એક ગણમાં 2n + 1 ઘટકો છે. આ ગણના n કરતા વધારે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે ગણ $S$ માં $2n + 1$ ઘટકો છે. આપણે $n$ કરતા વધારે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવી છે,એટલે કે $n+1, n+2, \dots, 2n+1$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો.આવા

Vedclass · Accepted Answer

$2^{2n}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે ગણ $S$ માં $2n + 1$ ઘટકો છે. આપણે $n$ કરતા વધારે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવી છે,એટલે કે $n+1, n+2, \dots, 2n+1$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો.આવા ઉપગણોની સંખ્યાનો સરવાળો: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$.સંચયના ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,વગેરે.તેથી,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $2n+1$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ છે.કારણ કે $\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = S$,તેથી $2S = 2^{2n+1}$.આમ,$S = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.

એક ગણમાં $2n + 1$ ઘટકો છે. આ ગણના $n$ કરતા વધારે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા કેટલી થાય?

Similar Questions

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને એવી કેટલી $4$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય જેમાં અંક $1$ હોય?

$1$ અને $10^{10}$ ની વચ્ચેની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં અંક $1$ આવતો હોય,તેની સંખ્યા શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module