Divisibility problems Questions in Hindi

(A) दिया गया है $X = \{ 8^n - 7n - 1 : n \in N \}$ और $Y = \{ 49(n - 1) : n \in N \}$।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$8^n = (1 + 7)^n = 1 + ^nC_1(7) + ^nC_2(7^2) + ^nC_3(7^3) + \dots + ^nC_n(7^n)$।
अतः,$8^n - 7n - 1 = (1 + 7n + ^nC_2(7^2) + ^nC_3(7^3) + \dots + 7^n) - 7n - 1 = ^nC_2(7^2) + ^nC_3(7^3) + \dots + 7^n$।
यह $49 \times [^nC_2 + ^nC_3(7) + \dots + 7^{n-2}]$ के रूप में सरल होता है।
$n=1$ के लिए,$8^1 - 7(1) - 1 = 0$।
$n=2$ के लिए,$8^2 - 7(2) - 1 = 64 - 14 - 1 = 49$।
$n=3$ के लिए,$8^3 - 7(3) - 1 = 512 - 21 - 1 = 490 = 49 \times 10$।
इस प्रकार,$X$ का प्रत्येक अवयव $49$ का गुणज है ($0$ सहित)।
$Y = \{ 0, 49, 98, 147, \dots \}$ $49$ के सभी अऋणात्मक गुणजों को दर्शाता है।
अतः,$X \subseteq Y$।

(B) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $(1 + x)^n$ का विस्तार इस प्रकार करते हैं:
$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x^3 + \dots$
अब,विस्तार से $nx + 1$ घटाने पर:
$(1 + x)^n - nx - 1 = (1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}x^3 + \dots) - nx - 1$
व्यंजक को सरल करने पर:
$(1 + x)^n - nx - 1 = x^2 \left[ \frac{n(n - 1)}{2} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}x + \dots \right]$
चूंकि व्यंजक $x^2$ का एक गुणज है,इसलिए यह $x^2$ से विभाज्य है।

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $(1 + 100)^{100}$ का विस्तार करते हैं:
$(1 + 100)^{100} = 1 + \binom{100}{1}(100) + \binom{100}{2}(100)^2 + \binom{100}{3}(100)^3 + \dots$
$(1 + 100)^{100} = 1 + 100(100) + \frac{100 \times 99}{2}(100)^2 + \dots$
$(1 + 100)^{100} = 1 + 10000 + \frac{9900}{2}(10000) + \dots$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$101^{100} - 1 = 10000 + 4950(10000) + \dots$
$101^{100} - 1 = 10000(1 + 4950 + \dots)$
अतः,संख्या $101^{100} - 1$,$10000$ से विभाज्य है।

(A) किसी भी $n \in N$ के लिए,व्यंजक ${x^{2n - 1}} + {y^{2n - 1}}$ समान विषम घात वाले दो पदों का योग दर्शाता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार,यदि $k$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है,तो ${a^k} + {b^k}$,$a + b$ से विभाज्य होता है।
यहाँ,$k = 2n - 1$,जो किसी भी $n \in N$ के लिए हमेशा एक विषम पूर्णांक होता है।
इसलिए,${x^{2n - 1}} + {y^{2n - 1}}$ हमेशा $x + y$ से विभाज्य है।

(A) माना $f(n) = 7^{2n} + 2^{3n-3} \cdot 3^{n-1}$ है।
$n = 1$ के लिए,$f(1) = 7^{2(1)} + 2^{3(1)-3} \cdot 3^{1-1} = 7^2 + 2^0 \cdot 3^0 = 49 + 1 = 50$ है।
$n = 2$ के लिए,$f(2) = 7^{2(2)} + 2^{3(2)-3} \cdot 3^{2-1} = 7^4 + 2^3 \cdot 3^1 = 2401 + 8 \cdot 3 = 2401 + 24 = 2425$ है।
चूंकि $50$ और $2425$ दोनों $25$ से विभाज्य हैं,इसलिए यह व्यंजक हमेशा $25$ से विभाज्य है।

(C) माना $f(n) = 11^{n+2} + 12^{2n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$f(1) = 11^{1+2} + 12^{2(1)+1} = 11^3 + 12^3 = 1331 + 1728 = 3059$.
$3059$ को $133$ से विभाजित करने पर,हमें $3059 \div 133 = 23$ प्राप्त होता है।
चूंकि $3059$,$133$ से विभाज्य है,इसलिए यह व्यंजक $n=1$ के लिए $133$ से विभाज्य है।
$n=2$ के लिए,$f(2) = 11^4 + 12^5 = 14641 + 248832 = 263473$.
$263473$ को $133$ से विभाजित करने पर,हमें $263473 \div 133 = 1981$ प्राप्त होता है।
अतः,यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $133$ से विभाज्य है।

(B) व्यंजक $n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$ है।
यह तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है।
$k$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
इसलिए,$3$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ से विभाज्य है।

