।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= ^3C_1 \times ^4C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 4 \times 5 = 60$ है।
प्रायिकता $= \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$।

(D) $5$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $= 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000$ है।
विषम स्थानों $(1, 3, 5)$ के लिए $5$ विषम अंक ${1, 3, 5, 7, 9}$ हैं और सम स्थानों $(2, 4)$ के लिए $5$ सम अंक ${0, 2, 4, 6, 8}$ हैं।
अनुकूल परिणाम $= 5 \times 5 \times 4 \times 4 \times 3 = 1200$।
प्रायिकता $= \frac{1200}{90000} = \frac{1}{75}$।

(C) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $= ^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ हैं।
$4$ राजाओं में से $2$ राजा चुनने के तरीके $= ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
दोनों राजा होने की प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{6}{1326}$ है।
भिन्न को सरल करने पर,$P = \frac{1}{221}$ प्राप्त होता है।

(D) एक खिलाड़ी को $52$ पत्तों की गड्डी से $13$ पत्ते दिए जाते हैं।
कुल तरीकों की संख्या $= ^{52}C_{13}$ है।
यदि खिलाड़ी के पास चारों राजा हैं,तो शेष $13 - 4 = 9$ पत्ते शेष $48$ पत्तों में से चुने जाने चाहिए।
अनुकूल तरीकों की संख्या $= ^{48}C_{9}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{^{48}C_{9}}{^{52}C_{13}}$
$= \frac{48!}{9!39!} \times \frac{13!39!}{52!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{11}{4165}$.

(A) $90$ टिकटों में से $5$ टिकट चुनने के कुल तरीके $= ^{90}C_5$ हैं।
$2$ विशिष्ट टिकटों ($15$ और $89$) के साथ $5$ टिकट चुनने के तरीके,शेष $88$ टिकटों में से $3$ टिकट चुनने के बराबर हैं,जो कि $^{88}C_3$ है।
प्रायिकता $P = \frac{^{88}C_3}{^{90}C_5}$
$P = \frac{\frac{88 \times 87 \times 86}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}$
$P = \frac{20}{90 \times 89} = \frac{2}{801}$

(B) $3$ पासे फेंकने पर कुल परिणाम $6^3 = 216$ होते हैं।
योग $15$ प्राप्त करने के अनुकूल तरीके:
$(6, 6, 3)$ को $3!/2! = 3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(6, 5, 4)$ को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(5, 5, 5)$ को $1$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल अनुकूल परिणाम = $3 + 6 + 1 = 10$।
प्रायिकता = $\frac{10}{216} = \frac{5}{108}$।

(B) के खेल जीतने की प्रायिकता $P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ है।
$B$ के खेल जीतने की प्रायिकता $P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ है।
$3$ खेलों की श्रृंखला में उनके बारी-बारी से जीतने की प्रायिकता $(A, B, A)$ और $(B, A, B)$ अनुक्रमों की प्रायिकताओं का योग है।
$P(\text{alternating}) = P(A) \times P(B) \times P(A) + P(B) \times P(A) \times P(B)$
$P(\text{alternating}) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right)$
$P(\text{alternating}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3 + 2}{36} = \frac{5}{36}$.

(B) $10$ व्यक्तियों ($6$ पुरुष + $4$ महिलाएँ) में से $5$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके ${}^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ हैं।
बिना किसी महिला वाली समिति चुनने के तरीके (अर्थात सभी $5$ सदस्य पुरुष हों) ${}^6C_5 = 6$ हैं।
कम से कम एक महिला वाली समिति चुनने के तरीके = (कुल तरीके) - (बिना महिला वाले तरीके) = $252 - 6 = 246$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{246}{252} = \frac{41}{42}$ है।

(D) $SUCCESS$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $3S, 2C, 1U, 1E$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $N = \frac{7!}{3!2!} = \frac{5040}{6 \times 2} = 420$.
सभी समान अक्षरों के एक साथ आने के लिए,हम $3S$ के समूह को एक इकाई और $2C$ के समूह को एक इकाई मानते हैं।
अब हमारे पास $4$ इकाइयाँ हैं: $(SSS), (CC), U, E$.
इन $4$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $4! = 24$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{24}{420} = \frac{2}{35}$ है।

