$abc = 30$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક હોટલમાં ચાર રૂમ ઉપલબ્ધ છે. છ વ્યક્તિઓને આ ચાર રૂમમાં એવી રીતે સમાવવાની છે કે જેથી દરેક રૂમમાં ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ અને વધુમાં વધુ બે વ્યક્તિઓ હોય. તો આ કાર્ય કરવાની તમામ શક્ય રીતોની સંખ્યા . . . . . . . . છે.

$(n + 1)$ સફેદ અને $(n + 1)$ કાળા દડા છે,જેમાં દરેક સેટને $1$ થી $n + 1$ નંબર આપવામાં આવ્યા છે. દડાઓને હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી કોઈ પણ બે પાસપાસેના દડા સમાન રંગના ન હોય.

$^{37}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {^{(42-r)}C_r} = $

$n$ સફેદ અને $n$ કાળા દડા છે,જેમને $1, 2, 3, \ldots, n$ અંકિત કરેલા છે. આ દડાઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી પાસપાસેના દડાઓ અલગ અલગ રંગના હોય?

એક ગણમાં $2n + 1$ ઘટકો છે. આ ગણના $n$ કરતા વધારે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા કેટલી થાય?