(C) माना $f(x) = x^n - nax^{n-1} + (n-1)a^n$.
$(x-a)^2$ से विभाज्यता की जाँच करने के लिए,हम देखते हैं कि क्या $f(a) = 0$ और $f'(a) = 0$ है।
$f(a) = a^n - na(a^{n-1}) + (n-1)a^n = 0$.
$f'(x) = nx^{n-1} - n(n-1)ax^{n-2}$.
$f'(a) = (2n - n^2)a^{n-1}$.
अतः,$n \ge 2$ के लिए यह व्यंजक $(x-a)^2$ से विभाज्य है।

(B) हमें $5^{99}$ को $13$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
फर्मा के लिटिल प्रमेय का उपयोग करते हुए,चूँकि $13$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(5, 13) = 1$,हमारे पास $5^{13-1} \equiv 1 \pmod{13}$ है,जिसका अर्थ है $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$।
हम $5^{99} = 5^{12 \times 8 + 3} = (5^{12})^8 \times 5^3$ लिख सकते हैं।
चूँकि $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$,तो $(5^{12})^8 \equiv 1^8 \equiv 1 \pmod{13}$ होगा।
अतः,$5^{99} \equiv 1 \times 5^3 \pmod{13}$।
$5^3 = 125$।
$125$ को $13$ से विभाजित करने पर: $125 = 13 \times 9 + 8$।
इसलिए,शेषफल $8$ है।

(C) हम जानते हैं कि $2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(2^2)^2 \equiv (-1)^2 \pmod{5}$,जिसका अर्थ है $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$।
हम $2^{301}$ को $2^{300} \times 2 = (2^4)^{75} \times 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$,इसलिए $(2^4)^{75} \equiv 1^{75} \equiv 1 \pmod{5}$।
अतः,$2^{301} \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{5}$।
न्यूनतम धनात्मक शेषफल $2$ है।

(C) माना $P(n) = {10^n} + 3 \times {4^{n + 2}} + 5$.
$n = 1$ के लिए,$P(1) = {10^1} + 3 \times {4^3} + 5 = 10 + 192 + 5 = 207$.
चूंकि $207 = 9 \times 23$,यह $9$ से विभाज्य है।
$n = 2$ के लिए,$P(2) = {10^2} + 3 \times {4^4} + 5 = 100 + 768 + 5 = 873$.
चूंकि $873 = 9 \times 97$,यह $9$ से विभाज्य है।
अतः,यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $9$ से विभाज्य है।

(A) माना $P(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$.
$n=1$ के लिए,$P(1) = 3^4 - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$,जो $16$ से विभाज्य है।
$n=2$ के लिए,$P(2) = 3^6 - 8(2) - 9 = 729 - 16 - 9 = 704$.
$704 = 16 \times 44$,अतः यह $16$ से विभाज्य है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए: $3^{2n+2} = 9 \times 3^{2n} = 9 \times (1+8)^n$.
$9 \times (1+8)^n = 9 \times [1 + n(8) + \frac{n(n-1)}{2}(8^2) + \dots]$.
$9 \times [1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots$.
अतः,$P(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9 = 64n + 288n(n-1) + \dots$.
चूंकि प्रत्येक पद $64$ से विभाज्य है,इसलिए यह व्यंजक $64$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप $16$ से भी विभाज्य है।

(D) हमें $17^{30}$ को $5$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $17 \equiv 2 \pmod{5}$ है।
इसलिए,$17^{30} \equiv 2^{30} \pmod{5}$ होगा।
फर्मा के छोटे प्रमेय (Fermat's Little Theorem) के अनुसार,चूंकि $5$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(2, 5) = 1$ है,इसलिए $2^{5-1} \equiv 1 \pmod{5}$,जिसका अर्थ है $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$।
अब,हम $2^{30} = (2^4)^7 \times 2^2$ लिख सकते हैं।
सर्वांगसमता (congruence) को प्रतिस्थापित करने पर,$2^{30} \equiv (1)^7 \times 2^2 \pmod{5}$।
$2^{30} \equiv 1 \times 4 \pmod{5}$।
$2^{30} \equiv 4 \pmod{5}$।
अतः,न्यूनतम शेषफल $4$ है।

(A) हमें $8^{2n} - 62^{2n+1}$ को $9$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $8 \equiv -1 \pmod{9}$ और $62 \equiv 8 \equiv -1 \pmod{9}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$8^{2n} - 62^{2n+1} \equiv (-1)^{2n} - (-1)^{2n+1} \pmod{9}$।
चूंकि $2n$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2n} = 1$।
चूंकि $2n+1$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2n+1} = -1$।
अतः,$1 - (-1) = 1 + 1 = 2$।
इस प्रकार,शेषफल $2$ है।