(A) $10$ में से $4$ लोगों को चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{10}C_4 = 210$ हैं।
प्रत्येक पेशे से कम से कम एक व्यक्ति होने के लिए संभावित स्थितियाँ:
स्थिति $1$: $(2, 1, 1) \implies {}^{5}C_2 \times {}^{3}C_1 \times {}^{2}C_1 = 60$.
स्थिति $2$: $(1, 2, 1) \implies {}^{5}C_1 \times {}^{3}C_2 \times {}^{2}C_1 = 30$.
स्थिति $3$: $(1, 1, 2) \implies {}^{5}C_1 \times {}^{3}C_1 \times {}^{2}C_2 = 15$.
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 60 + 30 + 15 = 105$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$.

(B) $7$ सफेद और $3$ काली गेंदों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $\frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं। पहले $7$ सफेद गेंदों को व्यवस्थित करें: $\_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_$.
$3$ काली गेंदों के लिए $8$ संभावित स्थान (गैप) हैं।
$8$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$.

(D) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_4$ हैं।
$^{52}C_4 = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$।
ताश की गड्डी में 'पान' (hearts) के $13$ पत्ते होते हैं।
इन $13$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के तरीके $^{13}C_4$ हैं।
$^{13}C_4 = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715$।
प्रायिकता $P = \frac{^{13}C_4}{^{52}C_4} = \frac{715}{270725}$।
अंश और हर को $65$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{11}{4165}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम $20$ पूर्णांकों में से $3$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीकों की संख्या $^{20}C_3$ है।
तीन पूर्णांकों का गुणनफल सम होता है यदि उनमें से कम से कम एक पूर्णांक सम हो।
अभीष्ट प्रायिकता $= 1 - P(\text{कोई भी पूर्णांक सम न हो})$
$= 1 - \frac{^{10}C_3}{^{20}C_3}$
$= 1 - \frac{120}{1140}$
$= 1 - \frac{2}{19}$
$= \frac{17}{19}$

(C) $9$ व्यक्तियों में से $5$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $= ^9C_5 = 126$.
स्थिति $1$: दोनों शामिल हैं। हमें शेष $7$ व्यक्तियों में से $3$ और चुनने हैं। तरीकों की संख्या $= ^7C_3 = 35$.
स्थिति $2$: दोनों शामिल नहीं हैं। हमें शेष $7$ व्यक्तियों में से $5$ चुनने हैं। तरीकों की संख्या $= ^7C_5 = 21$.
कुल अनुकूल तरीके $= 35 + 21 = 56$.
प्रायिकता $= \frac{56}{126} = \frac{4}{9}$.

(B) माना कुल गेंदों की संख्या $8$ ($4$ लाल और $4$ नीली) है।
एकांतर रंगों के लिए दो संभावित अनुक्रम हैं:
$1$. लाल,नीला,लाल,नीला $(RBRB)$
$2$. नीला,लाल,नीला,लाल $(BRBR)$
$RBRB$ अनुक्रम की प्रायिकता:
$P(RBRB) = \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{70}$
$BRBR$ अनुक्रम की प्रायिकता:
$P(BRBR) = \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{70}$
कुल प्रायिकता:
$P = \frac{3}{70} + \frac{3}{70} = \frac{6}{70} = \frac{6}{35}$

(A) $15$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों को चुनने के कुल तरीके $^{15}C_{11}$ हैं।
$8$ बल्लेबाजों में से $6$ और $7$ गेंदबाजों में से $5$ को चुनने के अनुकूल तरीके $^{8}C_{6} \times ^{7}C_{5}$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{^{8}C_{6} \times ^{7}C_{5}}{^{15}C_{11}}$ है।

