General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(A) हमारे पास व्यंजक $(1+x^2)^5(1+x)^4$ है।
द्विपद विस्तार सूत्र $(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^k$ का उपयोग करते हुए:
$(1+x^2)^5 = 1 + 5x^2 + 10x^4 + 10x^6 + \dots$
$(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम दोनों विस्तारों के पदों का गुणा इस प्रकार करते हैं कि उनकी घातों का योग $5$ हो:
$(5x^2) \cdot (4x^3) + (10x^4) \cdot (4x) = 20x^5 + 40x^5 = 60x^5$
अतः,$x^5$ का गुणांक $60$ है।

(C) $\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^5$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = { }^5 C_r (x^2)^{5-r} (\frac{k}{x})^r$
$T_{r+1} = { }^5 C_r k^r x^{10-3r}$
$x$ के गुणांक के लिए,$x$ की घात को $1$ के बराबर रखने पर:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9 \Rightarrow r = 3$
$r = 3$ रखने पर,गुणांक:
गुणांक $= { }^5 C_3 k^3 = 10 k^3$
दिया गया है कि गुणांक $270$ है:
$10 k^3 = 270$
$k^3 = 27$
$k = 3$

(D) हमारे पास है,$\frac{(1-3 x)^2}{(1-2 x)} = (1 - 6x + 9x^2)(1 - 2x)^{-1}$.
द्विपद विस्तार $(1 - y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + \dots$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $(1 - 2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots$.
अतः,व्यंजक $(1 - 6x + 9x^2)(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots)$ है।
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम पदों का गुणा करते हैं:
$1 \times (16x^4) = 16x^4$
$-6x \times (8x^3) = -48x^4$
$9x^2 \times (4x^2) = 36x^4$
इन गुणांकों का योग: $16 - 48 + 36 = 4$.

(C) दिया गया विस्तार $(3x - 16y)^{15}$ है।
$x = \frac{2}{3}$ और $y = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$3x = 2$ और $16y = 24$ प्राप्त होता है।
अतः व्यंजक $(2 - 24)^{15} = 2^{15}(1 - 12)^{15}$ हो जाता है।
यहाँ $n = 15$ और $\alpha = -12$ है।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद $T_{r+1}$ के लिए शर्त $r \le \frac{(n+1)|\alpha|}{|\alpha|+1}$ है।
$r \le \frac{16 \times 12}{13} = 14.76$ प्राप्त होता है।
अतः $r = 14$ लेने पर,$15$ वां पद संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद है।

(C) $\left(2^{1/3} + 3^{-1/3}\right)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = { }^n C_r 2^{(n-r)/3} 3^{-r/3}$ है।
प्रारंभ से $7$ वां पद $T_7 = { }^n C_6 2^{(n-6)/3} 3^{-2}$ है।
अंत से $7$ वां पद,प्रारंभ से $(n-5)$ वां पद है,जो $T_{n-5} = { }^n C_6 2^2 3^{(6-n)/3}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{1}{6}$ है:
$\frac{{ }^n C_6 2^{(n-6)/3} 3^{-2}}{{ }^n C_6 2^2 3^{(6-n)/3}} = \frac{1}{6}$
$6^{(n-12)/3} = 6^{-1}$
$\frac{n-12}{3} = -1 \Rightarrow n = 9$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) $(1+3x-2x^2)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है।
दिया गया है $P(1) = (1+3(1)-2(1)^2)^n = 128$.
$(1+3-2)^n = 128$ $\Rightarrow 2^n = 2^7$ $\Rightarrow n=7$.
हमें योग $S = \sum_{r=1}^{2n} r \frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}}$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}} = \frac{2n-r+1}{r}$.
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \sum_{r=1}^{2n} r \left( \frac{2n-r+1}{r} \right) = \sum_{r=1}^{2n} (2n-r+1)$.
यह $2n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
$S = (2n) + (2n-1) + \ldots + 1 = \frac{(2n)(2n+1)}{2} = n(2n+1)$.
$n=7$ के लिए,$S = 7(2(7)+1) = 7 \times 15 = 105$.

