Advanced Use of permutations and combinations in probability Questions in Hindi

(A) $52$ में से $7$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_{7} = 133784560$ हैं।
हमें कम से कम $3$ राजा प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। इसमें ठीक $3$ राजा या ठीक $4$ राजा प्राप्त करने के मामले शामिल हैं।
स्थिति $1$: ठीक $3$ राजा।
तरीकों की संख्या = $^{4}C_{3} \times ^{48}C_{4} = 4 \times 194580 = 778320$.
स्थिति $2$: ठीक $4$ राजा।
तरीकों की संख्या = $^{4}C_{4} \times ^{48}C_{3} = 1 \times 17296 = 17296$.
कुल अनुकूल परिणाम = $778320 + 17296 = 795616$.
प्रायिकता = $\frac{795616}{133784560} = \frac{46}{7735}$.

(A) कुल कंचों की संख्या $= 10 + 20 + 30 = 60$ है।
$60$ में से $5$ कंचे निकालने के कुल तरीके $= ^{60}C_5$ हैं।
कोई भी कंचा हरा न होने के तरीके (अर्थात $10$ लाल और $20$ नीले कंचों में से चयन) $= ^{30}C_5$ हैं।
कोई भी कंचा हरा न होने की प्रायिकता $= \frac{^{30}C_5}{^{60}C_5}$ है।
अतः,कम से कम एक कंचा हरा होने की प्रायिकता $= 1 - \frac{^{30}C_5}{^{60}C_5}$ है।

(A) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_{4}$ हैं।
$52$ पत्तों की गड्डी में $13$ ईंट और $13$ हुकुम होते हैं।
$13$ में से $3$ ईंट चुनने के तरीके $^{13}C_{3}$ हैं।
$13$ में से $1$ हुकुम चुनने के तरीके $^{13}C_{1}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $^{13}C_{3} \times ^{13}C_{1}$ है।
प्रायिकता = $\frac{^{13}C_{3} \times ^{13}C_{1}}{^{52}C_{4}}$।

(A) जब अंकों की पुनरावृत्ति होती है,तो हम ${0, 1, 3, 5, 7}$ अंकों का उपयोग करके $5,000$ से बड़ी $4$-अंकीय संख्याएँ बनाते हैं।
पहला अंक (हजार का स्थान) $5$ या $7$ होना चाहिए ताकि संख्या $5,000$ से बड़ी हो। पहले अंक के लिए $2$ विकल्प हैं।
शेष $3$ स्थानों के लिए $5$ अंकों में से कोई भी चुना जा सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है।
$5$ या $7$ से शुरू होने वाली कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$ हैं।
चूँकि हमें $5,000$ से बड़ी संख्याएँ चाहिए,हम $5,000$ को घटा देते हैं। अतः कुल संख्याएँ $= 250 - 1 = 249$ हैं।
यदि इकाई का अंक $0$ या $5$ हो तो संख्या $5$ से विभाज्य होती है।
हजार के स्थान के लिए $2$ विकल्प हैं ($5$ या $7$)।
सैकड़ा और दहाई के स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं।
इकाई के स्थान के लिए $2$ विकल्प हैं ($0$ या $5$)।
$5$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $= 2 \times 5 \times 5 \times 2 = 100$ हैं।
$5,000$ को घटाने पर (जो $5$ से विभाज्य है),कुल संख्याएँ $= 100 - 1 = 99$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{99}{249} = \frac{33}{83}$ है।

(C) कुल $5-\text{अंकीय}$ संख्याओं की संख्या $9 \times 10^{4}$ है।
स्थिति $1$: चुने गए दोनों अंक शून्येतर हैं।
${1, 2, \dots, 9}$ में से $2$ अंक चुनने के तरीके $^{9}C_{2} = 36$ हैं।
प्रत्येक चयन के लिए,दोनों अंकों का उपयोग करने वाली $5-\text{अंकीय}$ संख्याओं की संख्या $2^{5} - 2 = 30$ है।
स्थिति $1$ के लिए कुल $= 36 \times 30 = 1080$ है।
स्थिति $2$: एक अंक शून्य है और दूसरा शून्येतर है।
${1, 2, \dots, 9}$ में से $1$ शून्येतर अंक चुनने के तरीके $^{9}C_{1} = 9$ हैं।
पहला अंक शून्येतर होना चाहिए ($1$ तरीका),और शेष $4$ स्थानों को $0$ या चुने गए शून्येतर अंक द्वारा भरा जा सकता है,उस स्थिति को छोड़कर जहाँ सभी $4$ अंक शून्येतर हों। यह $2^{4} - 1 = 15$ तरीके देता है।
स्थिति $2$ के लिए कुल $= 9 \times 15 = 135$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1080 + 135 = 1215$ है।
प्रायिकता $= \frac{1215}{9 \times 10^{4}} = \frac{135}{10^{4}}$।