(A) $50$ टिकटों में से $5$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{50}C_5$ हैं।
$x_3 = 30$ के लिए,हमें ${1, 2, \dots, 29}$ के सेट से $x_1$ और $x_2$ के रूप में दो संख्याएँ चुननी होंगी,और ${31, 32, \dots, 50}$ के सेट से $x_4$ और $x_5$ के रूप में दो संख्याएँ चुननी होंगी।
$x_1$ और $x_2$ चुनने के तरीके $^{29}C_2$ हैं।
$x_4$ और $x_5$ चुनने के तरीके $^{20}C_2$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $^{29}C_2 \times ^{20}C_2$ है।
प्रायिकता $\frac{^{29}C_2 \times ^{20}C_2}{^{50}C_5}$ है।

(A) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_4$ हैं।
किसी एक विशिष्ट सूट के चारों पत्ते होने की प्रायिकता:
$P = \frac{^{13}C_4}{^{52}C_4} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \frac{11}{85 \times 49}$.
चूंकि $4$ सूट होते हैं,इसलिए कुल प्रायिकता:
$4 \times \frac{11}{85 \times 49} = \frac{44}{85 \times 49}$.

(B) कुल गेंदों की संख्या = $4 + 5 + 6 = 15$.
$15$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ हैं।
अलग-अलग रंगों की $3$ गेंदें (एक लाल,एक सफेद और एक काली) चुनने के तरीके $^4C_1 \times ^5C_1 \times ^6C_1 = 4 \times 5 \times 6 = 120$ हैं।
अलग-अलग रंगों की तीन गेंदें चुनने की प्रायिकता $P = \frac{120}{455}$ है।
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,$P = \frac{24}{91}$ प्राप्त होता है।

(B) $40$ प्राकृतिक संख्याओं में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके = $^{40}C_2$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम होता है यदि एक संख्या सम और दूसरी विषम हो।
$40$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में $20$ सम और $20$ विषम संख्याएँ होती हैं।
अतः,एक सम और एक विषम संख्या चुनने के तरीके = $^{20}C_1 \times ^{20}C_1$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{^{20}C_1 \times ^{20}C_1}{^{40}C_2} = \frac{20 \times 20}{\frac{40 \times 39}{2}} = \frac{400}{780} = \frac{20}{39}$ है।

(C) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के कुल तरीकों की संख्या $^{52}C_4$ है।
एक गड्डी में $4$ सूट होते हैं और प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं।
प्रत्येक सूट से एक पत्ता चुनने के तरीकों की संख्या $(^{13}C_1)^4$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{(^{13}C_1)^4}{^{52}C_4} = \frac{2197}{20825}$ है।

(B) $40$ में से $2$ संख्याओं को चुनने के कुल तरीके $^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम होने के लिए,एक संख्या सम और दूसरी विषम होनी चाहिए।
प्रथम $40$ प्राकृतिक संख्याओं में $20$ सम और $20$ विषम संख्याएँ होती हैं।
एक सम और एक विषम संख्या चुनने के तरीके $^{20}C_1 \times ^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ हैं।
अतः अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ है।

(D) कुल चयन के तरीके = $^{30}C_2 = 435$.
$a^2 - b^2$ के $3$ से विभाज्य होने के लिए $a^2 \equiv b^2 \pmod{3}$ होना चाहिए।
सही उत्तर विकल्प $D$ है।

(B) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $52 \times 51 \times 50 \times 49$ हैं।
प्रत्येक पत्ते के अलग-अलग सूट का होने के लिए,पहला पत्ता $52$ में से कोई भी हो सकता है।
दूसरा पत्ता अलग सूट का होना चाहिए,इसलिए शेष $51$ पत्तों में से $39$ विकल्प हैं।
तीसरा पत्ता पहले दो से अलग सूट का होना चाहिए,इसलिए शेष $50$ पत्तों में से $26$ विकल्प हैं।
चौथा पत्ता अंतिम शेष सूट का होना चाहिए,इसलिए शेष $49$ पत्तों में से $13$ विकल्प हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{13}{52} \times \frac{13}{51} \times \frac{13}{50} \times \frac{13}{49} \times 24$ है।