(D) कथन $-2$ के लिए: फर्मेट के लिटिल प्रमेय के अनुसार,किसी भी अभाज्य संख्या $p$ और पूर्णांक $n$ के लिए,$n^p \equiv n \pmod{p}$ होता है। यहाँ $p = 7$ है,इसलिए $n^7 \equiv n \pmod{7}$,जिसका अर्थ है कि $n^7 - n$,$7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-1$ के लिए: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(n + 1)^7$ का विस्तार करने पर: $(n + 1)^7 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1$ प्राप्त होता है।
अतः $(n + 1)^7 - n^7 - 1 = 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n = 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n)$।
यह व्यंजक स्पष्ट रूप से $7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
ध्यान दें कि कथन $-1$ को $(n+1)^7 - (n+1) - (n^7 - n) = 7k$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $(n+1)^7 - (n+1)$ और $n^7 - n$ दोनों $7$ से विभाज्य हैं (कथन $-2$ के अनुसार),इसलिए उनका अंतर भी $7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $P(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $P(a)$ होता है।
यहाँ,$P(x) = x^{64} + x^{27} + 1$ और भाजक $(x + 1)$ है,जो $(x - (-1))$ के बराबर है।
इसलिए,शेषफल $P(-1) = (-1)^{64} + (-1)^{27} + 1$ होगा।
चूंकि $64$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-1)^{64} = 1$।
चूंकि $27$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{27} = -1$।
अतः,शेषफल $1 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$ है।

(C) हम द्विपद विस्तार का उपयोग करते हैं: ${49^n} = {(1 + 48)^n}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,${49^n} = 1 + n(48) + \frac{n(n-1)}{2}(48^2) + \dots + 48^n$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
${49^n} + 16n - 1 = (1 + 48n + \frac{n(n-1)}{2}(2304) + \dots) + 16n - 1$.
$= 48n + 16n + \frac{n(n-1)}{2}(2304) + \dots$
$= 64n + 1152n(n-1) + \dots$
चूंकि $1152 = 64 \times 18$,विस्तार का प्रत्येक पद $64$ का गुणज है।
अतः,${49^n} + 16n - 1$,$64$ से विभाज्य है।

(B) माना पूर्णांक $x$ है।
व्यंजक $x - x^3 = x(1 - x^2) = x(1 - x)(1 + x) = (x - 1)(x)(x + 1)$ है।
यह तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
$n$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $n!$ से विभाज्य होता है।
अतः,$3$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ से विभाज्य है।

(D) हमें $(3^P + 2)$ का अंतिम अंक ज्ञात करना है जहाँ $P = 3^{4n}$ और $n \in N$ है।
$3$ की घातों का अंतिम अंक $4$ के चक्र में दोहराया जाता है: $3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27$ (अंतिम अंक $7$),$3^4 = 81$ (अंतिम अंक $1$)।
$P = 3^{4n} = (3^4)^n = 81^n$। $81^n$ का अंतिम अंक हमेशा $1$ होता है।
अतः,$3^P = 3^{81^n}$। $81^n$ संख्या $4k+1$ के रूप में है।
इसलिए $3^P = 3^{4k+1} = 3^{4k} \times 3^1$। $3^{4k}$ का अंतिम अंक $1$ है,इसलिए $3^P$ का अंतिम अंक $1 \times 3 = 3$ है।
इस प्रकार,$(3^P + 2)$ का अंतिम अंक $3 + 2 = 5$ है।

(C) हमें $(15^{23} + 23^{23})$ को $19$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $15 \equiv -4 \pmod{19}$ और $23 \equiv 4 \pmod{19}$ है।
इसलिए,$15^{23} + 23^{23} \equiv (-4)^{23} + 4^{23} \pmod{19}$ होगा।
चूंकि $23$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए $(-4)^{23} = -4^{23}$ होगा।
अतः,$15^{23} + 23^{23} \equiv -4^{23} + 4^{23} \equiv 0 \pmod{19}$।
अतः,शेषफल $0$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$a^n + b^n$,$(a + b)$ से विभाज्य होता है।
यहाँ,$n = 27$,जो एक विषम संख्या है।
इसलिए,$(11)^{27} + (21)^{27}$,$(11 + 21) = 32$ से विभाज्य है।
चूंकि $32$,$16$ का एक गुणज है (अर्थात $32 = 2 \times 16$),इसलिए $32$ से विभाज्य कोई भी संख्या $16$ से भी विभाज्य होगी।
अतः,$(11)^{27} + (21)^{27}$,$16$ से पूर्णतः विभाज्य है।
जब कोई संख्या भाजक से पूर्णतः विभाजित हो जाती है,तो शेषफल $0$ होता है।

(C) हमें $3^{2003}$ को $28$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $3^3 = 27 = 28 - 1$ है।
हम $3^{2003} = 3^2 \cdot 3^{2001} = 9 \cdot (3^3)^{667}$ लिख सकते हैं।
$3^3 = 28 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $9 \cdot (28 - 1)^{667}$ प्राप्त होता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(28 - 1)^{667} = \sum_{k=0}^{667} \binom{667}{k} (28)^{667-k} (-1)^k$ है।
यह व्यंजक $28n + (-1)^{667} = 28n - 1$ के रूप में है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,$3^{2003} = 9(28n - 1) = 28(9n) - 9$ है।
चूंकि शेषफल धनात्मक होना चाहिए,हम $-9$ को $28 - 37$ के रूप में लिख सकते हैं या $28(9n - 1) + 19$ के रूप में व्यवस्थित कर सकते हैं।
अतः,शेषफल $19$ है।