(B) $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके बिना दोहराव के बनाई गई $6$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $6 \times 6! = 4320$ है।
संख्या $3$ से विभाज्य होने के लिए उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए। सभी अंकों का योग $21$ है। $6$ अंक चुनने के लिए एक अंक को बाहर करना होगा जो $0, 3,$ या $6$ हो सकता है।
स्थिति $I$: $0$ को बाहर करने पर,अंक ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ मिलते हैं। कुल तरीके $= 6! = 720$.
स्थिति $II$: $3$ को बाहर करने पर,अंक ${0, 1, 2, 4, 5, 6}$ मिलते हैं। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $5 \times 5! = 600$ तरीके।
स्थिति $III$: $6$ को बाहर करने पर,अंक ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ मिलते हैं। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $5 \times 5! = 600$ तरीके।
अनुकूल परिणाम $n(A) = 720 + 600 + 600 = 1920$.
प्रायिकता $P(A) = \frac{1920}{4320} = \frac{4}{9}$.

(B) $1$ और $8$ का उपयोग करके बनाई गई $6$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $2^6 = 64$ है।
$21$ से विभाज्य होने के लिए संख्या को $3$ और $7$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$3$ से विभाज्यता के लिए अंकों का योग $3$ का गुणज होना चाहिए,जिससे $n_1$ का मान $3$ का गुणज होता है।
कुल $22$ संख्याएँ $21$ से विभाज्य हैं।
अतः,$p = \frac{22}{64}$.
$96p = 96 \times \frac{22}{64} = 33$.

(B) $18$ में से $5$ अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{18}C_{5} = 8568$ हैं।
$x_{2} = 7$ और $x_{4} = 11$ की शर्त के लिए:
$x_{1} < 7$ के लिए $6$ विकल्प हैं $({}^{6}C_{1} = 6)$।
$x_{3}$ को $7$ और $11$ के बीच होना चाहिए,इसलिए $3$ विकल्प हैं $({}^{3}C_{1} = 3)$।
$x_{5} > 11$ के लिए $7$ विकल्प हैं $({}^{7}C_{1} = 7)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6 \times 3 \times 7 = 126$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{126}{8568} = \frac{1}{68}$ है।

(D) $4$ तत्वों के समुच्चय से $5$ तत्वों के समुच्चय तक कुल एकैकी फलनों की संख्या $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ है।
हमें उन फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जो $f(a) + 2f(b) = f(c) + f(d)$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $f(a), f(b), f(c), f(d)$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से भिन्न तत्व हैं।
माना मान $x_1, x_2, x_3, x_4$ क्रमशः $f(a), f(b), f(c), f(d)$ के अनुरूप हैं। हमें $x_1 + 2x_2 = x_3 + x_4$ चाहिए।
समीकरण को संतुष्ट करने वाले मानों के संभावित सेट:

$f(a)$	$f(b)$	$f(c)$	$f(d)$
$5$	$1$	$3$	$4$ ($5+2=3+4$,मान्य)
$4$	$2$	$3$	$5$ ($4+4=3+5$,मान्य)
$1$	$3$	$2$	$5$ ($1+6=2+5$,मान्य)

प्रत्येक मान्य सेट के लिए,$f(c)$ और $f(d)$ को व्यवस्थित करने के $2$ तरीके हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $n(A) = 6$ हैं।
प्रायिकता $P(A) = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$.

(A) समुच्चय $\{0, 1, 2, \ldots, 99\}$ से दो अलग-अलग पूर्णांक $m$ और $n$ चुनने के कुल तरीके $\binom{100}{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ हैं।
हम चाहते हैं कि $4^m + 4^n + 3 \equiv 0 \pmod{5}$ हो।
चूंकि $4 \equiv -1 \pmod{5}$,हमारे पास $4^m + 4^n + 3 \equiv (-1)^m + (-1)^n + 3 \pmod{5}$ है।
इस व्यंजक के $5$ से विभाज्य होने के लिए,$(-1)^m + (-1)^n + 3 \equiv 0 \pmod{5}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(-1)^m + (-1)^n \equiv -3 \equiv 2 \pmod{5}$।
चूंकि $(-1)^m$ और $(-1)^n$ केवल $1$ या $-1$ हो सकते हैं,उनका योग $2$ होने का एकमात्र तरीका यह है कि $(-1)^m = 1$ और $(-1)^n = 1$ हो।
इसका मतलब है कि $m$ और $n$ दोनों सम पूर्णांक होने चाहिए।
समुच्चय $\{0, 1, 2, \ldots, 99\}$ में $50$ सम पूर्णांक हैं (अर्थात $0, 2, 4, \ldots, 98$)।
दो अलग-अलग सम पूर्णांक चुनने के तरीके $\binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225$ हैं।
प्रायिकता $P = \frac{1225}{4950} = \frac{49}{198} \approx 0.24747$ है।
चूंकि $0.24747 \in (0, 0.25]$,सही अंतराल $(0, 0.25]$ है।