(B) कुल बल्बों की संख्या = $10$. खराब बल्ब = $4$. अच्छे बल्ब = $6$.
$10$ में से $3$ बल्ब चुनने के कुल तरीके = $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
कमरा तब प्रकाशित होगा यदि कम से कम एक बल्ब अच्छा हो।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: कमरा प्रकाशित नहीं होगा यदि तीनों बल्ब खराब हों।
$3$ खराब बल्ब चुनने के तरीके = $^4C_3 = 4$.
कमरा प्रकाशित न होने की प्रायिकता = $\frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.
कमरा प्रकाशित होने की प्रायिकता = $1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}$.

(C) $11$ व्यक्तियों ($6$ लड़कियाँ और $5$ लड़के) को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $11!$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,हम पहले $6$ लड़कियों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
इससे $7$ स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ $5$ लड़कों को बैठाया जा सकता है: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_$.
$7$ में से $5$ स्थानों को चुनकर $5$ लड़कों को व्यवस्थित करने के तरीके $^7P_5 = \frac{7!}{2!}$ हैं।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $6! \times \frac{7!}{2!}$ है।
प्रायिकता $\frac{6! \times 7!}{2! \times 11!}$ है।

(B) कुल गेंदों की संख्या $3 + 4 + 2 = 9$ है।
हमें $1$ लाल,$1$ नीली और $1$ हरी गेंद चुननी है।
प्रत्येक रंग की एक गेंद चुनने के तरीके $^3C_1 \times ^4C_1 \times ^2C_1 = 3 \times 4 \times 2 = 24$ हैं।
$9$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
प्रायिकता $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ है।

(A) $52$ पत्तों में से $13$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $n(U) = \binom{52}{13}$ हैं।
मान लीजिए कि घटना $A$ यह है कि चुने गए $13$ पत्तों में ठीक $4$ राजा हैं।
ताश की गड्डी में $4$ राजा होते हैं,और हमें उन सभी $4$ को चुनना है। शेष $13 - 4 = 9$ पत्ते शेष $52 - 4 = 48$ गैर-राजा पत्तों में से चुने जाने चाहिए।
अतः,$n(A) = \binom{4}{4} \times \binom{48}{9} = \binom{48}{9}$.
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}}$.
$P(A) = \frac{48!}{9!39!} \times \frac{13!39!}{52!} = \frac{48! \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!}{9! \times 52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{52 \times 51 \times 50 \times 49}$.
इसे सरल करने पर,हमें $P(A) = \frac{11}{4165}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रतिबंध $\omega^{r_1} + \omega^{r_2} + \omega^{r_3} = 0$ तब संतुष्ट होता है जब $r_1, r_2, r_3$ को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल ${0, 1, 2}$ किसी क्रम में प्राप्त हों।
पासे के लिए संभावित मान ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
$3$ से विभाजित करने पर शेषफल:
$1 \equiv 1, 2 \equiv 2, 3 \equiv 0, 4 \equiv 1, 5 \equiv 2, 6 \equiv 0$.
प्रत्येक शेषफल के लिए $2$ संख्याएँ हैं: $0$ (${3, 6}$ से),$1$ (${1, 4}$ से),और $2$ (${2, 5}$ से)।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= (2 \times 2 \times 2) \times 3! = 8 \times 6 = 48$.
कुल परिणाम $= 6^3 = 216$.
प्रायिकता $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$.

(C) $20$ में से $4$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$ हैं।
माना $A.P.$ $a, a+d, a+2d, a+3d$ है। चूँकि $1 \le a$ और $a+3d \le 20$,हमारे पास $3d \le 20-a \le 19$ है,इसलिए $d \le 6$ है।
एक निश्चित $d$ के लिए,$A.P.s$ की संख्या $20-3d$ है।
$d=1$ के लिए: $20-3(1) = 17$.
$d=2$ के लिए: $20-3(2) = 14$.
$d=3$ के लिए: $20-3(3) = 11$.
$d=4$ के लिए: $20-3(4) = 8$.
$d=5$ के लिए: $20-3(5) = 5$.
$d=6$ के लिए: $20-3(6) = 2$.
कुल $A.P.s = 17+14+11+8+5+2 = 57$.
प्रायिकता $= \frac{57}{4845} = \frac{1}{85}$.
कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ का दावा है कि सार्व अंतर $d$ केवल $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ हो सकता है। हालाँकि,$d=6$ भी संभव है (उदाहरण के लिए,$1, 7, 13, 19$)। अतः,कथन-$2$ असत्य है।