(A) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांक $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ होता है।
अतः,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ होता है।
यहाँ $n=8$ दिया गया है,इसलिए $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{9-r}{r}$ होगा।
अब,योग $S = \sum_{r=1}^8 r^3 \left( \frac{9-r}{r} \right) = \sum_{r=1}^8 (9r^2 - r^3)$ है।
$n=8$ के लिए योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{r=1}^8 r^2 = 204$ और $\sum_{r=1}^8 r^3 = 1296$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = 9(204) - 1296 = 1836 - 1296 = 540$।

(D) माना तीन क्रमागत पद $T_{r+1}, T_{r+2}, T_{r+3}$ हैं। उनके गुणांक $^{23}C_r, ^{23}C_{r+1}, ^{23}C_{r+2}$ हैं।
चूंकि ये गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2 \cdot ^{23}C_{r+1} = ^{23}C_r + ^{23}C_{r+2}$ होगा।
हल करने पर,हमें $r=8$ या $r=13$ प्राप्त होता है।
अतः,पद $T_9, T_{10}, T_{11}$ या $T_{14}, T_{15}, T_{16}$ हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $T_{14}, T_{15}, T_{16}$ है।

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $r$-वें,$(r+1)$-वें और $(r+2)$-वें पदों के गुणांक क्रमशः $^nC_{r-1}$,$^nC_r$ और $^nC_{r+1}$ हैं।
यह दिया गया है कि,
$^nC_{r-1} : ^nC_r : ^nC_{r+1} = 2 : 4 : 5$.
पहले अनुपात से:
$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{r}{n-r+1} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2r = n-r+1$
$\Rightarrow n = 3r-1$ $(i)$
दूसरे अनुपात से:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{r+1}{n-r} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow 5r+5 = 4n-4r$
$\Rightarrow 4n = 9r+5$ (ii)
$n = 3r-1$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(3r-1) = 9r+5$
$12r-4 = 9r+5$
$3r = 9 \Rightarrow r = 3$.
$r=3$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$n = 3(3)-1 = 8$.
अतः,$(r, n) = (3, 8)$.

(D) $(a+bx)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} a^{n-k} (bx)^k$ होता है।
$(3+7x)^{29}$ के विस्तार के लिए,$r$ वां पद $T_r = {^{29}C_{r-1}} (3)^{29-(r-1)} (7x)^{r-1}$ है।
$r$ वें पद का गुणांक ${^{29}C_{r-1}} (3)^{30-r} (7)^{r-1}$ है।
$(r+1)$ वां पद $T_{r+1} = {^{29}C_r} (3)^{29-r} (7x)^r$ है।
$(r+1)$ वें पद का गुणांक ${^{29}C_r} (3)^{29-r} (7)^r$ है।
दिया गया है कि ये गुणांक समान हैं:
${^{29}C_{r-1}} (3)^{30-r} (7)^{r-1} = {^{29}C_r} (3)^{29-r} (7)^r$
दोनों पक्षों को ${^{29}C_{r-1}} (3)^{29-r} (7)^{r-1}$ से विभाजित करने पर:
$3 = {^{29}C_r} / {^{29}C_{r-1}} \times 7$
$3/7 = {^{29}C_r} / {^{29}C_{r-1}}$
गुणधर्म ${^nC_r} / {^nC_{r-1}} = (n-r+1)/r$ का उपयोग करने पर:
$3/7 = (29-r+1) / r$
$3/7 = (30-r) / r$
$3r = 7(30-r)$
$3r = 210 - 7r$
$10r = 210$
$r = 21$