(C) $100$ कूपनों में से $5$ कूपन चुनने और व्यवस्थित करने के कुल तरीके $P(100, 5) = \frac{100!}{95!}$ हैं।
मान लीजिए $5$ चुनी गई संख्याओं का समुच्चय $S = \{a, b, c, d, e\}$ है जहाँ $a < b < c < d < e$ है।
$5$ अलग-अलग संख्याओं के किसी भी समुच्चय के लिए,हमें उन्हें इस तरह व्यवस्थित करने की आवश्यकता है कि $x_1 > x_2 > x_3$ और $x_3 < x_4 < x_5$ हो।
इसका अर्थ है कि $x_3$ को $5$ संख्याओं में सबसे छोटा होना चाहिए। अतः,$x_3$ समुच्चय के न्यूनतम तत्व के रूप में निश्चित है।
शेष $4$ संख्याओं को दो समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है: एक ${x_1, x_2}$ के लिए और एक ${x_4, x_5}$ के लिए।
शेष $4$ में से $x_1$ और $x_2$ बनने के लिए $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $\binom{4}{2} = 6$ हैं।
एक बार चुने जाने के बाद,उनका क्रम निश्चित है $(x_1 > x_2)$,और शेष $2$ का क्रम भी निश्चित है $(x_4 < x_5)$।
इस प्रकार,$5$ संख्याओं के किसी भी समुच्चय के लिए,$120$ कुल क्रमपरिवर्तनों में से $6$ अनुकूल व्यवस्थाएँ हैं।
प्रायिकता $\frac{6}{120} = \frac{1}{20}$ है।

(D) मान लीजिए कि $O$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि पर दो बिंदु $A$ और $B$ हैं।
मान लीजिए $\theta$ केंद्र पर जीवा $AB$ द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण $\angle AOB$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2r \sin(\frac{\theta}{2})$ द्वारा दी जाती है।
हम चाहते हैं कि दूरी $AB \ge r$ हो,जिसका अर्थ है $2r \sin(\frac{\theta}{2}) \ge r$।
इसे सरल करने पर $\sin(\frac{\theta}{2}) \ge \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\theta}{2} \ge 30^{\circ}$ या $\theta \ge 60^{\circ}$।
चूंकि बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,कोण $\theta$ का मान $0$ से $180^{\circ}$ तक हो सकता है (क्योंकि दूरी $\theta$ और $360^{\circ}-\theta$ के लिए समान है)।
कोण $\theta$ की कुल सीमा $180^{\circ}$ है।
$\theta$ के लिए अनुकूल सीमा $60^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}$ है।
प्रायिकता अनुकूल सीमा और कुल सीमा का अनुपात है: $P = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{120^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{2}{3}$।

(B) अंकों का समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल $7$-अंकीय संख्याएँ $7! - 6! = 6 \times 6! = 4320$ हैं।
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य हैं,तो वह संख्या $4$ से विभाज्य होती है।
स्थिति $1$: अंतिम दो अंकों में $0$ नहीं है। संभावित जोड़े $\{12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64\}$ हैं। ऐसे $8$ जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,शेष $5$ अंकों को $5! - 4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$8 \times (5! - 4!) = 8 \times 96 = 768$.
स्थिति $2$: अंतिम दो अंकों में $0$ है। संभावित जोड़े $\{04, 20, 40, 60\}$ हैं। ऐसे $4$ जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,शेष $5$ अंकों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$4 \times 5! = 480$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 768 + 480 = 1248$.
प्रायिकता $P = \frac{1248}{4320} = \frac{13}{45}$.

(C) $10$ में से $5$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{10}C_5 = 252$ हैं।
$p_1$ ठीक $1$ जीतने वाला टिकट प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$p_1 = \frac{^2C_1 \cdot ^8C_4}{^{10}C_5} = \frac{140}{252} = \frac{5}{9}$.
$p_2$ ठीक $2$ जीतने वाले टिकट प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$p_2 = \frac{^2C_2 \cdot ^8C_3}{^{10}C_5} = \frac{56}{252} = \frac{2}{9}$.
अतः,$p_1 + p_2 = \frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
चूंकि $\frac{7}{9} \approx 0.777$,यह $\left(\frac{3}{4}, 1\right]$ अंतराल में स्थित है।

(A) तीन पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
तीनों पासों पर अलग-अलग संख्याएँ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
अलग-अलग संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ है।
दिया गया है कि $\frac{p}{q} = \frac{5}{9}$ जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p = 5$ और $q = 9$ है।
अतः,$q - p = 9 - 5 = 4$।

(C) माना $X$ पासे पर प्राप्त संख्या है। $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
यदि $X=k$ है,तो $6$ सफेद गेंदों में से $k$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके $\binom{6}{k}$ हैं,और $10$ गेंदों में से $k$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $\binom{10}{k}$ हैं।
$X=k$ दिए जाने पर $k$ सफेद गेंदें चुनने की प्रायिकता $P(W|X=k) = \frac{\binom{6}{k}}{\binom{10}{k}}$ है।
कुल प्रायिकता $P(W) = \sum_{k=1}^{6} P(X=k) \times P(W|X=k) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} \frac{\binom{6}{k}}{\binom{10}{k}}$.
गणना करने पर: $\frac{1}{6} \left( \frac{6}{10} + \frac{15}{45} + \frac{20}{120} + \frac{15}{210} + \frac{6}{252} + \frac{1}{210} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{126+70+35+15+5+1}{210} \right) = \frac{1}{6} \times \frac{252}{210} = \frac{42}{210} = \frac{1}{5}$.

