व्यंजक ${49^n} + 16n - 1$ किससे विभाज्य है?

$1+3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{2021}$ को $50$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$n(n^2 - 1)$ किससे विभाज्य है?

मान लीजिए कि संख्या $(22)^{2022} + (2022)^{22}$ को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $\alpha$ और $7$ से विभाजित करने पर शेषफल $\beta$ प्राप्त होता है। तो $(\alpha^2 + \beta^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

जब $3^{100} \times 2^{50}$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

जब $17^{30}$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो न्यूनतम शेषफल क्या है?