Angle between the pair of straight lines, Condition for parallel and perpendicular lines Questions in Hindi

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 + 3xy + y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$2h = 3$ (अर्थात $h = 3/2$),और $b = 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1 = \tan \theta_1$ और $m_2 = \tan \theta_2$ रेखाओं की प्रवणताएँ (slopes) हैं।
रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,प्रवणताओं का योग $m_1 + m_2 = -2h/b = -3$ और प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = a/b = 2$ होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\tan(\theta_1 - \theta_2)| = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$।
मान रखने पर: $(m_1 - m_2)^2 = (-3)^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1$।
अतः,$|m_1 - m_2| = 1$।
इसलिए,$|\tan(\theta_1 - \theta_2)| = |\frac{1}{1 + 2}| = 1/3$।

(C) दिया गया समीकरण: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = (x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 \sin^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
सरल करने पर: $x^2 \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
$x^2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = 0$
$-x^2 \cos(2\alpha) + xy \sin(2\alpha) = 0$
यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप का समीकरण है,जहाँ $A = -\cos(2\alpha)$,$H = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$,और $B = 0$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A+B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} \sin^2(2\alpha) - 0}}{-\cos(2\alpha) + 0} \right| = |-\tan(2\alpha)| = |\tan(2\alpha)|$।
अतः,$\theta = 2\alpha$।

(B) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ है।
यदि निर्देशांक अक्ष समद्विभाजक हैं,तो उनका समीकरण $xy = 0$ होगा।
अतः,$h = 0$ होना चाहिए।

(D) दिया गया समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है,जहाँ $A = \cos \theta - \sin \theta$,$H = \cos \theta$,और $B = \cos \theta + \sin \theta$ है।
रेखाओं के युग्म के बीच का न्यूनकोण $\alpha$ सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2 \sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$H^2 - AB = \cos^2 \theta - (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \sin^2 \theta$।
$A + B = 2 \cos \theta$।
अतः,$\tan \alpha = \left| \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right| = |\tan \theta|$।
चूँकि $2 \theta$ न्यूनकोण है,इसलिए $\alpha = \theta$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m = \frac{y}{x}$,तो $bm^2+2hm+a=0$। इस द्विघात समीकरण के मूल रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया गया है कि $h^2=ab$,इसलिए विविक्तकर $D = (2h)^2 - 4ab = 4h^2 - 4ab = 4(h^2-ab) = 0$ है। चूँकि विविक्तकर शून्य है,इसलिए दोनों मूल समान हैं,अर्थात $m_1 = m_2$। अतः,ढाल का अनुपात $m_1:m_2 = 1:1$ है।

(B) रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसके रेखाओं का युग्म होने के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
$(2p-3)x^2 + 2pxy - y^2 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,$a = 2p-3$,$h = p$,$b = -1$,$g = 0$,$f = 0$,और $c = 0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,$0 = 0$ प्राप्त होता है,जो किसी भी $p \in R$ के लिए सत्य है।
रेखाओं के भिन्न होने के लिए शर्त $h^2 - ab > 0$ है।
यहाँ,$h^2 - ab = p^2 - (2p-3)(-1) = p^2 + 2p - 3$ है।
हमें $p^2 + 2p - 3 > 0$ की आवश्यकता है।
गुणनखंड करने पर: $(p+3)(p-1) > 0$।
यह असमिका $p < -3$ या $p > 1$ के लिए सत्य है।
अतः,रेखाएँ $p \in R - [-3, 1]$ के लिए भिन्न हैं।

