Expansion of binomial theorem Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक $(1-x)^3(2+x)^6$ है। चूँकि $x$ बहुत छोटा है,हम $x^3$ और उच्च घातों को छोड़ देते हैं। \\ $(1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2$. \\ $(2+x)^6 = 2^6 + 6 \times 2^5 \times x + \frac{6 \times 5}{2} \times 2^4 \times x^2 = 64 + 192x + 240x^2$. \\ अब,दोनों विस्तारों का गुणा करने पर: \\ $(1-3x+3x^2)(64+192x+240x^2) = 64 + 192x + 240x^2 - 192x - 576x^2 + 192x^2$ ($x^3$ और उच्च घातों को छोड़ने पर)। \\ $= 64 + (192-192)x + (240-576+192)x^2 = 64 + 0x - 144x^2$. \\ $a+bx+cx^2$ से तुलना करने पर,$a=64, b=0, c=-144$ प्राप्त होता है। \\ अतः,$a+b+c = 64 + 0 - 144 = -80$.

(D) दी गई व्यंजक: $f(x) = \frac{(1+\frac{2x}{3})^{-4}(4+5x)^{1/2}}{(9+x)^{3/2}}$
$x^2$ और उच्च घातों को नगण्य मानते हुए, द्विपद सन्निकटन $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर:
$f(x) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{8x}{3}) (1 + \frac{5x}{8}) (1 - \frac{x}{6})$
$f(x) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{53x}{24})$
$x = \frac{6}{371}$ रखने पर:
$f(\frac{6}{371}) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{53}{1484}) = \frac{1}{14}$

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}$ है।
इसे $\frac{1}{(-1)^2(1-x)^2(-2)(1-\frac{x}{2})} = -\frac{1}{2}(1-x)^{-2}(1-\frac{x}{2})^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए:
$(1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots$
$(1-\frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
इन श्रेणियों का गुणा करने पर: $-\frac{1}{2}(1 + 2x + \dots)(1 + \frac{x}{2} + \dots) = -\frac{1}{2}(1 + \frac{5}{2}x + \dots)$ प्राप्त होता है।
अतः,अचर पद $-\frac{1}{2} \times 1 = -\frac{1}{2}$ है।

(C) माना $(2+\sqrt{3})^5 = I + f$,जहाँ $I$ एक पूर्णांक है और $0 < f < 1$ है।
व्यंजक $(2-\sqrt{3})^5 = f'$ पर विचार करें।
चूंकि $0 < 2-\sqrt{3} < 1$,इसलिए $0 < (2-\sqrt{3})^5 < 1$,अतः $0 < f' < 1$ है।
अब,योग $S = (2+\sqrt{3})^5 + (2-\sqrt{3})^5$ पर विचार करें।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$S = 2 \times [^5C_0 2^5 + ^5C_2 2^3 (\sqrt{3})^2 + ^5C_4 2^1 (\sqrt{3})^4]$।
$S = 2 \times [32 + 10 \times 8 \times 3 + 5 \times 2 \times 9] = 2 \times [32 + 240 + 90] = 2 \times 362 = 724$।
चूंकि $I + f + f' = 724$ और $0 < f + f' < 2$ है,इसलिए $f + f'$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
चूंकि $0 < f < 1$ और $0 < f' < 1$ है,इसलिए $f + f'$ का एकमात्र संभावित मान $1$ है।
अतः,$I + 1 = 724$,जिसका अर्थ है $I = 723$।

(D) दी गई व्यंजक $(1-x-x^2+x^3)^6$ है।
हम इसे $[(1-x)-x^2(1-x)]^6 = [(1-x^2)(1-x)]^6 = (1-x^2)^6(1-x)^6$ के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$ का उपयोग करते हुए:
$(1-x^2)^6 = 1 - 6x^2 + 15x^4 - \dots$
$(1-x)^6 = 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - \dots$
गुणनफल $(1 - 6x^2 + 15x^4)(1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4)$ में $x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,उन पदों को गुणा करें जो $x^4$ देते हैं:
$1 \times (15x^4) + (-6x^2) \times (15x^2) + (15x^4) \times (1) = 15 - 90 + 15 = -60$.
अतः,$x^4$ का गुणांक $-60$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{(1-5x)(1-4x)}$ है,जहाँ $|x| < \frac{1}{5}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(1-5x)^{-1} = 1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots$
$(1-4x)^{-1} = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots$
इन दोनों श्रेणियों का गुणा करने पर:
$(1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots)(1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots)$
$x^3$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$1 \cdot (64) + (5) \cdot (16) + (25) \cdot (4) + (125) \cdot 1$
$= 64 + 80 + 100 + 125$
$= 369$