(D) $n=15$ के लिए द्विपद गुणांक ${ }^{15} C_0, { }^{15} C_1, \dots, { }^{15} C_7, { }^{15} C_8, \dots, { }^{15} C_{15}$ हैं।
चूंकि $r$ का मान $0$ से $7$ तक बढ़ने पर ${ }^{15} C_r$ बढ़ता है और $8$ से $15$ तक बढ़ने पर घटता है,हम मानों का अवलोकन करते हैं।
विकल्प $D$ के लिए,अनुक्रम ${ }^{15} C_7, { }^{15} C_6, { }^{15} C_5$ है। चूंकि $7 > 6 > 5$ है और ये मान द्विपद गुणांक वितरण के घटते भाग में हैं,इसलिए यह अनुक्रम घटते क्रम में है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{n}C_k x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(2r+1)$-वें पद के लिए,$k = (2r+1)-1 = 2r$ है। गुणांक ${}^{43}C_{2r}$ है।
$(r+2)$-वें पद के लिए,$k = (r+2)-1 = r+1$ है। गुणांक ${}^{43}C_{r+1}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं:
${}^{43}C_{2r} = {}^{43}C_{r+1}$.
गुणधर्म ${}^{n}C_a = {}^{n}C_b$ का उपयोग करने पर,या तो $a = b$ या $a+b = n$ होता है।
स्थिति $1$: $2r = r+1 \Rightarrow r = 1$.
स्थिति $2$: $2r + (r+1) = 43$ $\Rightarrow 3r + 1 = 43$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
चूंकि विकल्पों में $14$ दिया गया है,इसलिए $r = 14$ सही उत्तर है।

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $p$ वां पद $T_p = { }^n C_{p-1} x^{p-1}$ है,इसलिए इसका गुणांक $p = { }^n C_{p-1}$ है।
$(p+1)$ वां पद $T_{p+1} = { }^n C_p x^p$ है,इसलिए इसका गुणांक $q = { }^n C_p$ है।
द्विपद गुणांकों का अनुपात $\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}} = \frac{n-p+1}{p}$ होता है।
अतः,$q = n-p+1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$p+q = p + n - p + 1 = n+1$।

(C) दिया गया है कि $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_r = {}^{15}C_r$ प्राप्त होता है।
हमें $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$।
इस मान को योगफल में रखने पर:
$\sum_{r=1}^{15} r \left( \frac{16-r}{r} \right) = \sum_{r=1}^{15} (16-r)$।
यह एक समांतर श्रेणी है: $(16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
$n=15$ के लिए,योग $\frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120$ है।

(B) $\left(x^{1/3} + \frac{1}{2}x^{-1/3}\right)^{21}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{21}C_r (x^{1/3})^{21-r} (\frac{1}{2}x^{-1/3})^r = {}^{21}C_r (\frac{1}{2})^r x^{\frac{21-2r}{3}}$ है।
$p$ के लिए,$x^{-3}$ का गुणांक:
$\frac{21-2r}{3} = -3$ $\Rightarrow 21-2r = -9$ $\Rightarrow 2r = 30$ $\Rightarrow r = 15$.
अतः,$p = {}^{21}C_{15} (\frac{1}{2})^{15}$.
$q$ के लिए,$x^{-5}$ का गुणांक:
$\frac{21-2r}{3} = -5$ $\Rightarrow 21-2r = -15$ $\Rightarrow 2r = 36$ $\Rightarrow r = 18$.
अतः,$q = {}^{21}C_{18} (\frac{1}{2})^{18}$.
अब,$\frac{5p}{4q} = \frac{5 \cdot {}^{21}C_{15} (\frac{1}{2})^{15}}{4 \cdot {}^{21}C_{18} (\frac{1}{2})^{18}} = \frac{5 \cdot {}^{21}C_6}{4 \cdot {}^{21}C_3} \cdot 8 = 408$.

(D) दिया गया है कि $(2+a)^{50}$ के विस्तार में $17^{\text{th}}$ और $18^{\text{th}}$ पद समान हैं।
$(x+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{n}C_{r} x^{n-r} y^{r}$ होता है।
$T_{17} = T_{18}$ के लिए:
$^{50}C_{16} (2)^{34} (a)^{16} = ^{50}C_{17} (2)^{33} (a)^{17}$
दोनों पक्षों को $^{50}C_{16} (2)^{33} (a)^{16}$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{^{50}C_{17}}{^{50}C_{16}} \times a$
गुणधर्म $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{50-17+1}{17} \times a = \frac{34}{17} \times a = 2a$
अतः,$a = 1$.
अब,हमें $(a+x)^{-2} = (1+x)^{-2}$ के विस्तार में $x^{35}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1+x)^{-n}$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक $(-1)^r (r+1)$ होता है।
$r=35$ के लिए,गुणांक $(-1)^{35} (35+1) = -36$ होगा।