(C) माना कि दी गई रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल छोटे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का $5$ गुना है।
माना $A_1$ छोटे त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है और $A_2$ बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
$A_2 = 5 A_1 \Rightarrow \frac{1}{2}(\pi - \theta) r^2 = 5 \times \left(\frac{1}{2} \theta r^2\right)$
$\Rightarrow \pi - \theta = 5 \theta$ $\Rightarrow 6 \theta = \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$
रेखाओं के युग्म $a x^2 + 2h x y + b y^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = l$,$h = l+m$,और $b = m$ है।
$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{2 \sqrt{(l+m)^2 - lm}}{l+m} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{4((l+m)^2 - lm)}{(l+m)^2}$
$(l+m)^2 = 12(l+m)^2 - 12 lm$
$11(l+m)^2 = 12 lm$
$\frac{lm}{(l+m)^2} = \frac{11}{12}$
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ है। $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$b = 6$ और $xy$ का गुणांक $2h$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। तब $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{6} = -\frac{h}{3}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{6}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ दिया गया है,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{1}{7}$ है।
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ का उपयोग करने पर,$(m_1 - m_2)^2 = \frac{h^2}{9} - \frac{2}{3} = \frac{h^2 - 6}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः $|m_1 - m_2| = \frac{\sqrt{h^2 - 6}}{3}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{h^2 - 6}}{3}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{1}{7} \implies \frac{2\sqrt{h^2 - 6}}{7} = \frac{1}{7}$ है।
इससे $2\sqrt{h^2 - 6} = 1 \implies 4h^2 - 24 = 1 \implies h^2 = \frac{25}{4} \implies h = \pm \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि ढाल धनात्मक है,$m_1 + m_2 = -\frac{h}{3} > 0$,इसलिए $h$ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$h = -\frac{5}{2}$।

(C) दिया गया समीकरण $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = (x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha + y^2(\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$.
यह सरल होकर $-x^2 \cos 2\alpha + xy \sin 2\alpha = 0$ हो जाता है।
रेखाओं के एक युग्म $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के लंबवत होने के लिए शर्त $A + B = 0$ है।
यहाँ,$A = -\cos 2\alpha$ और $B = 0$ है।
अतः,$-\cos 2\alpha + 0 = 0$,जिसका अर्थ है $\cos 2\alpha = 0$.
चूंकि $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 0$,इसलिए $\sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$.
तब $\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.
अंत में,$\sin^2 \alpha + \tan^2 \alpha = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के एक-दूसरे के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $A + B = 0$।
दिए गए समीकरण $3ax^2 + 5xy + (a^2 - 2)y^2 = 0$ में,$A = 3a$ और $B = a^2 - 2$ है।
$A + B = 0$ रखने पर,हमें $3a + a^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $a^2 + 3a - 2 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकर $D = 17 > 0$ है,इसलिए $a$ के दो अलग-अलग वास्तविक मान हैं।
अतः,$a$ के मानों की संख्या $2$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $2x^2 + 3xy + ky^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$k(\frac{y}{x})^2 + 3(\frac{y}{x}) + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं का ढाल है। अतः $km^2 + 3m + 2 = 0$।
दिया गया है कि एक ढाल $m_1 = 2$ है,अतः $k(2)^2 + 3(2) + 2 = 0 \implies 4k + 8 = 0 \implies k = -2$।
समीकरण $2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$ हो जाता है।
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = -2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a + b = 2 - 2 = 0$ है,इसलिए रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) माना कि दी गई रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ है। $\alpha$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}r^2\alpha$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल छोटे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का $5$ गुना है:
$\frac{1}{2}r^2(\pi-\theta) = 5 \times \frac{1}{2}r^2\theta$
$\pi-\theta = 5\theta$
$6\theta = \pi \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$ को संतुष्ट करता है।
$\theta = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$.