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
चूंकि $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है,इसलिए कुल संभावित त्रिक $(a, b, c)$ की संख्या $8 \times 8 \times 8 = 512$ है।
समीकरण के मूल समान होने के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए,अर्थात $b^2 - 4ac = 0$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4ac$।
$b^2 = 4ac$ को संतुष्ट करने वाले संभावित त्रिक $(a, b, c)$ इस प्रकार हैं:
यदि $b=2$,तो $4 = 4ac \Rightarrow ac = 1 \Rightarrow (1, 2, 1)$।
यदि $b=4$,तो $16 = 4ac \Rightarrow ac = 4 \Rightarrow (1, 4, 4), (4, 4, 1), (2, 4, 2)$।
यदि $b=6$,तो $36 = 4ac \Rightarrow ac = 9 \Rightarrow (3, 6, 3)$।
यदि $b=8$,तो $64 = 4ac \Rightarrow ac = 16 \Rightarrow (2, 8, 8), (8, 8, 2), (4, 8, 4)$।
इस प्रकार,कुल $8$ अनुकूल स्थितियाँ हैं।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल स्थितियाँ}}{\text{कुल स्थितियाँ}} = \frac{8}{512} = \frac{1}{64}$।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac > 0$,जिसका अर्थ है $b^2 > 4ac$.
$(a, b, c)$ के लिए कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
हम उन अनुकूल मामलों की गणना करते हैं जहाँ $b^2 > 4ac$ है:
- यदि $b=1$: $1 > 4ac$ (कोई हल नहीं)
- यदि $b=2$: $4 > 4ac \implies ac < 1$ (कोई हल नहीं)
- यदि $b=3$: $9 > 4ac \implies ac < 2.25$. संभावित $(a, c)$ जोड़े: $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$. ($3$ मामले)
- यदि $b=4$: $16 > 4ac \implies ac < 4$. संभावित $(a, c)$ जोड़े: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$. ($5$ मामले)
- यदि $b=5$: $25 > 4ac \implies ac < 6.25$. संभावित $(a, c)$ जोड़े: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 1), (6, 1)$. ($14$ मामले)
- यदि $b=6$: $36 > 4ac \implies ac < 9$. संभावित $(a, c)$ जोड़े: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (6, 1)$. ($16$ मामले)
कुल अनुकूल मामले $= 3 + 5 + 14 + 16 = 38$.
अतः,$p = \frac{38}{216}$.
इसलिए,$216p = 38$.

(A) $3$ पत्रों को $5$ अलग-अलग पतों पर पोस्ट करने के कुल तरीके $5^3 = 125$ हैं।
पत्रों को ठीक $2$ पतों पर पोस्ट करने के लिए,हम $5$ में से $2$ पतों का चयन करते हैं,जो $^5C_2 = 10$ तरीकों से किया जा सकता है।
प्रत्येक $2$ पतों के चयन के लिए,प्रत्येक $3$ पत्र को $2$ पतों में से किसी एक पर पोस्ट किया जा सकता है,जिससे $2^3 = 8$ तरीके मिलते हैं। हालाँकि,इसमें वे स्थितियाँ शामिल हैं जहाँ तीनों पत्र केवल $1$ पते पर पोस्ट किए गए हों,इसलिए हम उन $2$ स्थितियों को घटा देते हैं।
अतः,अनुकूल तरीकों की संख्या $^5C_2 \times (2^3 - 2) = 10 \times 6 = 60$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{60}{125} = \frac{12}{25}$ है।

(B) दिया गया समुच्चय $X = \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} < 1 \text{ और } y^2 < 5x\}$ है।
सीमा समीकरणों $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} = 1$ और $y^2 = 5x$ को हल करने पर,$y^2 = 5x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x^2}{8} + \frac{5x}{20} = 1 \implies \frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} = 1 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x+4)(x-2) = 0$. चूँकि $y^2 < 5x$ है,इसलिए $x > 0$ होना चाहिए,अतः $x = 2$. $x = 2$ के लिए,$y^2 < 10$,इसलिए $y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. $x = 1$ के लिए,$y^2 < 5$,इसलिए $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
समुच्चय $X$ में $12$ बिंदु हैं: $X = \{(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, -3), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)\}$.
$3$ बिंदु चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ होता है। चूँकि बिंदु रेखाओं $x=1$ और $x=2$ पर स्थित हैं,यदि आधार की लंबाई सम संख्या है तो क्षेत्रफल पूर्णांक होगा।
अनुकूल मामलों की गणना करने पर: $46 + 22 + 5 = 73$.
अतः,प्रायिकता $\frac{73}{220}$ है।