(A) हमें $(13)^{507}$ को $9$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
$(13)^{507} = (9 + 4)^{507}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(9 + 4)^{507} = \sum_{k=0}^{507} \binom{507}{k} 9^{507-k} 4^k$.
अंतिम पद (जहाँ $k=507$) को छोड़कर सभी पदों में $9$ का गुणनखंड है।
अतः,$(13)^{507} \equiv 4^{507} \pmod{9}$.
अब,$4^1 \equiv 4 \pmod{9}$,$4^2 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$,$4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$.
चूंकि $4^3 \equiv 1 \pmod{9}$,इसलिए $4^{507} = (4^3)^{169} \equiv (1)^{169} \equiv 1 \pmod{9}$.
अतः,शेषफल $1$ है।

(B) माना तीन क्रमागत विषम संख्याएँ $(2k-1)$,$(2k+1)$,और $(2k+3)$ हैं।
उनके वर्गों का योग $S = (2k-1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+3)^2$ है।
इन पदों का विस्तार करने पर: $S = (4k^2 - 4k + 1) + (4k^2 + 4k + 1) + (4k^2 + 12k + 9) = 12k^2 + 12k + 11$ प्राप्त होता है।
इस योग में $1$ जोड़ने पर,हमें $S + 1 = 12k^2 + 12k + 12 = 12(k^2 + k + 1)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k^2 + k = k(k+1)$ हमेशा एक सम संख्या होती है (क्योंकि यह दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है),माना $k(k+1) = 2m$ है।
अतः $S + 1 = 12(2m + 1) = 24m + 12$ है।
यह व्यंजक स्पष्ट रूप से $12$ से विभाज्य है,लेकिन $24$ से नहीं (क्योंकि $12$,$24$ से विभाज्य नहीं है)।
अतः,योग $12$ से विभाज्य है लेकिन $24$ से नहीं।

(C) $3^{37}$ को $80$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए:
$3^{37} = 3 \times (3^4)^9$ लिखा जा सकता है।
चूंकि $3^4 = 81$,इसलिए $3^{37} = 3 \times (81)^9$ होगा।
$81$ को $(80 + 1)$ के रूप में लिखने पर,$3^{37} = 3 \times (80 + 1)^9$ प्राप्त होता है।
द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का उपयोग करते हुए,$(80 + 1)^9 = 80k + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$3^{37} = 3(80k + 1) = 240k + 3$ होगा।
इस प्रकार,$240k + 3$ को $80$ से विभाजित करने पर शेषफल $3$ प्राप्त होता है।

(D) माना $n = 100$ है। व्यंजक $\sqrt {\frac{10^{2n}-1}{9} - 2\left( \frac{10^n-1}{9} \right)}$ है।
$= \sqrt {\frac{10^{2n}-1 - 2 \times 10^n + 2}{9}} = \sqrt {\frac{10^{2n} - 2 \times 10^n + 1}{9}}$.
$= \sqrt {\left( \frac{10^n-1}{3} \right)^2} = \frac{10^n-1}{3}$.
चूंकि $\frac{10^{100}-1}{9} = \underbrace{111...1}_{100\,\text{अंक}}$,इसलिए $\frac{10^{100}-1}{3} = 3 \times \underbrace{111...1}_{100\,\text{अंक}} = \underbrace{333...3}_{100\,\text{अंक}}$.

(D) $3^{91}$ को $80$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए:
चूंकि $3^4 = 81 = 80 + 1$,
$3^{91} = 3^3 \times (3^4)^{22} = 27 \times (80 + 1)^{22}$.
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(80 + 1)^{22} = 80m + 1$ होगा।
अतः,$3^{91} = 27(80m + 1) = 27 \times 80m + 27$.
इस प्रकार,$80$ से विभाजित करने पर शेषफल $27$ प्राप्त होता है।

(D) हमें $(27)^{999}$ को $7$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
हम $27$ को $(28 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(27)^{999} = (28 - 1)^{999}$।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$।
$(28 - 1)^{999} = \binom{999}{0} (28)^{999} (-1)^0 + \binom{999}{1} (28)^{998} (-1)^1 + \dots + \binom{999}{999} (28)^0 (-1)^{999}$।
अंतिम पद को छोड़कर प्रत्येक पद में $28$ का एक गुणनखंड है,जो $7$ से विभाज्य है।
$(27)^{999} = 7k + (-1)^{999}$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$(27)^{999} = 7k - 1$।
धनात्मक शेषफल प्राप्त करने के लिए,हम $7k - 1 = 7(k - 1) + 7 - 1 = 7(k - 1) + 6$ लिखते हैं।
अतः,शेषफल $6$ है।

(B) हमें $2^{403}$ को $15$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
हम लिख सकते हैं $2^{403} = 2^3 \times 2^{400} = 8 \times (2^4)^{100} = 8 \times (16)^{100}$.
चूंकि $16 = 15 + 1$,इसलिए $2^{403} = 8(15 + 1)^{100}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(15 + 1)^{100} = 1 + 100(15) + \binom{100}{2} 15^2 + \dots + 15^{100}$.
अतः,$2^{403} = 8 + 15 \times [8(100 + \binom{100}{2} 15 + \dots)]$.
इसलिए,$\frac{2^{403}}{15} = \frac{8}{15} + 8(100 + \binom{100}{2} 15 + \dots)$.
भिन्नात्मक भाग $\frac{8}{15}$ है,जो $\frac{k}{15}$ के रूप में दिया गया है।
अतः,$k = 8$.

दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,यदि हम ऐसी संख्याएँ $q$ और $r$ ज्ञात कर सकें कि $a = bq + r$ हो,तो हम कहते हैं कि $b$,$a$ को विभाजित करता है जहाँ $q$ भागफल है और $r$ शेषफल है। अतः,यह दर्शाने के लिए कि $6^{n} - 5n$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है,हम सिद्ध करेंगे कि $6^{n} - 5n = 25k + 1$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
हमारे पास द्विपद प्रसार है:
$(1 + a)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}a + {}^{n}C_{2}a^{2} + \dots + {}^{n}C_{n}a^{n}$
$a = 5$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1 + 5)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(5) + {}^{n}C_{2}(5^{2}) + \dots + {}^{n}C_{n}(5^{n})$
$6^{n} = 1 + 5n + 25({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(5) + \dots + 5^{n-2})$
$6^{n} - 5n = 1 + 25({}^{n}C_{2} + 5 \cdot {}^{n}C_{3} + \dots + 5^{n-2})$
माना $k = {}^{n}C_{2} + 5 \cdot {}^{n}C_{3} + \dots + 5^{n-2}$ है।
अतः $6^{n} - 5n = 25k + 1$ है।
यह दर्शाता है कि जब $6^{n} - 5n$ को $25$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

यह दर्शाने के लिए कि $9^{n+1}-8n-9$ संख्या $64$ से विभाज्य है,हमें यह सिद्ध करना होगा कि $9^{n+1}-8n-9 = 64k$,जहाँ $k$ एक प्राकृत संख्या है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार:
$(1+a)^{m} = \sum_{r=0}^{m} {^{m}C_{r}} a^{r} = {^{m}C_{0}} + {^{m}C_{1}}a + {^{m}C_{2}}a^{2} + \dots + {^{m}C_{m}}a^{m}$
$a=8$ और $m=n+1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1+8)^{n+1} = {^{n+1}C_{0}} + {^{n+1}C_{1}}(8) + {^{n+1}C_{2}}(8^{2}) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n+1})$
$9^{n+1} = 1 + (n+1)(8) + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} = 1 + 8n + 8 + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} = 9 + 8n + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} - 8n - 9 = 64k$,जहाँ $k = {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1})$ एक प्राकृत संख्या है।
अतः,$9^{n+1}-8n-9$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $64$ से विभाज्य है।

(C) हमें $(2021)^{3762}$ को $17$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$2021 = 2023 - 2$ लिखा जा सकता है,जहाँ $2023 = 17 \times 119$ है।
अतः,$(2021)^{3762} = (2023 - 2)^{3762} \equiv (-2)^{3762} \pmod{17}$.
$(-2)^{3762} = 2^{3762} = (2^4)^{940} \times 2^2 = 16^{940} \times 4$.
चूँकि $16 \equiv -1 \pmod{17}$,इसलिए $16^{940} \equiv (-1)^{940} \equiv 1 \pmod{17}$.
अतः,$2^{3762} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{17}$.
शेषफल $4$ है।

(A) दिया गया है कि जब $x$ को $4$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $3$ प्राप्त होता है,अतः हम $x = 4k + 3$ लिख सकते हैं।
हमें $(2020 + x)^{2022}$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$x = 4k + 3$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2020 + x)^{2022} = (2020 + 4k + 3)^{2022} = (2023 + 4k)^{2022}$.
चूंकि $2023 = 8 \times 252 + 7$,इसलिए $2023 \equiv 7 \equiv -1 \pmod{8}$ है।
अतः,$(2023 + 4k)^{2022} \equiv (-1 + 4k)^{2022} \pmod{8}$।
यदि $k$ सम है,तो $k = 2m$ लेने पर,$(-1 + 8m)^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$।
यदि $k$ विषम है,तो $k = 2m + 1$ लेने पर,$(-1 + 4(2m + 1))^{2022} = (3 + 8m)^{2022} \equiv 3^{2022} \pmod{8}$।
चूंकि $3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$,इसलिए $3^{2022} = (3^2)^{1011} \equiv 1^{1011} \equiv 1 \pmod{8}$।
दोनों स्थितियों में,शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$r=3$ और $n=2022$ पद हैं।
योग $S = \frac{1(3^{2022}-1)}{3-1} = \frac{3^{2022}-1}{2}$.
हम $3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011} = (10-1)^{1011}$ लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(10-1)^{1011} = 100k - 10111$.
अतः,$S = \frac{100k - 10111 - 1}{2} = 50k - 5056$.
$S = 50(k-102) + 4$.
अतः,शेषफल $4$ है।