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ समांतर रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि $h^2=ab$ और $bg^2=af^2$ हो।
शर्त $bg^2=af^2$ से,हम लिख सकते हैं $\frac{g^2}{f^2}=\frac{a}{b}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{g^2-ac}{f^2-bc} = \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{\frac{g^2-ac}{f^2-bc}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+4xy+2y^2=0$ है। इसे $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,$A=a$,$H=2$,और $B=2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
$1 = \left| \frac{2\sqrt{4-2a}}{a+2} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \frac{4(4-2a)}{(a+2)^2}$ प्राप्त होता है।
$(a+2)^2 = 16-8a \Rightarrow a^2+4a+4 = 16-8a$.
$a^2+12a-12 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a = \frac{-12 \pm \sqrt{144+48}}{2} = -6 \pm 4\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $3ax^2 - 16xy - (a^2 - 10)y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = 3a$,$H = -8$,और $B = -(a^2 - 10)$ प्राप्त होता है।
समानांतर रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $H^2 = AB$ है।
मान रखने पर: $(-8)^2 = 3a(-(a^2 - 10))$ $\Rightarrow 64 = -3a^3 + 30a$ $\Rightarrow 3a^3 - 30a + 64 = 0$।
लंबवत रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $A + B = 0$ है।
मान रखने पर: $3a - (a^2 - 10) = 0 \Rightarrow a^2 - 3a - 10 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(a - 5)(a + 2) = 0$,जिससे $a = 5$ या $a = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $H \equiv ax^2 - xy + by^2 = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(1, -1)$ $H = 0$ पर स्थित है,हम समीकरण में $x = 1$ और $y = -1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$a(1)^2 - (1)(-1) + b(-1)^2 = 0$
$a + 1 + b = 0 \Rightarrow a + b = -1$
$ax^2 - xy + by^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $2h = -1$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = -\frac{1}{2}$।
रेखाओं के युग्म के बीच न्यून कोण $\theta$ के लिए सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
दिया गया है $\tan \theta = 5$,इसलिए:
$5 = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 - ab}}{-1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} - ab}}{-1} \right| = 2\sqrt{\frac{1}{4} - ab}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 4(\frac{1}{4} - ab)$ $\Rightarrow 25 = 1 - 4ab$ $\Rightarrow 4ab = -24$ $\Rightarrow ab = -6$।
अब,हमें $a^2 + ab + b^2$ ज्ञात करना है।
$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = (-1)^2 - (-6) = 1 + 6 = 7$।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2-4xy-2y^2=0$ है। इसे $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,$A=a$,$2H=-4 \Rightarrow H=-2$,और $B=-2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2 - a(-2)}}{a-2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4+2a}}{a-2} \right|$.
दिया गया है $\cos \theta = \frac{1}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{24}/5}{1/5} = \sqrt{24}$.
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2\sqrt{4+2a}}{|a-2|} = \sqrt{24}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4(4+2a)}{(a-2)^2} = 24 \Rightarrow \frac{4+2a}{(a-2)^2} = 6$.
$4+2a = 6(a^2-4a+4) \Rightarrow 4+2a = 6a^2-24a+24$.
$6a^2-26a+20 = 0 \Rightarrow 3a^2-13a+10 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(3a-10)(a-1) = 0$.
अतः,$a_1=1$ और $a_2=\frac{10}{3}$.
अंत में,$a_1+3a_2 = 1 + 3(\frac{10}{3}) = 1+10 = 11$.

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $5x^2 + \frac{40}{3}xy + ky^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$2h = \frac{40}{3} \Rightarrow h = \frac{20}{3}$,और $b = k$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{40}{3k}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{5}{k}$।
$m_1 = 3$ दिया गया है,इसलिए $3 + m_2 = -\frac{40}{3k}$ और $3m_2 = \frac{5}{k} \Rightarrow m_2 = \frac{5}{3k}$।
योग के समीकरण में $m_2$ का मान रखने पर: $3 + \frac{5}{3k} = -\frac{40}{3k}$।
$3k$ से गुणा करने पर: $9k + 5 = -40$ $\Rightarrow 9k = -45$ $\Rightarrow k = -5$।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a + b = 5 + (-5) = 0$ है।
चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $A + B = 0$ है।
यहाँ,$A = \alpha^2 + 12|\alpha|$ और $B = 18 - 21|\alpha|$ है।
$A + B = 0$ रखने पर,हमें $\alpha^2 + 12|\alpha| + 18 - 21|\alpha| = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $\alpha^2 - 9|\alpha| + 18 = 0$ में सरल हो जाता है।
माना $|\alpha| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है। तब $t^2 - 9t + 18 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(t - 3)(t - 6) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = 3$ या $t = 6$।
$|\alpha| = 3$ होने पर,$\alpha = 3$ या $\alpha = -3$।
$|\alpha| = 6$ होने पर,$\alpha = 6$ या $\alpha = -6$।
इस प्रकार,$\alpha$ के कुल $4$ वास्तविक मान संभव हैं।

(D) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = 12$,$b = 7$,और $\tan \theta = \frac{8}{19}$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{8}{19} = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - 12 \times 7}}{12 + 7} \right|$.
$\frac{8}{19} = \frac{2\sqrt{h^2 - 84}}{19}$.
$8 = 2\sqrt{h^2 - 84}$.
$4 = \sqrt{h^2 - 84}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16 = h^2 - 84$.
$h^2 = 100$.
$h = \pm 10$.