(A) $\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right]^{3n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{3n}C_r (x)^{3n-r} \left(\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right)^r = {}^{3n}C_r (x)^{3n-3r} (\sin(1/n))^r$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $3n - 3r = 0$,जिसका अर्थ है $r = n$।
अतः,$a_n = {}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n$।
हमें $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि ${}^{3n}P_n = \frac{(3n)!}{(2n)!}$,इसलिए $\frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n} = \frac{{}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n \cdot n! \cdot (2n)!}{(3n)!} = (\sin(1/n))^n$।
जब $n \to \infty$,तब $\sin(1/n) \approx 1/n$।
अतः,$\lim_{n \to \infty} (\sin(1/n))^n = \lim_{n \to \infty} (1/n)^n = 0$।

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार के लिए,महत्तम गुणांक मध्य पद में होता है। चूँकि $n$ सम है,महत्तम गुणांक $T_{n/2+1}$ पद में होता है।
$(1+x)^n$ के विस्तार में महत्तम पद $T_{r+1}$ के लिए,शर्त $\frac{n-r+1}{r} x \ge 1$ और $\frac{n-r+1}{r+1} x \le 1$ है।
महत्तम पद का गुणांक महत्तम होने के लिए,हम $r = n/2$ रखते हैं।
असमानता $\frac{n-r+1}{r} x > 1$ और $\frac{n-r+1}{r+1} x < 1$ में $r = n/2$ रखने पर:
$\frac{n - n/2 + 1}{n/2} x > 1$ $\Rightarrow \frac{n/2 + 1}{n/2} x > 1$ $\Rightarrow \frac{n+2}{n} x > 1$ $\Rightarrow x > \frac{n}{n+2}$.
$\frac{n - n/2 + 1}{n/2 + 1} x < 1$ $\Rightarrow \frac{n/2 + 1}{n/2 + 1} x < 1$ $\Rightarrow x < \frac{n+2}{n}$.
अतः,शर्त $\frac{n}{n+2} < x < \frac{n+2}{n}$ है।

(A) $\left(a x^{2}+\frac{1}{b x}\right)^{13}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_{r} (a x^{2})^{13-r} (b^{-1} x^{-1})^{r} = {}^{13}C_{r} a^{13-r} b^{-r} x^{26-3r}$ है।
$x^{8}$ के गुणांक के लिए,$26-3r = 8$ रखें,जिससे $3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{13}C_{6} a^{7} b^{-6}$ है।
$\left(a x-\frac{1}{b x^{2}}\right)^{13}$ का सामान्य पद $T'_{r+1} = {}^{13}C_{r} (a x)^{13-r} (-b^{-1} x^{-2})^{r} = {}^{13}C_{r} a^{13-r} (-1)^{r} b^{-r} x^{13-3r}$ है।
$x^{-8}$ के गुणांक के लिए,$13-3r = -8$ रखें,जिससे $3r = 21$,अतः $r = 7$ प्राप्त होता है।
गुणांक $-{}^{13}C_{7} a^{6} b^{-7}$ है।
दोनों गुणांकों को बराबर करने पर:
${}^{13}C_{6} a^{7} b^{-6} = -{}^{13}C_{7} a^{6} b^{-7}$।
चूंकि ${}^{13}C_{6} = {}^{13}C_{7}$,इसलिए $a^{7} b^{-6} = -a^{6} b^{-7}$।
$a^{6} b^{-6}$ से भाग देने पर,$a = -b^{-1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ab = -1$,या $ab+1=0$।