(A) दिया गया है $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$।
द्विपद प्रसार $(1+y)^n = \sum_{k=0}^n {}^{n}C_k y^k$ का उपयोग करने पर,जहाँ $y = 2x+3x^2$ है।
$(1+2x+3x^2)^{10} = {}^{10}C_0 + {}^{10}C_1(2x+3x^2) + {}^{10}C_2(2x+3x^2)^2 + \ldots$
$= 1 + 10(2x+3x^2) + 45(4x^2+12x^3+9x^4) + \ldots$
$= 1 + 20x + 30x^2 + 180x^2 + \ldots$
$= 1 + 20x + 210x^2 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_1 = 20$ और $a_2 = 210$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a_2}{a_1} = \frac{210}{20} = 10.5$।

(D) हमारे पास है,$(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_{2n}x^{2n}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \ldots + 2na_{2n}x^{2n-1}$।
अब,$x=1$ रखने पर:
$n(1+1+1)^{n-1}(1+2(1)) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$।
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$।
अतः,$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n} = n \cdot 3^n$।

(C) किसी बहुपद के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दिया गया विस्तार $\left(1+\frac{x}{2}\right)^{12}$ है।
$x = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
गुणांकों का योग $= \left(1+\frac{1}{2}\right)^{12} = \left(\frac{3}{2}\right)^{12}$।

(B) माना $x = (2+\sqrt{3})^{49} + (\sqrt{3}-2)^{49}$.
चूंकि $(\sqrt{3}-2)^{49} = - (2-\sqrt{3})^{49}$,इसलिए $x = (2+\sqrt{3})^{49} - (2-\sqrt{3})^{49}$.
द्विपद विस्तार $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{k=0, k \text{ is odd}}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=49, x=2, y=\sqrt{3}$.
$x = 2 [ \binom{49}{1} 2^{48} (\sqrt{3})^1 + \binom{49}{3} 2^{46} (\sqrt{3})^3 + \dots + \binom{49}{49} (\sqrt{3})^{49} ]$.
विस्तार के प्रत्येक पद में $\sqrt{3}$ की विषम घात है,जो $\sqrt{3}$ का एक गुणज प्रदान करती है।
अतः,$x = 0 + b\sqrt{3}$,जहाँ $b \neq 0$ और $a = 0$.
इसलिए,सही विकल्प $b \neq 0, a=0$ है।

(C) दिया गया है,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
$\Rightarrow [(1+x)(1+x^2)]^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
$\Rightarrow (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
माना $f(x) = (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है।
हमें $\sum_{k=0}^7 a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14}$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{14} = \frac{f(1) + f(-1)}{2}$ होता है।
$f(1) = (1+1)^5 (1+1^2)^5 = 2^5 \times 2^5 = 2^{10} = 1024$
$f(-1) = (1-1)^5 (1+(-1)^2)^5 = 0^5 \times 2^5 = 0$
अतः,$\sum_{k=0}^7 a_{2k} = \frac{1024 + 0}{2} = 512$।

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दी गई व्यंजक $(1+x+x^2)^n$ है।
$x = 1$ रखने पर:
$(1 + 1 + 1^2)^n = (1 + 1 + 1)^n = 3^n$.
अतः,गुणांकों का योग $3^n$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{(1+\frac{2}{3}x)^{-3}(1-15x)^{-1/5}}{(2-3x)^4}$
$x^2$ और उच्च घातों को नगण्य मानते हुए,हम द्विपद सन्निकटन $(1+nx) \approx 1+nx$ का उपयोग करते हैं।
$E = \frac{1}{16} (1+\frac{2}{3}x)^{-3} (1-15x)^{-1/5} (1-\frac{3}{2}x)^{-4}$
सन्निकटन $(1+ax)^n \approx 1+nax$ लागू करने पर:
$(1+\frac{2}{3}x)^{-3} \approx 1-2x$
$(1-15x)^{-1/5} \approx 1+3x$
$(1-\frac{3}{2}x)^{-4} \approx 1+6x$
इनका गुणा करने पर:
$E \approx \frac{1}{16} (1-2x)(1+3x)(1+6x) = \frac{1}{16}(1+7x)$

(B) हमारे पास व्यंजक $f(x) = \frac{x}{(x-2)(x-3)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{3}{x-3} - \frac{2}{x-2} = (1 - \frac{x}{2})^{-1} - (1 - \frac{x}{3})^{-1}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(1 - \frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
$(1 - \frac{x}{3})^{-1} = 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \dots$
अतः,$x^2$ का गुणांक $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{5}{36}$ है।

(C) हमारे पास है,$\frac{x^4-12x^2+7}{(x^2+1)^3} = (x^4-12x^2+7)(1+x^2)^{-3}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^{-n} = 1 - nu + \frac{n(n+1)}{2!}u^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}u^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x^2$ और $n = 3$:
$(1+x^2)^{-3} = 1 - 3x^2 + 6x^4 - 10x^6 + \dots$
अब,$(x^4 - 12x^2 + 7)$ से गुणा करने पर:
$(x^4 - 12x^2 + 7)(1 - 3x^2 + 6x^4 - 10x^6 + \dots)$
$x^6$ वाले पद हैं:
$x^4 \times (-3x^2) = -3x^6$
$-12x^2 \times (6x^4) = -72x^6$
$7 \times (-10x^6) = -70x^6$
गुणांकों का योग: $-3 - 72 - 70 = -145$.