(D) हमें $3^{2022}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
$3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011}$.
हम $9$ को $(10 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$9^{1011} = (10 - 1)^{1011}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(10 - 1)^{1011} = \sum_{k=0}^{1011} \binom{1011}{k} 10^{1011-k} (-1)^k$.
इसे $10 \cdot N - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $N$ एक पूर्णांक है।
$10 \cdot N - 1 = 10 \cdot N - 5 + 4 = 5(2N - 1) + 4$.
अतः,$3^{2022}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल $4$ है।

(C) हमें $(2021)^{2023}$ को $7$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$2021$ को $7$ से विभाजित करें: $2021 = 7 \times 288 + 5$।
अतः,$2021 \equiv 5 \pmod{7}$,जो $2021 \equiv -2 \pmod{7}$ के बराबर है।
इसलिए,$(2021)^{2023} \equiv (-2)^{2023} \pmod{7}$।
$(-2)^{2023} = - (2^{2023}) = - (2^3)^{674} \times 2^1$।
चूँकि $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$,इसलिए $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$।
अतः,$(2^3)^{674} \equiv 1^{674} \equiv 1 \pmod{7}$।
इसलिए,$(-2)^{2023} \equiv -(1 \times 2) \equiv -2 \pmod{7}$।
शेषफल को धनात्मक मान में व्यक्त करने के लिए,हम $7$ जोड़ते हैं: $-2 + 7 = 5$।
अतः,शेषफल $5$ है।

(D) हमें $(11)^{1011} + (1011)^{11}$ को $9$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $11 \equiv 2 \pmod{9}$ और $1011 = 9 \times 112 + 3$,इसलिए $1011 \equiv 3 \pmod{9}$ है।
अतः,$(11)^{1011} + (1011)^{11} \equiv 2^{1011} + 3^{11} \pmod{9}$ होगा।
$2^{1011} \pmod{9}$ के लिए:
$2^6 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$ है।
चूंकि $1011 = 6 \times 168 + 3$,इसलिए $2^{1011} = (2^6)^{168} \times 2^3 \equiv 1^{168} \times 8 \equiv 8 \pmod{9}$ होगा।
$3^{11} \pmod{9}$ के लिए:
$3^2 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$,इसलिए $3^{11} = 3^2 \times 3^9 = 9 \times 3^9 \equiv 0 \pmod{9}$ होगा।
अतः,$(11)^{1011} + (1011)^{11} \equiv 8 + 0 \equiv 8 \pmod{9}$ है।
शेषफल $8$ है।

(A) हमें $(2021)^{2022} + (2022)^{2021}$ को $7$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$2021 = 7 \times 288 + 5 \equiv -2 \pmod{7}$ और $2022 = 7 \times 288 + 6 \equiv -1 \pmod{7}$ है।
अतः,$(2021)^{2022} + (2022)^{2021} \equiv (-2)^{2022} + (-1)^{2021} \pmod{7}$ होगा।
चूँकि $2022$ सम है,$(-2)^{2022} = 2^{2022} = (2^3)^{674} = 8^{674} \equiv 1^{674} = 1 \pmod{7}$।
चूँकि $2021$ विषम है,$(-1)^{2021} = -1$ होगा।
इस प्रकार,$(2021)^{2022} + (2022)^{2021} \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{7}$।
अतः,शेषफल $0$ है।

(C) हमें $7^{2022} + 3^{2022}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $7 \equiv 2 \pmod{5}$ और $3 \equiv -2 \pmod{5}$ है।
अतः,$7^{2022} + 3^{2022} \equiv 2^{2022} + (-2)^{2022} \pmod{5}$.
चूंकि $2022$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-2)^{2022} = 2^{2022}$ होगा।
इस प्रकार,$7^{2022} + 3^{2022} \equiv 2^{2022} + 2^{2022} = 2 \times 2^{2022} = 2^{2023} \pmod{5}$.
हम जानते हैं कि $2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$ है।
इसलिए,$2^{2023} = 2^{4 \times 505 + 3} = (2^4)^{505} \times 2^3 \equiv 1^{505} \times 8 \equiv 8 \pmod{5}$.
अंत में,$8 \equiv 3 \pmod{5}$ है।
शेषफल $3$ है।

(D) दिया गया है कि $N_2 = 165 = 3 \times 5 \times 11$ और $N_1 = 2^{55} + 1$ है।
हम जानते हैं कि यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो $x^n + y^n$,$x + y$ से विभाज्य होता है।
चूंकि $55$ विषम है,$N_1 = 2^{55} + 1^{55}$,$2 + 1 = 3$ से विभाज्य है।
साथ ही,$N_1 = (2^5)^{11} + 1^{11} = 32^{11} + 1^{11}$,जो $32 + 1 = 33$ से विभाज्य है।
चूंकि $33 = 3 \times 11$,$N_1$,$3$ और $11$ दोनों से विभाज्य है।
$N_2 = 165 = 5 \times 33$ है।
अतः,$N_1$ और $N_2$ का $HCF$ $33$ है।