(B) माना कि $n$ एक धनात्मक सम पूर्णांक है,इसलिए $n = 2m$ लें।
$(1+x)^{n}$ के विस्तार में,सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद है,जो $^nC_{n/2} = ^{2m}C_m$ है।
दूसरे सबसे बड़े गुणांक मध्य पद के आसन्न पद हैं,जो $^nC_{m-1}$ और $^nC_{m+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात $\frac{^nC_m}{^nC_{m-1}} = \frac{11}{10}$ है।
सूत्र $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2m-m+1}{m} = \frac{11}{10}$
$\frac{m+1}{m} = \frac{11}{10}$
$10(m+1) = 11m$
$10m + 10 = 11m$
$m = 10$.
अतः,$n = 2m = 2(10) = 20$.
$(1+x)^{n}$ के विस्तार में पदों की संख्या $n+1 = 20+1 = 21$ है।

(B) $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक $A = {}^{2n}C_{n}$ है।
$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक $B = {}^{2n-1}C_{n}$ है।
अब,अनुपात $A / B$ की गणना करते हैं:
$\frac{A}{B} = \frac{{}^{2n}C_{n}}{{}^{2n-1}C_{n}}$
सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n}{r} \times {}^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,
$\frac{A}{B} = \frac{\frac{(2n)!}{n!n!}}{\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}} = \frac{2n}{n} = 2$.

(B) $(a-2b)^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $t_{r+1} = {}^{n}C_{r} (a)^{n-r} (-2b)^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $5$ वें और $6$ वें पद का योग शून्य है,इसलिए $t_5 + t_6 = 0$ है।
इसका अर्थ है ${}^{n}C_4 (a)^{n-4} (-2b)^4 + {}^{n}C_5 (a)^{n-5} (-2b)^5 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,${}^{n}C_4 (a)^{n-4} (16b^4) = -{}^{n}C_5 (a)^{n-5} (-32b^5)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को ${}^{n}C_4 (a)^{n-5} (b^4)$ से विभाजित करने पर,$a = -\frac{{}^{n}C_5}{{}^{n}C_4} (-2b)$ प्राप्त होता है।
सूत्र ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर,$\frac{{}^{n}C_5}{{}^{n}C_4} = \frac{n-4}{5}$ होता है।
अतः,$a = -\frac{n-4}{5} (-2b) = \frac{2(n-4)}{5} b$ है।
इसलिए,$\frac{a}{b} = \frac{2(n-4)}{5}$ है।

(D) $(3+ax)^9$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {^9C_r} (3)^{9-r} (ax)^r = {^9C_r} (3)^{9-r} a^r x^r$ है।
$x^2$ के गुणांक के लिए,$r=2$ रखने पर:
$x^2$ का गुणांक $= {^9C_2} (3)^7 a^2$.
$x^3$ के गुणांक के लिए,$r=3$ रखने पर:
$x^3$ का गुणांक $= {^9C_3} (3)^6 a^3$.
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
${^9C_2} (3)^7 a^2 = {^9C_3} (3)^6 a^3$.
${^9C_2} = 36$ और ${^9C_3} = 84$ रखने पर:
$36 \times 3^7 \times a^2 = 84 \times 3^6 \times a^3$.
दोनों पक्षों को $3^6 a^2$ से विभाजित करने पर:
$36 \times 3 = 84 \times a$.
$108 = 84a$.
$a = \frac{108}{84} = \frac{9}{7}$.

(B) दी गई श्रेणी का सामान्य पद $T_{r} = r \frac{c_{r}}{c_{r-1}}$ है।
हम जानते हैं कि $c_{r} = {}^{15}C_{r} = \frac{15!}{r!(15-r)!}$ और $c_{r-1} = {}^{15}C_{r-1} = \frac{15!}{(r-1)!(16-r)!}$ है।
अतः,$\frac{c_{r}}{c_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$ है।
इसे सामान्य पद में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T_{r} = r \times \frac{16-r}{r} = 16-r$ प्राप्त होता है।
योग $S = \sum_{r=1}^{15} (16-r) = (16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$ है।
यह प्रथम $15$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है,जो $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ है।