(A) मान लीजिए कि $\lambda$ और $\mu$ क्रमशः $A$ और $B$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या है,और $\lambda'$ और $\mu'$ क्रमशः $A$ और $B$ द्वारा प्राप्त पटों (tails) की संख्या है।
तब $\lambda + \lambda' = n + 1$ और $\mu + \mu' = n$ है।
हमें वह प्रायिकता $P$ ज्ञात करनी है कि $\lambda > \mu$ हो।
पूरक घटना $\lambda \le \mu$ की प्रायिकता $1 - P$ है।
ध्यान दें कि $\lambda \le \mu \iff n + 1 - \lambda' \le n - \mu' \iff 1 - \lambda' \le - \mu' \iff \lambda' \ge \mu' + 1$,जिसका अर्थ है कि $\lambda' > \mu'$।
अतः,$1 - P$ वह प्रायिकता है कि $A$ को $B$ से अधिक पट प्राप्त हों।
समरूपता के कारण,$A$ को $B$ से अधिक चित प्राप्त होने की प्रायिकता,$A$ को $B$ से अधिक पट प्राप्त होने की प्रायिकता के बराबर है।
इसलिए,$P = 1 - P$,जिससे $2P = 1$ प्राप्त होता है,या $P = 1/2$।

(D) एक संख्या $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य,जो कि $6$ है,से विभाज्य हो।
प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याओं में,$6$ से विभाज्य संख्याएँ $6, 12, 18, \dots, 96$ हैं।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$96 = 6 + (n-1)6$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
ऐसी कुल $16$ संख्याएँ हैं।
$100$ में से $3$ भिन्न संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{100}C_3$ हैं।
$6$ से विभाज्य $3$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^{16}C_3$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{^{16}C_3}{^{100}C_3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98} = \frac{4}{1155}$ है।

(A) $21$ में से $3$ टिकट चुनने के कुल तरीके ${}^{21}C_3 = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = 1330$ हैं।
संख्याओं के $A.P.$ में होने के लिए,मान लीजिए संख्याएँ $a, a+d, a+2d$ हैं।
चूंकि संख्याएँ $1$ और $21$ के बीच हैं,इसलिए $1 \le a < a+d < a+2d \le 21$ है।
इसका अर्थ है $a+2d \le 21$।
यदि $d=1$ है,तो $a+2 \le 21 \implies a \le 19$। ऐसे $19$ समूह हैं।
यदि $d=2$ है,तो $a+4 \le 21 \implies a \le 17$। ऐसे $17$ समूह हैं।
यदि $d=k$ है,तो $a+2k \le 21 \implies a \le 21-2k$।
$d$ का अधिकतम मान $10$ है (क्योंकि $a+20 \le 21 \implies a=1$)।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 19 + 17 + 15 + \dots + 1$।
यह $10$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जहाँ पहला पद $19$ और अंतिम पद $1$ है।
योग $= \frac{10}{2}(19+1) = 5 \times 20 = 100$।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{100}{1330} = \frac{10}{133}$।

(A) शतरंज के बोर्ड में $64$ खाने होते हैं,जिनमें $32$ सफेद और $32$ काले खाने होते हैं।
$64$ में से $3$ खानों को चुनने के कुल तरीके ${}^{64}C_3 = 41664$ हैं।
दो खाने एक रंग के और एक दूसरे रंग का होने की दो स्थितियाँ हैं:
$(i)$ दो सफेद और एक काला: ${}^{32}C_2 \times {}^{32}C_1 = 15872$.
$(ii)$ दो काले और एक सफेद: ${}^{32}C_2 \times {}^{32}C_1 = 15872$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 15872 + 15872 = 31744$.
प्रायिकता $= \frac{31744}{41664} = \frac{16}{21}$.