(B) हम $n$ को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल का विश्लेषण करते हैं। मान लीजिए $n \equiv r \pmod{3}$,जहाँ $r \in \{0, 1, 2\}$ है।
स्थिति $1$: यदि $n \equiv 0 \pmod{3}$ है,तो $n$ स्वयं $3$ का गुणज है। अतः,$n^{19}$ भी $3$ का गुणज होगा।
स्थिति $2$: यदि $n \equiv 1 \pmod{3}$ है,तो $n^{38} \equiv 1^{38} \equiv 1 \pmod{3}$ होगा। अतः,$n^{38} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है कि $n^{38} - 1$ का एक गुणज $3$ है।
स्थिति $3$: यदि $n \equiv 2 \pmod{3}$ है,तो $n^{38} \equiv 2^{38} \equiv (-1)^{38} \equiv 1 \pmod{3}$ होगा। अतः,$n^{38} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है कि $n^{38} - 1$ का एक गुणज $3$ है।
सभी स्थितियों में,$\{n^{19}, n^{38}-1\}$ समूह में कम से कम एक संख्या $3$ का गुणज है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$n^3 \equiv 0, 1, \text{ या } 8 \pmod{9}$,जो $n^3 \equiv 0, 1, -1 \pmod{9}$ के बराबर है।
कथन $I$: हमें यह जांचना है कि क्या $a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod{9}$ का अर्थ $abc \equiv 0 \pmod{3}$ है।
यदि $abc$,$3$ से विभाज्य नहीं है,तो $a, b, c \not\equiv 0 \pmod{3}$। अतः $a, b, c \equiv 1, 2 \pmod{3}$।
तब $a^3, b^3, c^3 \equiv 1, 8 \pmod{9}$ (क्योंकि $1^3=1$ और $2^3=8 \equiv -1 \pmod{9}$)।
$a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod{9}$ प्राप्त करने के लिए,हमें ${1, -1}$ से तीन मानों का योग $0 \pmod{9}$ चाहिए,जो असंभव है क्योंकि संभावित योग $\{3, 1, -1, -3\}$ हैं।
अतः,$a, b, c$ में से कम से कम एक $3$ का गुणज होना चाहिए,इसलिए $abc$,$3$ से विभाज्य है। कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: $a=1, b=2, c=1, d=2$ लें।
तो $a^3+b^3+c^3+d^3 = 1^3+2^3+1^3+2^3 = 1+8+1+8 = 18$,जो $9$ से विभाज्य है।
हालाँकि,$abcd = 1 \times 2 \times 1 \times 2 = 4$,जो $3$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,कथन $II$ असत्य है।

(A) हमें $(2023)^{2023}$ को $35$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$2023 = 35 \times 57 + 28$,इसलिए $2023 \equiv 28 \equiv -7 \pmod{35}$।
अतः,$(2023)^{2023} \equiv (-7)^{2023} \pmod{35}$।
हम $(-7)^{2023} = -7 \times 7^{2022} = -7 \times (7^2)^{1011} = -7 \times (49)^{1011}$ लिख सकते हैं।
चूंकि $49 \equiv 14 \pmod{35}$,इसलिए $7^{2022} = (49)^{1011} \equiv 14^{1011} \pmod{35}$।
चूंकि $14^1 \equiv 14$,$14^2 \equiv 21$,$14^3 \equiv 14 \pmod{35}$,विषम घातों के लिए $14^n \equiv 14 \pmod{35}$।
अतः,$7^{2022} \equiv 14 \pmod{35}$।
इसलिए,$(2023)^{2023} \equiv -7 \times 14 = -98 \pmod{35}$।
चूंकि $-98 = -3 \times 35 + 7$,इसलिए $-98 \equiv 7 \pmod{35}$।
शेषफल $7$ है।

(B) दिया गया है $x = 12^{50}$ और $y = 18^{50}$।
$(12^{50} + 18^{50})$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
$12^{50} = 144^{25} = (150 - 6)^{25} = 25M + (-6)^{25}$।
$18^{50} = 324^{25} = (325 - 1)^{25} = 25N - 1$।
$x + y = 25(M+N) - (6^{25} + 1)$।
$6^{25} = (6^2)^{12} \cdot 6 = 36^{12} \cdot 6 = (25 + 11)^{12} \cdot 6 = (25P + 11^{12}) \cdot 6$।
$11^{12} = (121)^6 = (125 - 4)^6 = 25Q + (-4)^6 = 25Q + 4096 = 25R + 21$।
अतः,$6^{25} = (25R + 21) \cdot 6 = 150R + 126 = 25(6R + 5) + 1$।
$x + y = 25(M+N) - (25(6R+5) + 1 + 1) = 25S - 2$।
शेषफल $25 - 2 = 23$ प्राप्त होता है।

(A) फर्मा के छोटे प्रमेय के अनुसार,चूँकि $11$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(5, 11) = 1$,इसलिए $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ होता है।
$5^{99} = 5^{90} \cdot 5^9 = (5^{10})^9 \cdot 5^9$.
चूँकि $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$,इसलिए $(5^{10})^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \pmod{11}$ होगा।
अब,$5^9 \pmod{11}$ की गणना करते हैं:
$5^2 = 25 \equiv 3 \pmod{11}$.
$5^4 = (5^2)^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv -2 \pmod{11}$.
$5^8 = (5^4)^2 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{11}$.
$5^9 = 5^8 \cdot 5^1 \equiv 4 \cdot 5 = 20 \equiv 9 \pmod{11}$.
अतः,$5^{99} \equiv 1 \cdot 9 = 9 \pmod{11}$।
शेषफल $9$ है।