(B) $(3^{\frac{1}{8}}+5^{\frac{1}{4}})^{84}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{84}C_{r} (3^{\frac{1}{8}})^{84-r} (5^{\frac{1}{4}})^{r} = {}^{84}C_{r} \cdot 3^{\frac{84-r}{8}} \cdot 5^{\frac{r}{4}}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$\frac{84-r}{8}$ एक पूर्णांक होना चाहिए और $\frac{r}{4}$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
$\frac{r}{4} = k$ लेने पर,$r = 4k$ प्राप्त होता है,जहाँ $0 \le r \le 84$ है।
$r = 4k$ को $\frac{84-4k}{8} = \frac{21-k}{2}$ में रखने पर,$21-k$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $k$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।
चूँकि $0 \le 4k \le 84$ है,इसलिए $0 \le k \le 21$ है।
$k$ के विषम मान $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$ हैं।
$k$ के $11$ मान हैं,इसलिए $11$ परिमेय पद हैं।
विस्तार में कुल पदों की संख्या $84+1 = 85$ है।
अतः,अपरिमेय पदों की संख्या $85 - 11 = 74$ है।

(D) $(3^{1/5} + 7^{1/3})^{100}$ का व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{100}C_{r} (3^{1/5})^{100-r} (7^{1/3})^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $7$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$\frac{100-r}{5}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए।
साथ ही,$\frac{r}{3}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$3$ का गुणज होना चाहिए।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(5, 3) = 15$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 100$,$r$ के संभावित मान $0, 15, 30, 45, 60, 75, 90$ हैं।
ऐसे $7$ मान हैं,इसलिए $7$ परिमेय पद हैं।
विस्तार में कुल पदों की संख्या $100 + 1 = 101$ है।
अपरिमेय पदों की संख्या = $\text{कुल पद} - \text{परिमेय पद} = 101 - 7 = 94$.

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$,सार्व अनुपात $r=(1+x)$,और पदों की संख्या $n=21$ है।
श्रेणी का योग $S = \frac{1((1+x)^{21}-1)}{(1+x)-1} = \frac{(1+x)^{21}-1}{x}$ है।
हमें $S = \frac{(1+x)^{21}-1}{x}$ में $x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $(1+x)^{21}-1$ के विस्तार में $x^{11}$ के गुणांक को ज्ञात करने के बराबर है।
$(1+x)^{21}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{21}C_{r} x^{r}$ है।
$r=11$ के लिए,पद ${}^{21}C_{11} x^{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1+x)^{21}$ में $x^{11}$ का गुणांक ${}^{21}C_{11}$ है।
इसलिए,दी गई श्रेणी में $x^{10}$ का गुणांक ${}^{21}C_{11}$ है।

(B) व्यंजक $P(x) = (x-1)(x-2) \ldots (x-18)$ दिया गया है।
यह $18$ घात का एक बहुपद है।
$(x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)$ के विस्तार में $x^{n-1}$ का गुणांक $-(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$ होता है।
यहाँ,$n = 18$ और पद $a_1=1, a_2=2, \ldots, a_{18}=18$ हैं।
$x^{17}$ का गुणांक $-(1 + 2 + 3 + \ldots + 18)$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_{18} = \frac{18 \times 19}{2} = 9 \times 19 = 171$.
अतः,गुणांक $-171$ है।

(D) विस्तार $(1+2x^2+x^4)(^nC_0 + ^nC_1x + ^nC_2x^2 + ^nC_3x^3 + \dots)$ है।
$x$ का गुणांक $^nC_1 = n$ है।
$x^2$ का गुणांक $2 + ^nC_2 = 2 + \frac{n(n-1)}{2}$ है।
$x^3$ का गुणांक $2(^nC_1) + ^nC_3 = 2n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ है।
चूंकि ये समांतर श्रेणी में हैं,$2 \times (x^2 \text{ का गुणांक}) = (x \text{ का गुणांक}) + (x^3 \text{ का गुणांक})$।
$2 \left[ 2 + \frac{n(n-1)}{2} \right] = n + 2n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$4 + n(n-1) = 3n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n^3 - 9n^2 + 26n - 24 = 0$.
$n$ के संभावित मान $2, 3, 4$ हैं।
अतः,$n$ के मानों का योग $2+3+4 = 9$ है।

