$1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવી છ અંકની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા કેટલી છે,જો દરેક અંક સંખ્યામાં ઓછામાં ઓછી એક વાર આવવો જોઈએ?

એક પુરુષ $X$ ને $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. તેની પત્ની $Y$ ને પણ $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ ના કોઈ સામાન્ય મિત્રો નથી. તો $X$ અને $Y$ સાથે મળીને $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને પાર્ટીમાં આમંત્રિત કરે,જેથી $X$ અને $Y$ દરેકના $3$ મિત્રો આ પાર્ટીમાં હોય,તેવા કુલ કેટલા પ્રકાર છે:

$1, 2, 3, ..., 7$ અંકોના પુનરાવર્તન વગરના એવા કેટલા ક્રમચયો છે જેમાં $153$ સ્ટ્રિંગ કે $2467$ સ્ટ્રિંગ ન હોય?

ધારો કે $m$ (અનુક્રમે $n$) એ $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે (અનુક્રમે પુનરાવર્તન વગર) બનતી $5$-અંકી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,જેથી કોઈપણ બે પાસપાસેના અંકોનો સરવાળો એકી સંખ્યા થાય. તો $\frac{m}{n}$ ની કિંમત શોધો.

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $50000$ થી મોટી એવી કેટલી $5$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય કે જેમાં પ્રથમ અને છેલ્લા અંકનો સરવાળો $8$ થી વધુ ન હોય?

ભિન્ન રંગના પાંચ દડાને ભિન્ન કદના ત્રણ ખોખાંમાં મૂકવામાં આવે,દરેક ખોખું બધાં જ પાંચ દડા સમાવી શકે છે. એક પણ ખોખું ખાલી ન રહે તેવી રીતે દડા કેટલી રીતે મૂકી શકાય?