જો $^nC_r = ^nC_{r-1}$ અને $^nP_r = ^nP_{r+1}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $n_1 < n_2 < n_3 < n_4 < n_5$ એવા ધન પૂર્ણાંકો છે કે જેથી $n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=20$ થાય. તો આવી ભિન્ન ગોઠવણીઓ $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5)$ ની સંખ્યા શોધો.

$1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને ચાર અંકની સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે (પુનરાવર્તન માન્ય છે). આવી $11$ વડે વિભાજ્ય ચાર અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

${}^{47}C_4 + \sum_{j=1}^5 {}^{(52-j)}C_3$ ની કિંમત શોધો.

એક પ્રવેશ પરીક્ષામાં $15$ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો છે. દરેક પ્રશ્નમાં $4$ વિકલ્પો છે. દરેક પ્રશ્ન માટે,એક અથવા એકથી વધુ જવાબો સાચા હોઈ શકે છે. જો કોઈ વિદ્યાર્થી તમામ $15$ પ્રશ્નોના પ્રયત્ન કરે અને યાદચ્છિક રીતે જવાબો ચિહ્નિત કરે,તો તે વિદ્યાર્થી કેટલી અલગ અલગ રીતે પ્રશ્નપત્રનો જવાબ આપી શકે?

જો $9$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી એક સમયે $5$ વસ્તુઓ લઈને બનતા વર્તુળાકાર ક્રમચયોની સંખ્યા $n_1$ હોય અને $8$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી એક સમયે $4$ વસ્તુઓ લઈને બનતા રેખીય ક્રમચયોની સંખ્યા $n_2$ હોય,તો $\frac{n_1}{n_2}=$