द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1+2x)^{6}(1-x)^{7}$ के गुणनफल में $x^{5}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

$\left(1+\frac{x}{2}\right)^{12}$ के विस्तार में गुणांकों का योग है

मान लीजिए $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}$,$T_1=\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ और $T_2=\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$
$(B)$ $T_1 \cap (0, \frac{1}{2024}) = \phi$,जहाँ $\phi$ रिक्त समुच्चय को दर्शाता है
$(C)$ $T_2 \cap (2024, \infty) \neq \phi$
$(D)$ किसी भी दिए गए $a, b \in Z$ के लिए,$\cos(\pi(a+b \sqrt{2})) + i \sin(\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि $b=0$,जहाँ $i=\sqrt{-1}$

$(1+x)+2(1+x)^2+3(1+x)^3+ . . . +100(1+x)^{100}$ में $x^{48}$ का गुणांक क्या है?

$(1+x)(1+x^2)(1+x^3) \ldots (1+x^{100})$ के विस्तार में $x^9$ का गुणांक क्या है?

यदि $({\alpha ^2}{x^2} - 2\alpha x + 1)^{51}$ के विस्तार में गुणांकों का योग शून्य हो जाता है,तो $\alpha$ का मान है