व्यंजक (1 + x)^n - nx - 1 (जहाँ n in N और n | vedclass

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Question

(B) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $(1 + x)^n$ का विस्तार इस प्रकार करते हैं:$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}

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$x^2$ द्वारा

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(B) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $(1 + x)^n$ का विस्तार इस प्रकार करते हैं:$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x^3 + \dots$अब,विस्तार से $nx + 1$ घटाने पर:$(1 + x)^n - nx - 1 = (1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}x^3 + \dots) - nx - 1$व्यंजक को सरल करने पर:$(1 + x)^n - nx - 1 = x^2 \left[ \frac{n(n - 1)}{2} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}x + \dots \right]$चूंकि व्यंजक $x^2$ का एक गुणज है,इसलिए यह $x^2$ से विभाज्य है।

व्यंजक $(1 + x)^n - nx - 1$ (जहाँ $n \in N$ और $n > 1$) किससे विभाज्य है?

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कथनों के बीच:
$(S1):$ $2023^{2022} - 1999^{2022}$,$8$ से विभाज्य है।
$(S2):$ $13(13^{n}) - 11n - 13$,अनंत $n \in N$ के लिए $144$ से विभाज्य है।

व्यंजक $x(x^{n-1} - na^{n-1}) + a^n(n-1)$,$(x-a)^2$ से विभाज्य है,इसके लिए:

$(3^P + 2)$ का अंतिम अंक क्या है,जहाँ $P = 3^{4n}$ और $n \in N$ है?

यदि $(27)^{999}$ को $7$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

यदि $k \in N$ है,तो $3^{3k} - 26k - 1$ किससे विभाज्य है?

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