(A) माना $B$ एक लड़का है और $G$ एक लड़की है। कुल $3$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हैं। $5$ लोगों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
माना $i$-वीं लड़की के आगे $b_i$ लड़के और $g_i$ लड़कियाँ हैं। शर्त के अनुसार $b_i \ge g_i + 1$ दोनों लड़कियों के लिए होना चाहिए।
यदि लड़कियों के स्थान $x_1$ और $x_2$ हैं जहाँ $1 \le x_1 < x_2 \le 5$ है।
पहली लड़की के लिए $x_1 - 1 \ge 0 + 1 \implies x_1 \ge 2$।
दूसरी लड़की के लिए $x_2 - 2 \ge 1 + 1 \implies x_2 \ge 4$।
संभावित स्थान $(x_1, x_2)$ हैं: $(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)$।
ये सभी $5$ स्थितियाँ शर्त को पूरा करती हैं।
कुल अनुकूल व्यवस्थाएँ = $5 \times (3! \times 2!) = 60$।
प्रायिकता = $\frac{60}{120} = \frac{1}{2}$।

(A) $16$ $(4+2+10)$ व्यक्तियों में से $12$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $^{16}C_{12} = ^{16}C_4 = 1820$ हैं।
हमें कम से कम $3$ इंजीनियरों और कम से कम $1$ डॉक्टर की आवश्यकता है। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$1)$ $3$ इंजीनियर,$1$ डॉक्टर,$8$ प्रोफेसर: $^4C_3 \times ^2C_1 \times ^{10}C_8 = 360$।
$2)$ $3$ इंजीनियर,$2$ डॉक्टर,$7$ प्रोफेसर: $^4C_3 \times ^2C_2 \times ^{10}C_7 = 480$।
$3)$ $4$ इंजीनियर,$1$ डॉक्टर,$7$ प्रोफेसर: $^4C_4 \times ^2C_1 \times ^{10}C_7 = 240$।
$4)$ $4$ इंजीनियर,$2$ डॉक्टर,$6$ प्रोफेसर: $^4C_4 \times ^2C_2 \times ^{10}C_6 = 210$।
कुल अनुकूल तरीके = $360 + 480 + 240 + 210 = 1290$।
आवश्यक प्रायिकता = $\frac{1290}{1820} = \frac{129}{182}$।

(B) $9$ सीटों पर $6$ लड़कों और $3$ लड़कियों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $9!$ हैं।
इस शर्त के लिए कि अंतिम सीटों पर लड़कियाँ हों,हम $3$ में से $2$ लड़कियों को सिरों के लिए $^3P_2 = 3 \times 2 = 6$ तरीकों से चुनते हैं।
शेष $7$ सीटों को $6$ लड़कों और $1$ लड़की द्वारा भरा जाना है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों,हम पहले $6$ लड़कों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
यह $7$ अंतराल (गैप) बनाता है। चूँकि $2$ अंतिम सीटें पहले से ही लड़कियों द्वारा भरी हुई हैं,हमारे पास शेष $1$ लड़की के लिए $5$ आंतरिक अंतराल उपलब्ध हैं।
अंतिम लड़की को बैठाने के तरीकों की संख्या $5$ है।
कुल अनुकूल तरीके = $6 \times 6! \times 5 = 30 \times 720 = 21600$.
कुल संभावित व्यवस्थाएँ = $9! = 362880$.
प्रायिकता = $\frac{21600}{362880} = \frac{5}{84}$.

(C) $20$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
क्रमागत त्रिक $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ हैं।
ऐसे त्रिकों की संख्या $18$ है।
प्रायिकता $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ है।

(B) कुल गेंदों की संख्या $3 + 4 + 2 = 9$ है।
$9$ में से $3$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ है।
तीन अलग-अलग रंगों की गेंदें प्राप्त करने के लिए,हमें एक लाल,एक नीली और एक हरी गेंद चुननी होगी।
प्रत्येक रंग की एक गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $^{3}C_{1} \times ^{4}C_{1} \times ^{2}C_{1} = 3 \times 4 \times 2 = 24$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ है।

(A) कुल संख्याएँ $= 6 + 8 = 14$.
$14$ में से $4$ संख्याएँ चुनने के तरीके $= ^{14}C_4 = 1001$.
$4$ संख्याओं का गुणनफल ऋणात्मक होगा यदि:
$i$. एक संख्या ऋणात्मक और तीन धनात्मक हों: $^{8}C_1 \times ^{6}C_3 = 8 \times 20 = 160$.
$ii$. तीन संख्याएँ ऋणात्मक और एक धनात्मक हो: $^{8}C_3 \times ^{6}C_1 = 56 \times 6 = 336$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 160 + 336 = 496$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{496}{1001}$.

(C) प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याएँ $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ हैं।
$2$ और $3$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ $\text{lcm}(2, 3) = 6$ के गुणज हैं।
ये संख्याएँ $\{6, 12, 18, \ldots, 96\}$ हैं।
ऐसी कुल संख्याएँ $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ हैं।
$100$ में से $3$ भिन्न संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{100}C_3$ हैं।
$16$ उपलब्ध संख्याओं में से $6$ से विभाज्य $3$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^{16}C_3$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{^{16}C_3}{^{100}C_3}$ है।
$P = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{100 \times 99 \times 98} = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98}$.
$P = \frac{3360}{970200} = \frac{4}{1155}$.

