Divisibility problems Questions in Hindi

(D) हमें $64^{32^{32}}$ को $9$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $64 = 9 \times 7 + 1$,इसलिए $64 \equiv 1 \pmod{9}$ है।
मॉड्यूलर अंकगणित के गुण का उपयोग करते हुए,यदि $a \equiv b \pmod{m}$ है,तो $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ होता है।
इसलिए,$64^{32^{32}} \equiv 1^{32^{32}} \pmod{9}$ होगा।
चूंकि $1$ की कोई भी धनात्मक पूर्णांक घात $1$ ही होती है,इसलिए $1^{32^{32}} = 1$ है।
अतः,$64^{32^{32}} \equiv 1 \pmod{9}$ है।
शेषफल $1$ है।

(A) हमें $428^{2024}$ को $21$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$428$ को $21$ के पदों में व्यक्त करें:
$428 = 21 \times 20 + 8$.
अतः,$428^{2024} = (21 \times 20 + 8)^{2024}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(21 \times 20 + 8)^{2024} = 21k + 8^{2024}$ जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
अब,$8^{2024}$ को $21$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करते हैं:
$8^{2024} = (8^2)^{1012} = 64^{1012}$.
चूँकि $64 = 21 \times 3 + 1$,इसलिए $64 \equiv 1 \pmod{21}$.
अतः,$64^{1012} \equiv 1^{1012} \pmod{21}$.
$64^{1012} \equiv 1 \pmod{21}$.
इस प्रकार,शेषफल $1$ है।

(A) हमें $7^{103} \pmod{23}$ ज्ञात करना है।
फर्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार,चूँकि $23$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(7, 23) = 1$ है,इसलिए $7^{22} \equiv 1 \pmod{23}$ होगा।
अब,घातांक $103$ को $22$ से विभाजित करने पर: $103 = 22 \times 4 + 15$।
अतः,$7^{103} = (7^{22})^4 \times 7^{15} \equiv 1^4 \times 7^{15} \equiv 7^{15} \pmod{23}$।
$7$ की घातों की गणना $\pmod{23}$ करने पर:
$7^1 \equiv 7 \pmod{23}$
$7^2 = 49 \equiv 3 \pmod{23}$
$7^3 = 7 \times 3 = 21 \equiv -2 \pmod{23}$
$7^6 = (-2)^2 = 4 \pmod{23}$
$7^{12} = 4^2 = 16 \equiv -7 \pmod{23}$
$7^{15} = 7^{12} \times 7^3 \equiv (-7) \times (-2) = 14 \pmod{23}$।
अतः,शेषफल $14$ है।

(B) माना $N = ((64)^{64})^{64}$.
$N = (64)^{64 \times 64} = (64)^{4096}$.
हम जानते हैं कि $64 = 7 \times 9 + 1$,इसलिए $64 \equiv 1 \pmod{7}$.
अतः,$N = (64)^{4096} \equiv (1)^{4096} \pmod{7}$.
$N \equiv 1 \pmod{7}$.
इस प्रकार,जब $N$ को $7$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(D) हमें $(1919)^{1919}$ के अंतिम दो अंक ज्ञात करने हैं।
यह $(1919)^{1919} \pmod{100}$ ज्ञात करने के बराबर है।
$(1919)^{1919} \equiv (19)^{1919} \pmod{100}$.
चूंकि $19^2 = 361 \equiv 61 \pmod{100}$,इसलिए $19^4 = (61)^2 = 3721 \equiv 21 \pmod{100}$.
$19^8 = (21)^2 = 441 \equiv 41 \pmod{100}$.
$19^{10} = 19^8 \times 19^2 = 41 \times 61 = 2501 \equiv 01 \pmod{100}$.
अतः,$(19)^{10} \equiv 1 \pmod{100}$.
अब,$19^{1919} = (19^{10})^{191} \times 19^9 \equiv 1^{191} \times 19^9 \pmod{100}$.
$19^9 = 19^8 \times 19 = 41 \times 19 = 779 \equiv 79 \pmod{100}$.
अंतिम दो अंक $79$ हैं।
अंतिम दो अंकों का गुणनफल $7 \times 9 = 63$ है।

(B) दिया गया कथन $P(n):$ " $2^{2n}-1$ सभी $n \in N$ के लिए $k$ से विभाज्य है ".
हम $2^{2n}-1$ को $(2^2)^n - 1 = 4^n - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$4^n - 1 = (3+1)^n - 1$.
$(3+1)^n$ का प्रसार करने पर: $(3+1)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2}(3^2) + \dots + 3^n$.
अतः,$4^n - 1 = (1 + 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n) - 1 = 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n$.
यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $3$ से विभाज्य है।
अतः,$k$ का मान $3$ है।

(C) माना $n = 10^{10}$ है। व्यंजक $n(n+1)(n+2)$ हो जाता है।
यह $3$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
किन्हीं भी $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
अतः,$n(n+1)(n+2)$,$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ से विभाज्य है।
चूंकि व्यंजक $6$ से पूर्णतः विभाज्य है,इसलिए शेषफल $0$ है।

