એક પ્રશ્નપત્ર બે ભાગ $A$ અને $B$ માં વહેંચાયેલું છે અને દરેક ભાગમાં $5$ પ્રશ્નો છે. એક ઉમેદવાર દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા બે પ્રશ્નો પસંદ કરીને કુલ $6$ પ્રશ્નોના જવાબ કેટલી રીતે આપી શકે?

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $286$ છે.
$II$. જો $25! = 10^n \times k, (k \in N)$ હોય,તો $n=6$.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

ધોરણ $10$ માં $5$ વિદ્યાર્થીઓ,ધોરણ $11$ માં $6$ વિદ્યાર્થીઓ અને ધોરણ $12$ માં $8$ વિદ્યાર્થીઓ છે. જો તેમની પાસેથી $10$ વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી એવી રીતે કરવામાં આવે કે જેમાં દરેક ધોરણમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોય અને ધોરણ $10$ અને $11$ ના કુલ $11$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી વધુમાં વધુ $5$ વિદ્યાર્થીઓ હોય,તો તે રીતોની સંખ્યા $100k$ છે,તો $k$ ની કિંમત $......$ છે.

એક કબાટમાં $10$ જોડી પગરખાં છે,જેમાંથી $4$ પગરખાં યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછી એક જોડી હોય તેની સંભાવના કેટલી?

$15$ સફરજનને ત્રણ વ્યક્તિઓ $A, B, C$ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી $A$ અને $C$ દરેકને ઓછામાં ઓછા $2$ સફરજન મળે અને $B$ ને વધુમાં વધુ $5$ સફરજન મળે.

ધારો કે $S$ એ $0, 1$ અને $2$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવી તમામ સાત-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. ઉદાહરણ તરીકે,$2210222$ એ $S$ માં છે,પરંતુ $0210222$ એ $S$ માં નથી. તો $S$ માં એવા ઘટકો $x$ ની સંખ્યા કે જેમાં $0$ અને $1$ અંકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક અંક બરાબર બે વાર આવે,તે $....$ ની બરાબર છે.