(D) कुल टिकटें = $9$ हैं। विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9}$ ($5$ टिकटें) हैं और सम संख्याएँ ${2, 4, 6, 8}$ ($4$ टिकटें) हैं।
स्थिति $1$: अनुक्रम {विषम,सम,विषम} है।
प्रायिकता $P(O_1 \cap E_2 \cap O_3) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{80}{504} = \frac{10}{63}$ है।
स्थिति $2$: अनुक्रम {सम,विषम,सम} है।
प्रायिकता $P(E_1 \cap O_2 \cap E_3) = \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{60}{504} = \frac{5}{42}$ है।
कुल प्रायिकता = $\frac{10}{63} + \frac{5}{42} = \frac{20 + 15}{126} = \frac{35}{126} = \frac{5}{18}$ है।

(B) जब तीन पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6^3 = 216$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि ऊपर की सतहों पर संख्याओं का योग $5$ से कम है।
योग $5$ से कम होने के लिए संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(1, 1, 1)$ (योग $= 3$)
$(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ (योग $= 4$)
अतः,योग $5$ से कम होने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1 + 3 = 4$ है।
योग $5$ से कम होने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ है।
इसलिए,ऊपर की सतहों पर संख्याओं का योग कम से कम $5$ होने की प्रायिकता $P(\text{योग} \geq 5) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या $= 6 + 4 = 10$ है।
$10$ में से $2$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ है।
गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,उन्हें या तो दोनों सफेद होना चाहिए या दोनों काली।
$6$ में से $2$ सफेद गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ है।
$4$ में से $2$ काली गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 15 + 6 = 21$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ है।

(D) गेंदों की कुल संख्या = $3 + 4 + 2 = 9$.
$9$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ है।
हम $3$ अलग-अलग रंगों की गेंदें निकालना चाहते हैं,जिसका अर्थ है $1$ लाल,$1$ नीली और $1$ हरी गेंद।
$1$ लाल,$1$ नीली और $1$ हरी गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $^3C_1 \times ^4C_1 \times ^2C_1 = 3 \times 4 \times 2 = 24$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ है।

(A) $12$ घरों में $5$ समान नमूने वितरित करने के कुल तरीके $\binom{12}{5} = 792$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि किन्हीं भी दो लगातार घरों को नमूना न मिले,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
उन $7$ घरों को एक पंक्ति में रखें जिन्हें नमूना नहीं मिलता है। यह $8$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनाता है जहाँ $5$ नमूने रखे जा सकते हैं।
$8$ में से $5$ स्थान चुनने के तरीके $\binom{8}{5} = 56$ हैं।
प्रायिकता $\frac{56}{792} = \frac{7}{99}$ है।

(C) "$ASSASSINATION$" शब्द में $13$ अक्षर हैं: $A(3), S(4), I(2), N(2), T(1)$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{13!}{3!4!2!2!}$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $A$ एक साथ न आएं,शेष $10$ अक्षरों $(S, S, S, S, I, I, N, N, T)$ को पहले व्यवस्थित करें.
इन $10$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{10!}{4!2!2!}$ हैं.
ये $10$ अक्षर $11$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनाते हैं जहाँ $3$ $A$ को रखा जा सकता है.
$11$ में से $3$ रिक्त स्थान चुनने के तरीके $^{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ हैं.
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{\frac{10!}{4!2!2!} \times ^{11}C_3}{\frac{13!}{3!4!2!2!}} = \frac{10! \times 165 \times 3!}{13!} = \frac{165 \times 6}{13 \times 12 \times 11} = \frac{15}{26}$.

(B) $12$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $C(12, 3) = 220$ हैं।
ठीक $2$ गेंदों का रंग समान होने के लिए:
स्थिति $1$: $2$ लाल और $1$ अन्य रंग की गेंद = $C(4, 2) \times C(8, 1) = 48$.
स्थिति $2$: $2$ हरी और $1$ अन्य रंग की गेंद = $C(5, 2) \times C(7, 1) = 70$.
स्थिति $3$: $2$ सफेद और $1$ अन्य रंग की गेंद = $C(3, 2) \times C(9, 1) = 27$.
कुल अनुकूल परिणाम = $48 + 70 + 27 = 145$.
प्रायिकता = $\frac{145}{220} = \frac{29}{44}$.

(C) बच्चों की कुल संख्या = $8 + 7 = 15$।
$15$ में से $3$ पर्चियाँ चुनने के कुल तरीके = $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$।
स्थिति $1$: एक लड़का और दो लड़कियाँ।
तरीके = $^8C_1 \times ^7C_2 = 8 \times 21 = 168$।
स्थिति $2$: एक लड़की और दो लड़के।
तरीके = $^7C_1 \times ^8C_2 = 7 \times 28 = 196$।
कुल अनुकूल तरीके = $168 + 196 = 364$।
प्रायिकता = $\frac{364}{455} = \frac{4}{5}$।

