Angle between the pair of straight lines, Condition for parallel and perpendicular lines Questions in Hindi

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $x^2 - 3xy + \lambda y^2 + 3x - 5y + 2 = 0$ की तुलना करने पर,$a=1, b=\lambda, c=2, h=-\frac{3}{2}, g=\frac{3}{2}, f=-\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(1)(\lambda)(2) + 2(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2})(-\frac{3}{2}) - (1)(-\frac{5}{2})^2 - (\lambda)(\frac{3}{2})^2 - (2)(-\frac{3}{2})^2 = 0$
$2\lambda + \frac{45}{4} - \frac{25}{4} - \frac{9\lambda}{4} - \frac{18}{4} = 0$
$-\frac{\lambda}{4} + \frac{2}{4} = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(2)}}{1+2} \right| = \frac{1}{3}$.
अतः,$\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + (3)^2 = 10$.

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+\lambda xy-y^2 \tan^2 \theta=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$h=\frac{\lambda}{2}$,और $b=-\tan^2 \theta$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\alpha$ सूत्र $\tan \alpha = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\alpha = 2\theta$ है,इसलिए $\tan 2\theta = \left|\frac{2\sqrt{(\frac{\lambda}{2})^2 - (1)(-\tan^2 \theta)}}{1-\tan^2 \theta}\right|$.
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \left|\frac{2\sqrt{\frac{\lambda^2}{4}+\tan^2 \theta}}{1-\tan^2 \theta}\right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4\tan^2 \theta}{(1-\tan^2 \theta)^2} = \frac{4(\frac{\lambda^2}{4}+\tan^2 \theta)}{(1-\tan^2 \theta)^2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\tan^2 \theta = \frac{\lambda^2}{4} + \tan^2 \theta$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda^2}{4} = 0$.
अतः,$\lambda = 0$।

(C) दिया गया समीकरण: $(x \cos \alpha + y \sin \alpha)^2 = (x^2 + y^2) \sin^2 \alpha$
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = x^2 \sin^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha$
दोनों पक्षों से $y^2 \sin^2 \alpha$ घटाने पर: $x^2 \cos^2 \alpha + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = x^2 \sin^2 \alpha$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = 0$
यह $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का एक समीकरण है,जहाँ $a = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$,$h = \sin \alpha \cos \alpha$,और $b = 0$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
मान रखने पर: $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 0 = 0$
$\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$
$\tan^2 \alpha = 1$
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-3xy+\lambda y^2+3x-5y+2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,और $b=\lambda$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\tan \theta = \frac{1}{3}$,अतः $\frac{1}{3} = \left|\frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(\lambda)}}{1+\lambda}\right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^2}$।
$(1+\lambda)^2 = 36(\frac{9}{4}-\lambda) = 81 - 36\lambda$।
$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 81 - 36\lambda$।
$\lambda^2 + 38\lambda - 80 = 0$।
$(\lambda+40)(\lambda-2) = 0$।
चूंकि $\lambda \geq 0$,इसलिए $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दो रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
$kx^2 - 4xy + y^2 = 0$ की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,$a = k$,$h = -2$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{2} = \left| \frac{2 \sqrt{(-2)^2 - k(1)}}{k + 1} \right|$.
$\frac{1}{4} = \frac{4(4 - k)}{(k + 1)^2} \Rightarrow (k + 1)^2 = 16(4 - k)$.
$k^2 + 2k + 1 = 64 - 16k \Rightarrow k^2 + 18k - 63 = 0$.
$(k + 21)(k - 3) = 0$.
अतः,$k = 3$ प्राप्त होता है।

(C) $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म के बीच के न्यून कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ है।
दिया गया है कि $\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
अतः,$1 = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $1 = \frac{4(h^2-ab)}{(a+b)^2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $(a+b)^2 = 4h^2 - 4ab$.
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर,$a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 - 4ab$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4h^2 = a^2 + 6ab + b^2$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाओं का समीकरण: $mx^2+2hxy+ny^2=0$.
दी गई शर्त: $(m+3n)(3m+n)=4h^2$.
शर्त का विस्तार करने पर: $3m^2+10mn+3n^2=4h^2$.
रेखाओं $ax^2+2hxy+by^2=0$ के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ है।
यहाँ $a=m$ और $b=n$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-mn}}{m+n}\right|$.
दी गई शर्त से,$h^2-mn = \frac{3(m+n)^2}{4}$.
अतः,$\sqrt{h^2-mn} = \frac{\sqrt{3}|m+n|}{2}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\tan \theta = \sqrt{3}$.
इस प्रकार,$\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.