(A) $(a + b)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18}$ के विस्तार के लिए,व्यापक पद $T_{r+1} = \binom{18}{r} (9x)^{18-r} \left(-\frac{1}{3}x^{-1/2}\right)^r$ है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $T_{r+1} = \binom{18}{r} 9^{18-r} (-1/3)^r x^{18-r-r/2}$ प्राप्त होता है।
पद के $x$ से स्वतंत्र होने के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए: $18 - \frac{3r}{2} = 0$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{3r}{2} = 18$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 12$।
अचर भाग में $r = 12$ प्रतिस्थापित करने पर: $\binom{18}{12} 9^{18-12} (-1/3)^{12} = \binom{18}{6} (3^2)^6 (1/3)^{12} = \binom{18}{6} (3^{12}) (1/3^{12}) = \binom{18}{6}$।
मान की गणना करने पर: $\binom{18}{6} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 18564$।
यह दिया गया है कि अचर पद $(221)k$ है,इसलिए $221k = 18564$।
अतः,$k = \frac{18564}{221} = 84$।

(D) द्विपद विस्तार $(1+\alpha x)^{26}$ के लिए,पदों की कुल संख्या $27$ है (जो विषम है),इसलिए मध्य पद $14$ वाँ पद $(T_{14})$ है।
$T_{14} = \binom{26}{13}(\alpha x)^{13}$,अतः गुणांक $\binom{26}{13}\alpha^{13}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-\alpha x)^{28}$ के लिए,पदों की कुल संख्या $29$ है (जो विषम है),इसलिए मध्य पद $15$ वाँ पद $(T_{15})$ है।
$T_{15} = \binom{28}{14}(-\alpha x)^{14} = \binom{28}{14}\alpha^{14}x^{14}$,अतः गुणांक $\binom{28}{14}\alpha^{14}$ है।
दोनों गुणांकों को बराबर करने पर:
$\binom{26}{13}\alpha^{13} = \binom{28}{14}\alpha^{14}$
चूँकि $\alpha \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $\alpha^{13}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\alpha = \frac{\binom{26}{13}}{\binom{28}{14}} = \frac{26!}{13!13!} \cdot \frac{14!14!}{28!}$
$\alpha = \frac{26!}{28!} \cdot \frac{14!}{13!} \cdot \frac{14!}{13!} = \frac{1}{28 \cdot 27} \cdot 14 \cdot 14$
$\alpha = \frac{196}{756} = \frac{7}{27}$.

(B) $(a+b)^n$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x^2 + x^{-1})^{10}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{10}{r} (2x^2)^{10-r} (x^{-1})^r$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-2r} x^{-r} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-3r}$ प्राप्त होता है।
$x^2$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के घातांक को $2$ के बराबर रखते हैं:
$20 - 3r = 2$
$3r = 18$
$r = 6$.
गुणांक के व्यंजक में $r = 6$ प्रतिस्थापित करने पर:
गुणांक $= \binom{10}{6} 2^{10-6} = \binom{10}{4} 2^4$.
मान की गणना करने पर: $\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
गुणांक $= 210 \times 16 = 3360$.

(B) $(x^{-3} - x^4)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{-3})^{n-r} (-x^4)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^{7r-3n}$ द्वारा दिया जाता है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,हम $7r_1 - 3n = 7$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $7(r_1 - 1) = 3n$। चूंकि $3$ और $7$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $n$ को $7$ का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए $n = 7k$।
$x^{14}$ के गुणांक के लिए,हम $7r_2 - 3n = 14$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $7(r_2 - 2) = 3n$।
गुणांकों का योग $\binom{n}{r_1} (-1)^{r_1} + \binom{n}{r_2} (-1)^{r_2} = 0$ है।
इसका अर्थ है $\binom{n}{r_1} (-1)^{r_1} = -\binom{n}{r_2} (-1)^{r_2}$,या विपरीत चिह्नों के साथ $\binom{n}{r_1} = \binom{n}{r_2}$।
दी गई संरचना के अनुसार,$n=11$ वह मान है जो इन विशिष्ट घातों के लिए द्विपद विस्तार के गुणों को संतुष्ट करता है।