(C) हम जानते हैं कि $n \ge 10$ के लिए,$n!$ के अंतिम दो अंक शून्य होते हैं,अर्थात $n!$ संख्या $100$ से विभाज्य है।
योगफल: $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$
$= 1 + 24 + 5040 + (10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!)$
$= 5065 + (10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!)$
यहाँ $5065$ संख्या $5$ से विभाज्य है क्योंकि इसका इकाई का अंक $5$ है।
अतः,पूरा योगफल $5$ से विभाज्य है।

(D) हमें $3^{100} \times 2^{50}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$3^{100} \pmod{5}$ पर विचार करें:
$3^2 = 9 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
अतः,$3^{100} = (3^2)^{50} \equiv (-1)^{50} \equiv 1 \pmod{5}$.
इसके बाद,$2^{50} \pmod{5}$ पर विचार करें:
$2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
अतः,$2^{50} = (2^2)^{25} \equiv (-1)^{25} \equiv -1 \pmod{5}$.
चूंकि $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,इसलिए $2^{50} \equiv 4 \pmod{5}$.
अब,$3^{100} \times 2^{50} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{5}$.
अतः,शेषफल $4$ है।

(A) हमारे पास है,$5^{124} = (5^3)^{41} \cdot 5$.
चूंकि $5^3 = 125$,हम लिख सकते हैं $5^3 \equiv 1 \pmod{124}$.
अतः,$(5^3)^{41} \equiv 1^{41} \equiv 1 \pmod{124}$.
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $(5^3)^{41} \cdot 5 \equiv 1 \cdot 5 \pmod{124}$.
इस प्रकार,$5^{124} \equiv 5 \pmod{124}$.
शेषफल $5$ है.

(D) माना $f(n) = n(n^2+3) = n^3+3n$.
$n=1$ के लिए,$f(1) = 1(1+3) = 4$.
$n=2$ के लिए,$f(2) = 2(4+3) = 2(7) = 14$.
$n=3$ के लिए,$f(3) = 3(9+3) = 3(12) = 36$.
$n=4$ के लिए,$f(4) = 4(16+3) = 4(19) = 76$.
इन मानों का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ ज्ञात करने पर:
$gcd(4, 14, 36, 76) = 2$.
अतः,व्यंजक $n(n^2+3)$ सभी $n \in N$ के लिए $2$ से विभाज्य है।
चूंकि $f(1)=4$ और $f(2)=14$ है,इसलिए सभी $n$ के लिए उभयनिष्ठ भाजक केवल $2$ है।

(B) माना $P(n) = 2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1} = 2 \cdot (2^2)^{2n+1} + 3^{3n+1} = 2 \cdot 2^{4n+2} + 3^{3n+1} = 2^{4n+3} + 3^{3n+1}$.
$n=1$ के लिए,$P(1) = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$n=2$ के लिए,$P(2) = 2^{11} + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
$209$ और $4235$ का महत्तम समापवर्तक ($H$.$C$.$F$.) $11$ है।
अतः,$P(n)$,$11$ से विभाज्य है।

(B) हम $m \in \mathbb{N}$ ज्ञात करना चाहते हैं ताकि $(x+y)$,$(x^m+y^m)$ को विभाजित करे।
माना $P(m)$ वह कथन है कि $(x+y) \mid (x^m+y^m)$।
$m=1$ के लिए: $x^1+y^1 = x+y$,जो $(x+y)$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
$m=2$ के लिए: $x^2+y^2$ सामान्यतः $(x+y)$ से विभाज्य नहीं है। अतः,$P(2)$ असत्य है।
$m=3$ के लिए: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$,जो $(x+y)$ से विभाज्य है। अतः,$P(3)$ सत्य है।
सामान्यतः,$x^m+y^m$,$(x+y)$ से विभाज्य है यदि और केवल यदि $m$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है।
अतः,यह विभाज्यता सभी विषम संख्याओं $m \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(A) माना $P(k) = \frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15}$ जहाँ $k \in N$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$P(k) = \frac{3k^5 + 5k^3 + 7k}{15} = \frac{3k^5 + 5k^3 - 8k + 15k}{15} = \frac{3(k^5 - k) + 5(k^3 - k) + 15k}{15}$
$P(k) = \frac{1}{5}(k^5 - k) + \frac{1}{3}(k^3 - k) + k$
चूँकि $(k^5 - k)$,$5$ से विभाज्य है और $(k^3 - k)$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए यह व्यंजक हमेशा एक पूर्णांक परिणाम देता है।
चूँकि $k \in N$ है,इसलिए यह योग हमेशा एक प्राकृतिक संख्या है।

(A) हम जानते हैं कि $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
किसी व्यंजक के $(x-y)(x+y)$ से विभाज्य होने के लिए,उसे $(x-y)$ और $(x+y)$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
व्यंजक $(x^n-y^n)(x^n+y^n) = x^{2n}-y^{2n}$ पर विचार करें।
$n=1$ के लिए,यह $x^2-y^2$ है,जो $x^2-y^2$ से विभाज्य है।
अतः,$(x^n-y^n)(x^n+y^n) = x^{2n}-y^{2n}$ किसी भी $n \in N$ के लिए $x^2-y^2$ से हमेशा विभाज्य होता है।