(B) $8$ अंकों में से $2$ अंकों को बिना प्रतिस्थापन के चुनने के कुल तरीके $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ हैं।
माना $X$ दोनों चुने गए अंकों में से न्यूनतम अंक है। हमें $P(X < 5)$ ज्ञात करना है।
पूरक घटना का उपयोग करना आसान है: $P(X < 5) = 1 - P(X \geq 5)$।
$X \geq 5$ का अर्थ है कि दोनों चुने गए अंक समुच्चय $\{5, 6, 7, 8\}$ से होने चाहिए।
इन $4$ अंकों में से $2$ अंक चुनने के तरीके $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ हैं।
अतः,$P(X \geq 5) = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$।
इस प्रकार,$P(X < 5) = 1 - \frac{3}{14} = \frac{11}{14}$।

(C) कुल चयन के तरीके = $\binom{1000}{2} = 500 \times 999$.
$|x^4 - y^4|$ के $5$ से विभाज्य होने के लिए या तो दोनों संख्याएँ $5$ से विभाज्य होनी चाहिए या दोनों $5$ से विभाज्य नहीं होनी चाहिए।
$5$ से विभाज्य संख्याएँ $200$ हैं और $5$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $800$ हैं।
अनुकूल परिणाम = $\binom{200}{2} + \binom{800}{2} = 19900 + 319600 = 339500$.
प्रायिकता = $\frac{339500}{500 \times 999} = \frac{679}{999}$.

(B) एक पासे के लिए प्रायिकताएँ: $P(1) = \frac{1}{6}$,$P(2) = \frac{2}{6}$,और $P(3) = \frac{3}{6}$ हैं।
तीन बार फेंकने पर योग $6$ प्राप्त करने के लिए संभावित संयोजन:
$1)$ $\{1, 2, 3\}$ किसी भी क्रम में।
$2)$ $\{2, 2, 2\}$.
$\left\{1, 2, 3\right\}$ के लिए,क्रमचयों की संख्या $3! = 6$ है। प्रायिकता $6 \times (\frac{1}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{3}{6}) = \frac{36}{216}$ है।
$\left\{2, 2, 2\right\}$ के लिए,प्रायिकता $(\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{2}{6}) = \frac{8}{216}$ है।
कुल प्रायिकता $\frac{36}{216} + \frac{8}{216} = \frac{44}{216}$ है।

(D) $15$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{15}C_3 = 455$ हैं।
$3$ संख्याओं $(a, b, c)$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए $a+c = 2b$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a+c$ सम होना चाहिए। यह तब होता है जब $a$ और $c$ दोनों सम हों या दोनों विषम हों।
${1, 2, \dots, 15}$ में $7$ सम और $8$ विषम संख्याएँ हैं।
$2$ सम संख्याएँ चुनने के तरीके $^7C_2 = 21$ हैं।
$2$ विषम संख्याएँ चुनने के तरीके $^8C_2 = 28$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $21 + 28 = 49$।
प्रायिकता = $\frac{49}{455} = \frac{7}{65}$।

(A) $5$ छात्रों के लिए $10$ कॉलेजों में से चुनने के कुल तरीके $10^5$ हैं।
सभी $5$ छात्रों द्वारा अलग-अलग कॉलेज चुनने के तरीकों की संख्या $10$ कॉलेजों में से $5$ का क्रमचय है,जो $P(10, 5) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ है।
प्रायिकता $P = \frac{30240}{10^5} = \frac{30240}{100000} = \frac{189}{625}$ है।
यहाँ,$a = 189$ और $b = 625$ है,जो सह-अभाज्य हैं।
अतः,$a + b = 189 + 625 = 814$.