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^{-2}$ का श्रेणी विस्तार इस प्रकार है:
$(1+x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \ldots$
अतः,दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1-2x+3x^2-4x^3+\ldots)^{-n} = [(1+x)^{-2}]^{-n} = (1+x)^{2n}$
अब,द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1+x)^{2n}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = ^{(2n)}C_r x^r$
$x^6$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $r = 6$ रखते हैं:
$T_{6+1} = ^{(2n)}C_6 x^6$
अतः,$x^6$ का गुणांक $^{(2n)}C_6$ है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, \ldots, a_n$ समीकरण $x^n-2=0$ के $n$ भिन्न मूल हैं।
अतः,हम बहुपद को $x^n-2 = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)$ के रूप में लिख सकते हैं।
समीकरण में $x=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1^n - 2 = (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)$
$-1 = (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 + (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n) = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,यदि $\alpha_i$,$f(x)=0$ के मूल हैं,तो $f(\alpha_i)=0$ होगा। यदि हम $f(g(x))=0$ पर विचार करें,तो $g(x)$ को मूलों $\alpha_i$ में से एक के बराबर होना चाहिए। अतः,$x = g^{-1}(\alpha_i)$।
इसलिए,कारण $(R)$ सत्य है और $(A)$ की सही व्याख्या करता है।

(D) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = (1+x)^{2016}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$ और $n = 2017$ पद हैं।
योग $S = A \frac{1-r^n}{1-r} = (1+x)^{2016} \frac{1 - (\frac{x}{1+x})^{2017}}{1 - \frac{x}{1+x}} = (1+x)^{2016} \frac{\frac{(1+x)^{2017} - x^{2017}}{(1+x)^{2017}}}{\frac{1+x-x}{1+x}} = (1+x)^{2016} \frac{(1+x)^{2017} - x^{2017}}{(1+x)^{2017}} \cdot (1+x) = (1+x)^{2017} - x^{2017}$.
हमें दिया गया है $\sum_{i=0}^{2016} a_i x^i = (1+x)^{2017} - x^{2017}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1+x)^{2017}$ का विस्तार करने पर: $(1+x)^{2017} = \sum_{i=0}^{2017} {}^{2017}C_i x^i$.
अतः,$\sum_{i=0}^{2016} a_i x^i = \left( \sum_{i=0}^{2017} {}^{2017}C_i x^i \right) - x^{2017} = \sum_{i=0}^{2016} {}^{2017}C_i x^i$.
$x^{17}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $a_{17} = {}^{2017}C_{17} = \frac{2017!}{17! (2017-17)!} = \frac{2017!}{17! 2000!}$.

(C) हम $(0.999)^3$ को $(1 - 0.001)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k$.
$(1 - 0.001)^3$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$(1 - 0.001)^3 = \binom{3}{0}(1)^3 - \binom{3}{1}(1)^2(0.001) + \binom{3}{2}(1)(0.001)^2 - \binom{3}{3}(0.001)^3$
$= 1 - 3(0.001) + 3(0.000001) - 0.000000001$
$= 1 - 0.003 + 0.000003 - 0.000000001$
$= 0.997 + 0.000002999$
$= 0.997002999$
$3$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.997$ प्राप्त होता है।

(D) माना $S = \sum_{k=1}^{100} k(1+x)^k$. यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी $(AGP)$ है।
माना $r = (1+x)$. तब $S = r + 2r^2 + 3r^3 + . . . + 100r^{100}$.
$r$ से गुणा करने पर: $rS = r^2 + 2r^3 + . . . + 99r^{100} + 100r^{101}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1-r) = r + r^2 + r^3 + . . . + r^{100} - 100r^{101}$.
$S(-x) = \frac{r(r^{100}-1)}{r-1} - 100r^{101} = \frac{(1+x)((1+x)^{100}-1)}{x} - 100(1+x)^{101}$.
$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}-(1+x)}{x^2}$.
हमें $S$ में $x^{48}$ का गुणांक चाहिए।
$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}}{x^2} + \frac{1+x}{x^2}$.
$x^{48}$ पद $100(1+x)^{101}$ (गुणांक $100 \cdot ^{101}C_{48}$) और $-\frac{(1+x)^{101}}{x^2}$ (गुणांक $-^{101}C_{50}$) से प्राप्त होता है।
अतः,गुणांक $100 \cdot ^{101}C_{48} - ^{101}C_{50}$ है।