(D) सरल रेखाओं के एक युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
दिए गए समीकरण $(k^2+2) x^2 + 3xy - 6y^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = (k^2+2)$ और $b = -6$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त $a + b = 0$ में रखने पर:
$(k^2+2) + (-6) = 0$
$k^2 - 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$.

(C) दिया गया समीकरण $(x^2+y^2) \sin \theta + 2xy = 0$ है,जिसे $(\sin \theta)x^2 + 2xy + (\sin \theta)y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = \sin \theta$,$h = 1$,और $b = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\alpha$ है। कोण के लिए सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1^2 - (\sin \theta)(\sin \theta)}}{\sin \theta + \sin \theta} \right|$।
$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{2 \sin \theta} \right| = \left| \frac{2\cos \theta}{2 \sin \theta} \right| = |\cot \theta|$।
चूंकि $\alpha$ न्यून कोण है,$\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$।

(B) $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म के बीच का न्यून कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^{2}-4xy+y^{2}=0$ की तुलना $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से करने पर,हमें $a=1$,$2h=-4$ (अर्थात $h=-2$),और $b=1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^{2}-(1)(1)}}{1+1} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{4-1}}{2} \right|$
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
चूंकि $\theta = \tan^{-1}(k)$,इसलिए $\tan^{-1}(k) = \tan^{-1}(\sqrt{3})$,जिसका अर्थ है कि $k = \sqrt{3}$।

(D) दिए गए समीकरण $3x^{2}-4\sqrt{3}xy+3y^{2}=0$ की तुलना सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=3, h=-2\sqrt{3}, b=3$.
हम जानते हैं कि रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}-(3)(3)}}{3+3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{12-9}}{6} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}}{6} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।

(D) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^{2}-3xy+\lambda y^{2}+3x-5y+2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,और $b=\lambda$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\tan \theta = \frac{1}{3}$,इसलिए $\frac{1}{3} = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-\lambda}}{1+\lambda} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^{2}} = \frac{9-4\lambda}{(1+\lambda)^{2}}$.
$(1+\lambda)^{2} = 9(9-4\lambda) = 81-36\lambda$.
$1+2\lambda+\lambda^{2} = 81-36\lambda$.
$\lambda^{2}+38\lambda-80=0$.
$(\lambda+40)(\lambda-2)=0$.
चूंकि $\lambda \geq 0$,इसलिए $\lambda=2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}+2xy \operatorname{cosec} \alpha+y^{2}=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=\operatorname{cosec} \alpha$,और $b=1$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।
रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\operatorname{cosec}^{2} \alpha - 1}}{1+1} \right|$।
चूंकि $\operatorname{cosec}^{2} \alpha - 1 = \cot^{2} \alpha$,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\cot^{2} \alpha}}{2} \right| = |\cot \alpha|$।
अतः,$\tan \theta = \cot \alpha = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$।

(D) दिया गया समीकरण $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta + x^{2}(\cos^{2} \theta - 1) = 0$ है।
चूंकि $\cos^{2} \theta - 1 = -\sin^{2} \theta$,समीकरण $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta - x^{2} \sin^{2} \theta = 0$ हो जाता है।
$\sin^{2} \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $y^{2} - xy - x^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग $a + b = -1 + 1 = 0$ है।
जब $a + b = 0$ होता है,तो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
यदि ये रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो शर्त $a + b = 0$ है।
दिए गए समीकरण $(1+\sin^2 \theta) x^2 + 2hxy + 2\sin \theta y^2 = 0$ के लिए,$a = 1+\sin^2 \theta$ और $b = 2\sin \theta$ है।
शर्त $a + b = 0$ लागू करने पर:
$(1+\sin^2 \theta) + 2\sin \theta = 0$
$(1+\sin \theta)^2 = 0$
$1+\sin \theta = 0$
$\sin \theta = -1$
$\theta \in [0, 2\pi]$ के लिए,$\sin \theta = -1$ को संतुष्ट करने वाला $\theta$ का मान $\theta = \frac{3\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}-xy-6y^{2}-7x+31y-18=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=-6$,और $2h=-1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h=-\frac{1}{2}$।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2} - (1)(-6)}}{1+(-6)} \right|$।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}+6}}{-5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}}}{-5} \right|$।
$\tan \theta = \left| \frac{2 \times \frac{5}{2}}{-5} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = |-1| = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(A) $a x^{2}+2 h x y+b y^{2}=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $\varphi$ के लिए $\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{h^{2}-a b}}{a+b} \right|$ होता है।
समीकरण $x^{2}+2 x y \sec \theta+y^{2}=0$ के लिए,$a=1$,$b=1$,और $h=\sec \theta$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{\sec^{2} \theta - 1}}{1+1} \right|$
$\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{\tan^{2} \theta}}{2} \right|$
$\tan \varphi = \tan \theta$.
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।