(B) $4$ उत्तर पुस्तिकाओं को $7$ शिक्षकों को सौंपने के कुल तरीके $7^4 = 2401$ हैं।
यह ज्ञात करने के लिए कि ठीक $2$ शिक्षक उत्तर पुस्तिकाएं जाँचते हैं,हम पहले $7$ में से $2$ शिक्षकों का चयन करते हैं,जो $^7C_2$ तरीकों से किया जा सकता है।
प्रत्येक $4$ उत्तर पुस्तिका को इन $2$ शिक्षकों में से किसी के द्वारा भी जाँचा जा सकता है,जिससे $2^4$ कुल तरीके मिलते हैं। हालाँकि,हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहाँ सभी उत्तर पुस्तिकाएं केवल $1$ शिक्षक द्वारा जाँची जाती हैं। अतः,तरीकों की संख्या $2^4 - 2 = 14$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $^7C_2 \times (2^4 - 2) = 21 \times 14 = 294$ है।
प्रायिकता $P = \frac{294}{2401} = \frac{6}{49}$ है।

(D) कुल मोज़ों की संख्या = $12 \times 2 = 24$.
$24$ में से $4$ मोज़े चुनने के कुल तरीके = $^{24}C_4 = 10626$.
कम से कम एक जोड़ी मिलने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम पहले कोई भी जोड़ी न मिलने की प्रायिकता ज्ञात करते हैं।
कोई भी जोड़ी न मिलने के लिए,हमें $12$ अलग-अलग जोड़ियों में से $4$ मोज़े इस प्रकार चुनने होंगे कि कोई भी दो मोज़े एक जोड़ी न बनाएं। इसका अर्थ है कि हम $12$ जोड़ियों में से $4$ जोड़ियां चुनते हैं और फिर उन $4$ जोड़ियों में से प्रत्येक से $1$ मोज़ा चुनते हैं।
कोई भी जोड़ी न मिलने के तरीके = $^{12}C_4 \times 2^4 = 495 \times 16 = 7920$.
कोई भी जोड़ी न मिलने की प्रायिकता = $\frac{7920}{10626} = \frac{120}{161}$.
अतः,कम से कम एक जोड़ी मिलने की प्रायिकता = $1 - \frac{120}{161} = \frac{41}{161}$.

(D) माना प्रत्येक परिवार में बच्चों की संख्या $x$ है।
दोनों परिवारों में कुल बच्चों की संख्या $2x$ है।
हम $2x$ बच्चों के बीच $3$ टिकट इस प्रकार वितरित करते हैं कि किसी भी बच्चे को एक से अधिक टिकट न मिले।
$2x$ बच्चों में से $3$ बच्चों को चुनने के कुल तरीके $^{2x}C_{3}$ हैं।
परिवार $B$ (जिसमें $x$ बच्चे हैं) से $3$ बच्चों को चुनने के तरीके $^{x}C_{3}$ हैं।
सभी $3$ टिकट परिवार $B$ के बच्चों को मिलने की प्रायिकता:
$P = \frac{^{x}C_{3}}{^{2x}C_{3}} = \frac{1}{12}$
सरलीकरण करने पर:
$\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)(2x-2)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x-2}{2x-1} = \frac{1}{3}$
$3x - 6 = 2x - 1$
$x = 5$
अतः,प्रत्येक परिवार में बच्चों की संख्या $5$ है।

(C) $15$ लोगों में से $4$ सदस्यों की समिति चुनने के कुल तरीके $^{15}C_4 = 1365$ हैं।
बिना किसी महिला वाली समिति की संख्या $^{10}C_4 = 210$ है।
अतः,कम से कम एक महिला वाली समिति की संख्या $1365 - 210 = 1155$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसमें समिति में पुरुषों से अधिक महिलाएं हों। यह तब होता है जब समिति में $3$ महिलाएं और $1$ पुरुष हो,या $4$ महिलाएं और $0$ पुरुष हों।
$3$ महिलाओं और $1$ पुरुष के तरीके: $^{5}C_3 \times ^{10}C_1 = 100$।
$4$ महिलाओं और $0$ पुरुषों के तरीके: $^{5}C_4 \times ^{10}C_0 = 5$।
कुल अनुकूल तरीके = $100 + 5 = 105$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{105}{1155} = \frac{1}{11}$ है।