(D) $30$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $C(30, 3) = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$ हैं।
अब,$3$ क्रमागत संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करते हैं। ये $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (28, 29, 30)$ हैं।
ऐसी $28$ क्रमागत संख्याओं के समूह हैं।
$3$ क्रमागत संख्याएँ चुनने की प्रायिकता $P(E) = \frac{28}{4060} = \frac{1}{145}$ है।
इस बात की प्रायिकता कि वे तीन क्रमागत संख्याएँ नहीं हैं,$1 - P(E) = 1 - \frac{1}{145} = \frac{144}{145}$ है।

(C) चरण $1$: चरों को परिभाषित करें।
कुल वस्तुएं $= 15$।
दोषपूर्ण वस्तुएं $= 3$।
दोषरहित वस्तुएं $= 15 - 3 = 12$।
नमूना आकार $= 5$।
हमें इस नमूने में ठीक $2$ दोषपूर्ण वस्तुएं चुनने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
चरण $2$: संभावित परिणामों की गणना के लिए संयोजनों का उपयोग करें।
प्रायिकता की गणना हाइपरजियोमेट्रिक वितरण सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
$1$. $3$ में से $2$ दोषपूर्ण वस्तुएं चुनने के तरीके:
$\binom{3}{2} = 3$।
$2$. $12$ में से $3$ दोषरहित वस्तुएं चुनने के तरीके:
$\binom{12}{3} = 220$।
$3$. $15$ में से $5$ वस्तुएं चुनने के कुल तरीके:
$\binom{15}{5} = 3003$।
चरण $3$: प्रायिकता की गणना करें।
$P = \frac{3 \times 220}{3003} = \frac{660}{3003} = \frac{220}{1001}$।
अतः,सही उत्तर $\frac{220}{1001}$ है।

(D) $20$ में से $3$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके ${}^{20}C_3 = 1140$ हैं।
$3$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर संख्याओं का वर्गीकरण:
$R_0 = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ (संख्या $6$)
$R_1 = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}$ (संख्या $7$)
$R_2 = \{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20\}$ (संख्या $7$)
योग $3$ से विभाज्य होने की स्थितियाँ:
$(I)$ तीनों संख्याएँ $R_0$ से: ${}^{6}C_3 = 20$.
$(II)$ तीनों संख्याएँ $R_1$ से: ${}^{7}C_3 = 35$.
$(III)$ तीनों संख्याएँ $R_2$ से: ${}^{7}C_3 = 35$.
$(IV)$ प्रत्येक समुच्चय $R_0, R_1, R_2$ से एक-एक संख्या: ${}^{6}C_1 \times {}^{7}C_1 \times {}^{7}C_1 = 294$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 20 + 35 + 35 + 294 = 384$.
प्रायिकता $= \frac{384}{1140} = \frac{32}{85}$.

(D) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = b^2 - 4ac = 0$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4ac$।
पासे पर अंक $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं। कुल परिणाम $6 \times 6 \times 6 = 216$ हैं।
हमें ऐसे त्रिक $(a, b, c)$ खोजने हैं जिनके लिए $b^2 = 4ac$ हो।

$b$	$(a, c)$	संख्या
$b=1$	$1 = 4ac$ (संभव नहीं)	$0$
$b=2$	$4 = 4ac \implies ac = 1 \implies (1, 1)$	$1$
$b=3$	$9 = 4ac$ (संभव नहीं)	$0$
$b=4$	$16 = 4ac \implies ac = 4 \implies (1, 4), (4, 1), (2, 2)$	$3$
$b=5$	$25 = 4ac$ (संभव नहीं)	$0$
$b=6$	$36 = 4ac \implies ac = 9 \implies (3, 3)$	$1$

कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 3 + 1 = 5$ है।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{5}{216}$ है।

(C) $8$ कार्डों में से प्रतिस्थापन के साथ दो कार्ड निकालने पर कुल परिणामों की संख्या $8 \times 8 = 64$ है।
माना कि निकाली गई दो संख्याएँ $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है।
हमें $xy$ का गुणनफल एक पूर्ण वर्ग चाहिए।
वे जोड़े $(x, y)$ जिनका गुणनफल एक पूर्ण वर्ग है,वे हैं:
$(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 8), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 2), (8, 8)$।
ऐसे $12$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ है।

(B) कुल सिक्के = $12 + 7 + 4 = 23$। $3$ सिक्के चुनने के कुल तरीके = ${}^{23}C_3$। \\ सिक्कों के मूल्यों का योग एक रुपये का पूर्णांक गुणज नहीं होगा यदि चुने गए $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या विषम हो। \\ $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या विषम होने की स्थितियाँ: \\ $(i)$ $1$ पचास पैसे का सिक्का और $2$ अन्य सिक्के: ${}^{4}C_1 \times {}^{19}C_2$। \\ $(ii)$ $3$ पचास पैसे के सिक्के: ${}^{4}C_3$। \\ कुल अनुकूल तरीके = ${}^{4}C_1 \times {}^{19}C_2 + {}^{4}C_3$। \\ अतः,प्रायिकता $\frac{4({}^{12}C_1 \times {}^{7}C_1 + {}^{12}C_2 + {}^{7}C_2) + {}^{4}C_3}{{}^{23}C_3}$ है।