(C) सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^{2}+2Hxy+By^{2}+2Gx+2Fy+C=0$ होता है। \\ रेखाओं के युग्म के परस्पर लंब होने के लिए,$x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए। \\ अर्थात,$A+B=0$। \\ दिए गए समीकरण $12x^{2}+7xy+ay^{2}+13x-y+3=0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $A=12$ और $B=a$ प्राप्त होता है। \\ इन मानों को $A+B=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$12+a=0$ प्राप्त होता है। \\ अतः,$a=-12$।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का युग्म निरूपित करता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
तुलना करने पर $a=1, h=-3/2, b=\lambda, g=3/2, f=-5/2, c=2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $(1)(\lambda)(2) + 2(-5/2)(3/2)(-3/2) - (1)(-5/2)^2 - (\lambda)(3/2)^2 - (2)(-3/2)^2 = 0$.
$2\lambda + 45/4 - 25/4 - 9\lambda/4 - 9/2 = 0$.
$2\lambda - 9\lambda/4 + 5 - 4.5 = 0 \implies -\lambda/4 + 0.5 = 0 \implies \lambda = 2$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ होता है।
यहाँ $a=1, b=2, h=-3/2$ है।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{9/4 - 2}}{1+2} \right| = \frac{2\sqrt{1/4}}{3} = \frac{1}{3}$.
अतः $\cot \theta = 3$।
$\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + 3^2 = 10$।
इस प्रकार,$\frac{\operatorname{cosec}^2 \theta}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2-3xy+2y^2+3x-5y+2=0$ है।
इसे सीधी रेखाओं के युग्म के व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1$,$2h=-3 \implies h=-\frac{3}{2}$,$b=2$.
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(2)}}{1+2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{3} \right| = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{3}$,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $1$ और आसन्न भुजा $3$ है।
कर्ण $\sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$px^2 - qy^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = p$,$h = 0$,और $b = -q$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के भिन्न और वास्तविक होने के लिए शर्त $h^2 - ab > 0$ है।
मान रखने पर,हमें $0^2 - (p)(-q) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः $pq > 0$ होता है।

(A) दिए गए समीकरण की तुलना $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, h=-\frac{3}{2}, b=\lambda, g=\frac{3}{2}, f=-\frac{5}{2}, c=2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त: $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
मान रखने पर: $\begin{vmatrix} 1 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & \lambda & -\frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} & 2 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(8\lambda - 25) + 3(-12 + 15) + 3(15 - 6\lambda) = 0$.
$16\lambda - 50 + 9 + 45 - 18\lambda = 0$ $\Rightarrow -2\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ के लिए,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{1+2} \right| = \frac{1}{3}$.
अतः,$\cot \theta = 3$.
इसलिए,$\operatorname{cosec}^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta = 1 + 9 = 10$.