(B) दी गई रेखाओं के युग्म $xy-x-y+1=0$ को $(x-1)(y-1)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दो रेखाओं $x=1$ और $y=1$ को दर्शाता है।
चूंकि ये रेखाएं $x+ay-3=0$ के साथ संगामी हैं,इसलिए इनका प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,1)$ समीकरण $x+ay-3=0$ को संतुष्ट करेगा।
$(1,1)$ को $x+ay-3=0$ में रखने पर,$1+a(1)-3=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=2$।
$a=2$ को रेखाओं के दूसरे युग्म में रखने पर,$2x^2-13xy-7y^2+x+23y-6=0$ प्राप्त होता है।
सामान्य समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ के लिए,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A=2, 2H=-13, B=-7$ है।
अतः,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(-13/2)^2 - (2)(-7)}}{2-7}\right| = \left|\frac{2\sqrt{169/4 + 14}}{-5}\right| = \left|\frac{2\sqrt{225/4}}{-5}\right| = \left|\frac{2(15/2)}{-5}\right| = |-3| = 3$।
चूंकि $\tan \theta = 3$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$।

(A) दिए गए समीकरण $x^2-5xy+py^2+3x-8y+2=0$ की तुलना सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, h=-\frac{5}{2}, b=p, g=\frac{3}{2}, f=-4, c=2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है यदि $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ हो।
मान रखने पर: $1(p)(2) + 2(-4)(\frac{3}{2})(-\frac{5}{2}) - 1(-4)^2 - p(\frac{3}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2})^2 = 0$.
$2p + 30 - 16 - \frac{9p}{4} - \frac{25}{2} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर: $8p + 120 - 64 - 9p - 50 = 0$ $\Rightarrow -p + 6 = 0$ $\Rightarrow p=6$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{5}{2})^2 - 1(6)}}{1+6} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}-6}}{7} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{7} \right| = \frac{2(\frac{1}{2})}{7} = \frac{1}{7}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{7}$,हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसकी सम्मुख भुजा $1$ और आसन्न भुजा $7$ है। कर्ण $\sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{50}$ है।
अतः,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$.

(D) द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के समांतर रेखाओं का युग्म होने के लिए $h^2=ab$ और $af^2=bg^2$ होना आवश्यक है।
यहाँ $a=4, h=6, b=9$ है।
$h^2=ab$ शर्त संतुष्ट होती है $(36=36)$।
$af^2=bg^2$ से $4f^2=9g^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f/g = 3/2$।
अतः,$\frac{f}{g} + \frac{g}{f} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6}$।

(C) द्विघात समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ में,यदि रेखाएँ परस्पर लंब हैं तो $A + B = 0$ होता है।
यहाँ $A = a^2-3$ और $B = -2a$ है।
अतः,$(a^2-3) + (-2a) = 0 \implies a^2 - 2a - 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(a-3)(a+1) = 0$,अर्थात $a = 3$ या $a = -1$।
निश्चायक $\Delta = 0$ की शर्त की जाँच करने पर,$a = 3$ के लिए समीकरण रेखाओं का युग्म निरूपित करता है,जबकि $a = -1$ के लिए यह संभव नहीं है।
अतः,सही उत्तर $a = 3$ है।

(A) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3y^2 - 8xy - 3x^2 - 29x + 3y - 18 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $-3x^2 - 8xy + 3y^2 - 29x + 3y - 18 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल रेखाओं के युग्म के सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = -3$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $a + b = -3 + 3 = 0$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,सरल रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 4xy - 2y^2 = 0$ है। इसे $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = a$,$H = 2$,और $B = -2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$.
दिया गया है $\tan \theta = 2\sqrt{10}$,इसलिए $2\sqrt{10} = \left| \frac{2\sqrt{4 + 2a}}{a - 2} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $10 = \frac{4 + 2a}{a^2 - 4a + 4} \implies 5a^2 - 21a + 18 = 0$.
चूंकि $a \in \mathbb{Z}$,इसलिए $a = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं का समीकरण $3x^2 + 4xy - 2y^2 = 0$ है। प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$ है।