(D) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते चुनने के कुल तरीके ${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ हैं।
अनुकूल परिणामों में $4$ में से $1$ इक्का,$4$ में से $1$ रानी और $4$ में से $1$ गुलाम चुनना शामिल है।
इसे ${}^{4}C_1 \times {}^{4}C_1 \times {}^{4}C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ तरीकों से किया जा सकता है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{64}{22100} = \frac{16}{5525}$ है।

(D) कुल बोतलों की संख्या = $6 + 3 + 4 = 13$.
$13$ में से $3$ बोतलें चुनने के तरीके = $^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि तीनों बोतलें एक ही प्रकार की हैं।
$E$ तब होता है यदि हम $V_1$ की $3$ बोतलें,या $V_2$ की $3$ बोतलें,या $V_3$ की $3$ बोतलें चुनें।
एक ही प्रकार की $3$ बोतलें चुनने के तरीके = $^6C_3 + ^3C_3 + ^4C_3$.
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
$^3C_3 = 1$.
$^4C_3 = 4$.
$E$ के लिए कुल अनुकूल तरीके = $20 + 1 + 4 = 25$.
$P(E) = \frac{25}{286}$.
इस बात की प्रायिकता कि तीनों बोतलें एक ही प्रकार की नहीं हैं = $1 - P(E) = 1 - \frac{25}{286} = \frac{286 - 25}{286} = \frac{261}{286}$.

(D) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_{4}$ हैं।
एक गड्डी में $4$ सूट होते हैं,जिनमें से प्रत्येक में $13$ पत्ते होते हैं।
एक ही सूट के $4$ पत्ते चुनने के तरीके $4 \times ^{13}C_{4}$ हैं।
प्रायिकता $P$ इस प्रकार है:
$P = \frac{4 \times ^{13}C_{4}}{^{52}C_{4}}$
$P = \frac{4 \times 715}{270725} = \frac{2860}{270725}$
भिन्न को सरल करने पर:
$P = \frac{44}{4165}$

(A) कुल शर्ट की संख्या $= 6 + 4 + 2 + 3 = 15$ है।
$15$ में से $2$ शर्ट चुनने के तरीके $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ हैं।
$2$ सफेद शर्ट चुनने के तरीके $^{2}C_2 = 1$ हैं।
$3$ नीली शर्ट चुनने के तरीके $^{3}C_2 = 3$ हैं।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,प्रायिकता है:
$P = \frac{^{2}C_2 + ^{3}C_2}{^{15}C_2} = \frac{1 + 3}{105} = \frac{4}{105}$.

(B) कुल गेंदों की संख्या = $5 + 7 = 12$.
हमें $12$ गेंदों में से $9$ गेंदें निकालनी हैं।
कुल चयन के तरीके $n(S) = {}^{12}C_9 = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
हमें $5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें और $7$ काली गेंदों में से $6$ काली गेंदें चुननी हैं।
$3$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके ${}^5C_3 = {}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$6$ काली गेंदें चुनने के तरीके ${}^7C_6 = {}^7C_1 = 7$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(P) = 10 \times 7 = 70$.
प्रायिकता $P = \frac{n(P)}{n(S)} = \frac{70}{220} = \frac{7}{22}$.

(D) $64$ वर्गों में से $3$ वर्ग चुनने के कुल तरीके $^{64}C_3$ हैं।
एक रंग के $2$ वर्ग और दूसरे रंग का $1$ वर्ग चुनने के कुल तरीके $(2 \text{ सफेद, } 1 \text{ काला})$ या $(1 \text{ सफेद, } 2 \text{ काला})$ हैं।
यह $^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1 + ^{32}C_1 \cdot ^{32}C_2 = 2 \cdot ^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1$ के बराबर है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2 \cdot ^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1}{^{64}C_3} = \frac{2 \cdot \frac{32 \times 31}{2} \times 32}{\frac{64 \times 63 \times 62}{6}} = \frac{16}{21}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) तीन निष्पक्ष पासे फेंकने पर अलग-अलग फलक आने के कुल परिणामों की संख्या $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
तीन अलग-अलग फलकों का योग $8$ होने के लिए संयोजन $(1, 2, 5)$ और $(1, 3, 4)$ हैं।
ऐसे $2$ संयोजन हैं।
प्रत्येक संयोजन को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $2 \times 6 = 12$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{12}{120} = \frac{1}{10}$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) एक पासे पर पीले $(Y)$,लाल $(R)$,और नीले $(B)$ रंग प्राप्त करने की प्रायिकताएं हैं: $P(Y) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$P(R) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,और $P(B) = \frac{1}{6}$।
हमें $3$ उछालों में एक पीला,एक लाल और एक नीला फलक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$(Y, R, B)$ के क्रम को व्यवस्थित करने के तरीके $3! = 6$ हैं।
किसी भी एक विशिष्ट क्रम (जैसे $Y, R, B$) की प्रायिकता $P(Y) \times P(R) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ है।
चूंकि ऐसे $6$ क्रम संभव हैं,इसलिए कुल प्रायिकता $6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ होगी।