(A) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $(\cos^{2} \alpha - 1) x^{2} - 2 \cos^{2} \alpha \cdot xy + \sin^{2} \alpha y^{2} = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \cos^{2} \alpha - 1 = -\sin^{2} \alpha$,
$h = -\cos^{2} \alpha$,
$b = \sin^{2} \alpha$.
माना $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण है। कोण के लिए सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर:
$a + b = -\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha = 0$.
चूंकि हर $0$ है,इसलिए $\tan \theta$ का मान अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।
अतः,रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^{2}+2xy-y^{2}=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=1$,और $b=-1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ द्वारा निरूपित रेखाएं लंबवत होती हैं यदि $a+b=0$ हो।
यहाँ,$a+b = 1 + (-1) = 0$ है।
चूंकि $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $[x \cos \theta - y][(\cos \theta + \tan \alpha) x - (1 - \cos \theta \tan \alpha) y] = 0$ है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है:
$L_1: x \cos \theta - y = 0 \implies y = (\cos \theta) x$,अतः ढाल $m_1 = \cos \theta$.
$L_2: (\cos \theta + \tan \alpha) x - (1 - \cos \theta \tan \alpha) y = 0 \implies y = \frac{\cos \theta + \tan \alpha}{1 - \cos \theta \tan \alpha} x$,अतः ढाल $m_2 = \frac{\cos \theta + \tan \alpha}{1 - \cos \theta \tan \alpha}$.
दो रेखाओं के बीच का कोण $\phi$,$\tan \phi = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$m_1$ और $m_2$ के मान रखने पर:
$\tan \phi = \left| \frac{\frac{\cos \theta + \tan \alpha}{1 - \cos \theta \tan \alpha} - \cos \theta}{1 + \left( \frac{\cos \theta + \tan \alpha}{1 - \cos \theta \tan \alpha} \right) \cos \theta} \right| = \tan \alpha$.
अतः,$\phi = \alpha$.

(B) रेखाओं के युग्म का व्यापक समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है। दिए गए समीकरण से तुलना करने पर $A=9, H=a/2, B=4, G=3, F=b/2, C=-3$ प्राप्त होता है।
समांतर रेखाओं के लिए $H^2 = AB$,अतः $(a/2)^2 = 9 \times 4 = 36$,जिससे $a^2 = 144$ अर्थात $a = \pm 12$ प्राप्त होता है।
साथ ही,समांतर रेखाओं के लिए $af^2 = bg^2$ शर्त के अनुसार,$9(b/2)^2 = 4(3)^2$ $\Rightarrow 9(b^2/4) = 36$ $\Rightarrow b^2 = 16$ अर्थात $b = \pm 4$ प्राप्त होता है।
$a=12, b=4$ रखने पर समीकरण $(3x + 2y)^2 + 2(3x + 2y) - 3 = 0$ प्राप्त होता है,जो दो समांतर रेखाओं को निरूपित करता है।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण है:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = (x \cos \theta + y \sin \theta)^2$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
दोनों पक्षों से $x^2 \cos^2 \theta$ घटाने पर:
$y^2 \cos^2 \theta = y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
इसे $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के सामान्य रूप में व्यवस्थित करने पर:
$0x^2 + (2 \sin \theta \cos \theta)xy + (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)y^2 = 0$
रेखाओं के युग्म के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$A + B = 0$
$0 + (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) = 0$
$\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
$\tan^2 \theta = 1$
$\tan \theta = \pm 1$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\frac{3\pi}{4}$।

(C) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण: $4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2x - y)(2x - 11y) = 0$.
अतः,दोनों रेखाओं के समीकरण $y = 2x$ और $y = \frac{2}{11}x$ हैं।
इन रेखाओं द्वारा $X$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ के लिए $\tan \theta_1 = 2$ और $\tan \theta_2 = \frac{2}{11}$ है।
हमें $\tan |\theta_1 - \theta_2|$ ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{2 - \frac{2}{11}}{1 + 2 \times \frac{2}{11}} = \frac{\frac{20}{11}}{\frac{15}{11}} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.
अतः,निरपेक्ष मान $\frac{4}{3}$ है।