(C) $(S1)$ के लिए: मान लीजिए $a = 2023$ और $b = 1999$ है। ध्यान दें कि $a \equiv 7 \pmod{8}$ और $b \equiv 7 \pmod{8}$ है।
तब $a^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ और $b^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ होगा।
चूंकि $7 \equiv -1 \pmod{8}$,इसलिए $7^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$ है।
अतः,$2023^{2022} - 1999^{2022} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$ है। इसलिए,$(S1)$ सही है।
$(S2)$ के लिए: मान लीजिए $f(n) = 13(13^{n}) - 11n - 13 = 13^{n+1} - 11n - 13$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$13^{n+1} = (1 + 12)^{n+1} = 1 + (n+1)12 + \binom{n+1}{2}12^2 + \dots = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$
अतः,$f(n) = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots - 11n - 13 = n + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$
$f(n)$ के $144$ से विभाज्य होने के लिए,$n$ को $144$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि ऐसे अनंत $n \in N$ मौजूद हैं,इसलिए $(S2)$ सही है।

(A) माना $E = 25^{190} - 19^{190} - 8^{190} + 2^{190}$.
हम इसे $E = (25^{190} - 8^{190}) - (19^{190} - 2^{190})$ के रूप में लिख सकते हैं।
किसी भी सम संख्या $n$ के लिए $a^n - b^n$,$a - b$ से विभाज्य होता है,इसलिए:
$25^{190} - 8^{190}$,$25 - 8 = 17$ से विभाज्य है।
$19^{190} - 2^{190}$,$19 - 2 = 17$ से विभाज्य है।
अतः,$E$,$17$ से विभाज्य है।
साथ ही,$E = (25^{190} - 19^{190}) - (8^{190} - 2^{190})$।
$25^{190} - 19^{190}$,$25 - 19 = 6$ से विभाज्य है।
$8^{190} - 2^{190}$,$8 - 2 = 6$ से विभाज्य है।
अतः,$E$,$6$ से विभाज्य है।
चूंकि $E$,$17$ और $6$ से विभाज्य है,और $\text{gcd}(17, 6) = 1$,इसलिए $E$,$17 \times 2 = 34$ से विभाज्य है।
$14$ के लिए जाँच करने पर: $E \equiv 3 \pmod{7}$,इसलिए यह $14$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,यह $34$ से विभाज्य है लेकिन $14$ से नहीं।

(B) मान लीजिए $N = (22)^{2022} + (2022)^{22}$ है।
$3$ से विभाजन के लिए:
$22 \equiv 1 \pmod{3}$,इसलिए $(22)^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{3}$।
$2022$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $(2022)^{22} \equiv 0^{22} \equiv 0 \pmod{3}$।
अतः,$N \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 1$।
$7$ से विभाजन के लिए:
$22 \equiv 1 \pmod{7}$,इसलिए $(22)^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{7}$।
$2022 = 7 \times 288 + 6$,इसलिए $2022 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$।
$(2022)^{22} \equiv (-1)^{22} \equiv 1 \pmod{7}$।
अतः,$N \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{7}$,जिसका अर्थ है कि $\beta = 2$।
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$।

(B) हमें $\frac{4^{2022}}{15}$ का भिन्नात्मक भाग ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $4^{2022} = (4^2)^{1011} = 16^{1011}$ है।
हम $16$ को $(15 + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$16^{1011} = (15 + 1)^{1011}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(15 + 1)^{1011} = 15K + 1$,जहाँ $K$ एक पूर्णांक है।
इसलिए,$\frac{4^{2022}}{15} = \frac{15K + 1}{15} = K + \frac{1}{15}$ है।
अतः,भिन्नात्मक भाग $\frac{1}{15}$ है।

(B) हमें $7^{103} \pmod{17}$ का शेषफल ज्ञात करना है।
फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार,यदि $p$ अभाज्य है और $p \nmid a$,तो $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ होता है।
यहाँ,$p=17$ और $a=7$ है,इसलिए $7^{16} \equiv 1 \pmod{17}$।
अब,$103 = 16 \times 6 + 7$ है।
अतः,$7^{103} = (7^{16})^6 \times 7^7 \equiv 1^6 \times 7^7 \pmod{17}$।
$7^2 = 49 \equiv 15 \equiv -2 \pmod{17}$।
$7^4 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{17}$।
$7^6 \equiv 4 \times (-2) = -8 \equiv 9 \pmod{17}$।
$7^7 = 7^6 \times 7 \equiv 9 \times 7 = 63 \pmod{17}$।
चूँकि $63 = 17 \times 3 + 12$ है,इसलिए $63 \equiv 12 \pmod{17}$।
अतः,शेषफल $12$ है।