Divisibility problems Questions in Hindi

(B) माना $x = 7^{7^{...7}}$ ($22$ बार $7$)। हमें $x \pmod{48}$ ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $7^2 = 49 \equiv 1 \pmod{48}$।
चूंकि $7$ का घातांक $7^{7^{...7}}$ ($21$ बार $7$) है,जो स्पष्ट रूप से एक विषम संख्या है,इसलिए घातांक को $2k+1$ के रूप में लें।
तब $7^{2k+1} = 7 \times (7^2)^k = 7 \times (49)^k$।
चूंकि $49 \equiv 1 \pmod{48}$,इसलिए $49^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{48}$।
अतः,$7 \times (49)^k \equiv 7 \times 1 \equiv 7 \pmod{48}$।
शेषफल $7$ है।

(A) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $(101)^{100}-1$ को $(1+100)^{100}-1$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर:
$(1+100)^{100}-1 = \left(1 + {}^{100}C_{1}(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}\right) - 1$.
चूंकि ${}^{100}C_{1} = 100$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$100(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}$.
$= 10^{4} + {}^{100}C_{2}(10^{4}) + {}^{100}C_{3}(10^{6}) + \dots + 10^{200}$.
$= 10^{4} \left(1 + {}^{100}C_{2} + {}^{100}C_{3}(10^{2}) + \dots + 10^{196}\right)$.
अतः,यह व्यंजक $10^{4}$ से विभाज्य है।

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$(1+x)^n = {^nC_0} + {^nC_1}x + {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + {^nC_n}x^n$
चूँकि ${^nC_0} = 1$ और ${^nC_1} = n$,हम लिख सकते हैं:
$(1+x)^n = 1 + nx + {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + x^n$
अब,दोनों पक्षों से $nx$ और $1$ घटाने पर:
$(1+x)^n - nx - 1 = {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + x^n$
दाईं ओर से $x^2$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$(1+x)^n - nx - 1 = x^2 ({^nC_2} + {^nC_3}x + \dots + x^{n-2})$
अतः,यह व्यंजक $x^2$ से विभाज्य है।

(C) हमारे पास $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$ है।
चूंकि $8 = (1 + 7)$,हम $8^n = (1 + 7)^n$ लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 7)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(7) + {^nC_2}(7^2) + \dots + {^nC_n}(7^n)$।
चूंकि ${^nC_0} = 1$,हमें $8^n = 1 + 7({^nC_1} + {^nC_2}(7) + \dots + {^nC_n}(7^{n-1}))$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$8^n - 1 = 7({^nC_1} + {^nC_2}(7) + \dots + {^nC_n}(7^{n-1}))$।
यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $7$ से विभाज्य है।

(A) हम जानते हैं कि $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$ है।
चूँकि $8^n = (1+7)^n$,हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके इसका विस्तार कर सकते हैं:
$(1+7)^n = 1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)$।
अतः,$2^{3n} - 1 = (1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)) - 1$।
$2^{3n} - 1 = 7({}^{n}C_1 + {}^{n}C_2(7) + \dots + {}^{n}C_n(7^{n-1}))$।
यह व्यंजक स्पष्ट रूप से $7$ से विभाज्य है।

(B) हमारे पास व्यंजक $2^{4n} - 15n - 1$ है।
चूंकि $2^4 = 16$,हम $2^{4n} = (16)^n = (1 + 15)^n$ लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 15)^n = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(15) + {}^{n}C_{2}(15)^2 + \dots + {}^{n}C_{n}(15)^n$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$2^{4n} - 15n - 1 = (1 + 15n + {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n) - 15n - 1$।
पदों को सरल करने पर,$1$ और $15n$ कट जाएंगे:
$2^{4n} - 15n - 1 = {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + {}^{n}C_{3} \cdot 15^3 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n$।
$15^2 = 225$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$2^{4n} - 15n - 1 = 225 \cdot ({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3} \cdot 15 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^{n-2})$।
अतः,यह व्यंजक $n \ge 2$ के लिए $225$ से विभाज्य है। $n=1$ के लिए,व्यंजक $2^4 - 15(1) - 1 = 0$ है,जो $225$ से विभाज्य है।

(B) कथन $I$: हमारे पास $25^{13} + 3^{13} + 20^{13} + 8^{13}$ है।
चूंकि $n$ विषम होने पर $a^n + b^n$,$(a + b)$ से विभाज्य होता है,इसलिए:
$25^{13} + 3^{13}$,$(25 + 3) = 28$ से विभाज्य है,जो $7$ से विभाज्य है।
$20^{13} + 8^{13}$,$(20 + 8) = 28$ से विभाज्य है,जो $7$ से विभाज्य है।
अतः,योग $7$ से विभाज्य है। कथन $I$ सही है।
कथन $II$: मान लीजिए $R = (7 + 4\sqrt{3})^{25} = I + f$,जहाँ $I$ पूर्णांक भाग है और $0 < f < 1$ है।
मान लीजिए $R' = (7 - 4\sqrt{3})^{25} = f'$,जहाँ $0 < f' < 1$ है।
चूंकि $7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1$,$R'$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है।
$R + R' = (7 + 4\sqrt{3})^{25} + (7 - 4\sqrt{3})^{25} = 2 \left[ {}^{25}C_0 7^{25} + {}^{25}C_2 7^{23}(4\sqrt{3})^2 + \dots \right]$।
यह एक सम पूर्णांक है। अतः,$I + f + f' = \text{सम पूर्णांक}$।
चूंकि $0 < f + f' < 2$,इसलिए $f + f'$ का मान $1$ होना चाहिए।
अतः,$I + 1 = \text{सम पूर्णांक}$,जिसका अर्थ है कि $I$ एक विषम पूर्णांक है। कथन $II$ सही है।