(A) $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ रेखाओं का युग्म मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इन रेखाओं द्वारा रेखा $a x+b y+c=0$ के साथ समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए,रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $60^\circ$ या $\frac{\pi}{3}$ रेडियन होना चाहिए।
$A x^2+2 H x y+B y^2=0$ रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,हमें $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3 = \frac{4(H^2-A B)}{(A+B)^2}$।
$3(A+B)^2 = 4(H^2-A B)$।
$3(A^2+2 A B+B^2) = 4 H^2-4 A B$।
$3 A^2+6 A B+3 B^2 = 4 H^2-4 A B$।
$3 A^2+10 A B+3 B^2 = 4 H^2$।
बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर: $3 A^2+9 A B+A B+3 B^2 = 4 H^2$।
$3 A(A+3 B)+B(A+3 B) = 4 H^2$।
$(A+3 B)(3 A+B) = 4 H^2$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 + 3xy + Ky^2 = 0$ है।
$Ky^2$ से विभाजित करने पर,हमें ढाल $m = \frac{y}{x}$ के रूप में द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$Km^2 + 3m + 2 = 0$.
चूंकि एक ढाल $m_1 = 2$ है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$K(2)^2 + 3(2) + 2 = 0$ $\Rightarrow 4K + 8 = 0$ $\Rightarrow K = -2$.
$K = -2$ को $Km^2 + 3m + 2 = 0$ में रखने पर:
$-2m^2 + 3m + 2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - 3m - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2m + 1)(m - 2) = 0$.
अतः,ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ हैं।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं और उनके बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(B) समीकरण $x^2+kxy+y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं के युग्म को दर्शाता है। मान लीजिए कि इन रेखाओं की ढलान $m_1$ और $m_2$ है। तीसरी रेखा का समीकरण $x+y=1$ है,जिसे $y=-x+1$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए इसकी ढलान $m_3=-1$ है।
चूंकि रेखाएँ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए किन्हीं दो रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
रेखा $y=mx$ और रेखा $x+y=1$ (ढलान $-1$) के बीच का कोण इस प्रकार है:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3 = \frac{(m+1)^2}{(1-m)^2}$
$3(1-2m+m^2) = m^2+2m+1$
$3-6m+3m^2 = m^2+2m+1$
$2m^2-8m+2 = 0$
$m^2-4m+1 = 0$
चूंकि $m = y/x$,हम इसे द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(y/x)^2 - 4(y/x) + 1 = 0$
$y^2 - 4xy + x^2 = 0$
इसे $x^2+kxy+y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k=-4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$k^2 = (-4)^2 = 16$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है,जहाँ $a=1$,$2h=4$ (अर्थात $h=2$),और $b=1$ है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,हमें $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right|$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(B) समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
अतः,$1 = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \frac{4(h^2-ab)}{(a+b)^2}$.
$(a+b)^2 = 4h^2 - 4ab$.
$a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 - 4ab$.
$4h^2 = a^2 + 6ab + b^2$.

(A) दिया गया समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $A = \cos \theta(\cos \theta + 1)$,$2H = -(2 \cos \theta + \sin^2 \theta)$,और $B = 1 - \cos \theta$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A + B = \cos^2 \theta + 1$ प्राप्त होता है।
गणना करने पर $H^2 - AB = \cos^2 \theta + \frac{\sin^4 \theta}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sqrt{4 \cos^2 \theta + \sin^4 \theta}}{\cos^2 \theta + 1} = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(B) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $6x^2 + 11xy - 10y^2 = 0$ की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 6$,$b = -10$,और $h = \frac{11}{2}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{11}{2})^2 - (6)(-10)}}{6 - 10} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{121}{4} + 60}}{-4} \right| = \frac{\sqrt{361}}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{361}}{4}\right)$.

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2+6xy+by^2-10x+10y-6=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ से तुलना करने पर,$A=a, H=3, B=b, G=-5, F=5, C=-6$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a+b=0$,जिसका अर्थ है $b=-a$।
साथ ही,व्यापक द्विघात समीकरण के रेखाओं के युग्म को दर्शाने की शर्त $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $a(b)(-6) + 2(5)(3)(-5) - a(5)^2 - b(-5)^2 - (-6)(3)^2 = 0$।
$-6ab - 150 - 25a - 25b + 54 = 0$।
$-6ab - 25(a+b) - 96 = 0$।
चूंकि $a+b=0$,हमें $-6a(-a) - 25(0) - 96 = 0$ प्राप्त होता है।
$6a^2 = 96 \Rightarrow a^2 = 16$।
अतः,$|a| = \sqrt{16} = 4$।

(A) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $x^2 + 2xy \sec \theta + y^2 = 0$ के लिए,$a = 1$,$h = \sec \theta$,और $b = 1$ है।
माना इन रेखाओं के बीच का कोण $\phi$ है।
तब $\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{(\sec \theta)^2 - (1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{2} \right|$.
चूंकि $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$,इसलिए $\tan \phi = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
अतः,$\phi = \theta$.