(D) घात समुच्चय $P(X)$ में अवयवों की कुल संख्या $2^{10}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ को प्रतिस्थापन के साथ चुना जाता है,इसलिए $(A, B)$ के युग्म को चुनने के कुल तरीके $(2^{10}) \times (2^{10}) = 2^{20}$ हैं।
मान लीजिए $n(A) = k$ और $n(B) = k$,जहाँ $k$ का मान $0$ से $10$ तक हो सकता है।
$10$ अवयवों के समुच्चय से $k$ अवयवों वाला उपसमुच्चय चुनने के तरीके $^{10}C_k$ हैं।
अतः,$A$ और $B$ को इस प्रकार चुनने के तरीके कि $n(A) = n(B) = k$ हो,$(^{10}C_k) \times (^{10}C_k) = (^{10}C_k)^2$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $\sum_{k=0}^{10} (^{10}C_k)^2$ है।
सर्वसमिका $\sum_{k=0}^{n} (^{n}C_k)^2 = ^{2n}C_n$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{k=0}^{10} (^{10}C_k)^2 = ^{20}C_{10}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{^{20}C_{10}}{2^{20}}$ है।

(B) $6$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $6! = 720$ हैं।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $A$ और $B$ के बीच ठीक एक छात्र हो,हम $(A, X, B)$ या $(B, X, A)$ ब्लॉक को एक इकाई के रूप में मानते हैं,जहाँ $X$ शेष $4$ छात्रों में से एक है।
चरण $1$: शेष $4$ छात्रों में से एक छात्र $X$ को $4$ तरीकों से चुनें।
चरण $2$: $(A, X, B)$ या $(B, X, A)$ ब्लॉक को शेष $3$ छात्रों के साथ व्यवस्थित करें। इससे हमें व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ मिलती हैं,जिन्हें $4!$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $3$: चूंकि ब्लॉक $(A, X, B)$ या $(B, X, A)$ हो सकता है,इसलिए ब्लॉक के भीतर $A$ और $B$ को व्यवस्थित करने के $2$ तरीके हैं।
कुल अनुकूल व्यवस्था $= 4 \times 4! \times 2 = 4 \times 24 \times 2 = 192.$
प्रायिकता $= \frac{192}{720} = \frac{4}{15}.$

(A) $52$ पत्तों में से $7$ पत्तों का हाथ चुनने के कुल तरीके $^{52}C_{7}$ हैं।
हाथ में सभी $4$ राजा होने के लिए,हमें $4$ उपलब्ध राजाओं में से $4$ राजा चुनने होंगे और शेष $7 - 4 = 3$ पत्ते शेष $52 - 4 = 48$ पत्तों में से चुनने होंगे।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= ^{4}C_{4} \times ^{48}C_{3}$ है।
प्रायिकता $P = \frac{^{4}C_{4} \times ^{48}C_{3}}{^{52}C_{7}}$ है।
मानों की गणना करने पर:
$^{4}C_{4} = 1$.
$^{48}C_{3} = 17296$.
$^{52}C_{7} = 133784560$.
$P = \frac{17296}{133784560} = \frac{1}{7735}$.

(A) $52$ पत्तों में से $7$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_{7}$ हैं।
ठीक $3$ राजा प्राप्त करने के लिए,हमें $4$ उपलब्ध राजाओं में से $3$ राजा और शेष $48$ पत्तों में से $4$ गैर-राजा पत्ते चुनने होंगे।
$3$ राजा चुनने के तरीके $^{4}C_{3} = 4$ हैं।
$4$ गैर-राजा पत्ते चुनने के तरीके $^{48}C_{4} = 194580$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $^{4}C_{3} \times ^{48}C_{4} = 4 \times 194580 = 778320$ है।
संभावित परिणामों की कुल संख्या $^{52}C_{7} = 133784560$ है।
प्रायिकता $P = \frac{778320}{133784560} = \frac{9}{1547}$ है।