(C) दिया गया समीकरण $(\sin ^2 \alpha) y^2 - 2xy(\cos ^2 \alpha) + (\cos ^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a = \cos ^2 \alpha - 1 = -\sin ^2 \alpha$
$h = -\cos ^2 \alpha$
$b = \sin ^2 \alpha$
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
हर (denominator) की गणना करने पर: $a + b = -\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि हर $0$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,$\tan \theta = \infty$,जिसका अर्थ है $\theta = 90^{\circ}$।

(A) दिया गया समीकरण $ab(x^2 - y^2) + (a^2 - b^2)xy = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,हमें $abx^2 + (a^2 - b^2)xy - aby^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप का समीकरण है,जहाँ $A = ab$ और $B = -ab$ है।
रेखाओं के लंबवत होने की शर्त $A + B = 0$ है।
यहाँ,$A + B = ab - ab = 0$ है।
चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2-7xy+12y^2=0$ है। इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$2h=-7$,और $b=12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - 1 \cdot 12}}{1+12} \right| = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 12}}{13} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1/4}}{13} \right| = \frac{2 \cdot (1/2)}{13} = \frac{1}{13}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan \theta = \frac{1}{13}$,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $1$ और आसन्न भुजा $13$ है। कर्ण $\sqrt{1^2+13^2} = \sqrt{170}$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{170}}$।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + 4 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$2h = 5 \Rightarrow h = \frac{5}{2}$,और $b = 3$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4} - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{5} \right| = \left| \frac{2 \times \frac{1}{2}}{5} \right| = \frac{1}{5}$।
चूंकि कोण $\tan^{-1}(k)$ है,इसलिए $\tan \theta = k$ होगा।
अतः,$k = \pm \frac{1}{5}$।

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{y}{x}\right)^2 - 5\left(\frac{y}{x}\right) + 6 = 0$.
माना $m = \frac{y}{x}$,तो $m^2 - 5m + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(m - 3)(m - 2) = 0$.
अतः,रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1 = \tan \alpha = 3$ और $m_2 = \tan \beta = 2$ हैं।
दो कोणों के अंतर के लिए टेंजेंट का सूत्र उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$.
मान रखने पर:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{3 - 2}{1 + (3)(2)} = \frac{1}{1 + 6} = \frac{1}{7}$.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित सरल रेखाओं के युग्म के लंबवत होने की शर्त यह है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a + b = 0$।
विकल्प $A$ के लिए: $2 x^2 = y(x + 2 y)$
$\Rightarrow 2 x^2 - xy - 2 y^2 = 0$
यहाँ,$a = 2$ और $b = -2$ है।
गुणांकों का योग: $a + b = 2 + (-2) = 0$।
चूंकि शर्त $a + b = 0$ संतुष्ट होती है,इसलिए ये रेखाएं लंबवत हैं।

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
जब रेखाएँ लंबवत होती हैं,तो $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
चूँकि $\tan 90^{\circ}$ अपरिभाषित है,इसलिए हर (denominator) शून्य होना चाहिए।
अतः,$a + b = 0$।

(A) $ax^2+2hxy+by^2=0$ समीकरण द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का न्यून कोण $(\theta)$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$
यदि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,तो $\theta = 90^\circ$ होगा।
चूँकि $\tan 90^\circ$ अपरिभाषित है,इसलिए हर (denominator) शून्य होना चाहिए।
अतः,$a+b=0$।

(C) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+4xy+y^2=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$2h=4 \Rightarrow h=2$,और $b=1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।

(B) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण $3dx^2 - 5xy + (d^2 - 2)y^2 = 0$ है।
रेखाओं के युग्म $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के लिए,यदि रेखाएं लंबवत हैं तो $A + B = 0$ होता है।
यहाँ,$A = 3d$ और $B = d^2 - 2$ है।
अतः,$3d + d^2 - 2 = 0$ या $d^2 + 3d - 2 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$d = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$।
इस प्रकार,$d$ के $2$ संभावित मान प्राप्त होते हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।