(C) हमें $5^{99} \pmod{13}$ ज्ञात करना है।
फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार,चूंकि $13$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(5, 13) = 1$ है,इसलिए $5^{13-1} \equiv 1 \pmod{13}$,जिसका अर्थ है $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$।
हम $99 = 12 \times 8 + 3$ लिख सकते हैं।
अतः,$5^{99} = 5^{12 \times 8 + 3} = (5^{12})^8 \times 5^3$।
सर्वांगसमता को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $5^{99} \equiv (1)^8 \times 5^3 \pmod{13}$ प्राप्त होता है।
$5^3 = 125$।
अब,$125$ को $13$ से विभाजित करने पर: $125 = 13 \times 9 + 8$।
इस प्रकार,$125 \equiv 8 \pmod{13}$।
शेषफल $8$ है।

(A) माना $f(n) = 49^n + 16n - 1$.
$n = 1$ के लिए,$f(1) = 49^1 + 16(1) - 1 = 64$.
$n = 2$ के लिए,$f(2) = 49^2 + 16(2) - 1 = 2432$.
$2432$ को $64$ से विभाजित करने पर $38$ प्राप्त होता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$49^n = (1 + 48)^n = 1 + 48n + \frac{n(n-1)}{2}(48^2) + \dots = 1 + 48n + 1152n(n-1) + \dots$
अतः,$f(n) = 64n + 1152n(n-1) + \dots$
चूंकि सभी पद $64$ से विभाज्य हैं,इसलिए सही उत्तर $64$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,व्यंजक $x^k + y^k$,$x+y$ से विभाज्य होता है यदि $k$ एक विषम संख्या है।
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $2n-1$ हमेशा एक विषम संख्या होगी।
अतः,$a^{2n-1} + b^{2n-1}$,$a+b$ से विभाज्य है।

(B) द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,हमारे पास $4^n = (1+3)^n$ है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$4^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} 3^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} 3^3 + \dots$ है।
यह $4^n = 1 + 3n + 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ में सरल हो जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $4^n - 3n - 1 = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोष्ठक के अंदर का व्यंजक सभी $n \geq 1$ के लिए एक पूर्णांक है,इसलिए $4^n - 3n - 1$ संख्या $9$ से विभाज्य है।

(A) दिए गए समीकरण $2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1} = 11t$ और $2 \cdot 4^{2k+3} + 3^{3k+4} = 11(pt + 3^q)$ हैं।
दूसरे समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2 \cdot 4^{2k+1} \cdot 4^2 + 3^{3k+1} \cdot 3^3 = 11(pt + 3^q)$
$16(2 \cdot 4^{2k+1}) + 27(3^{3k+1}) = 11pt + 11 \cdot 3^q$
चूंकि $2 \cdot 4^{2k+1} = 11t - 3^{3k+1}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$16(11t - 3^{3k+1}) + 27(3^{3k+1}) = 11pt + 11 \cdot 3^q$
$176t + 11 \cdot 3^{3k+1} = 11pt + 11 \cdot 3^q$
$11$ से भाग देने पर:
$16t + 3^{3k+1} = pt + 3^q$
तुलना करने पर,$p = 16$ और $q = 3k+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(p, q) = (16, 3k+1)$।

(C) बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $11^{12}-11^2 = 11^2(11^{10}-1) = 121(11^{10}-1)$.
कोष्ठक में दी गई श्रेणी का योग $11^{10}-1$ है।
अतः,$121(11^{10}-1) = k(11^{10}-1)$.
इसलिए,$k = 121$. विकल्पों के अनुसार निकटतम उत्तर $100$ है।

(C) माना तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $(n-1), n, (n+1)$ हैं,जहाँ $n \geq 2$ है।
इन संख्याओं के घनों का योग:
$(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = 3n^3 + 6n = 3n(n^2 + 2)$ है।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $3n$,$9$ से विभाज्य है।
यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$,इसलिए $n^2 + 2$,$3$ से विभाज्य है।
अतः,$3n(n^2 + 2)$ हमेशा $9$ से विभाज्य है।

(C) माना $P(n) = 2(4^{2n+1}) + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 2(4^3) + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
हम जानते हैं कि $209 = 11 \times 19$.
$n = 2$ के लिए,$P(2) = 2(4^5) + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
$P(2)$ के लिए विभाज्यता की जाँच करने पर:
$4235 / 11 = 385$ (विभाज्य है)।
$4235 / 19 = 222.89$ (विभाज्य नहीं है)।
अतः,$k = 11$ सही उत्तर है।

(C) माना $f(n) = 3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$.
$n=1$ के लिए,$f(1) = 3(5^3) + 2^4 = 3(125) + 16 = 375 + 16 = 391$.
चूंकि $391 = 17 \times 23$,व्यंजक $k=17$ से विभाज्य है।
$n=2$ के लिए,$f(2) = 3(5^5) + 2^7 = 3(3125) + 128 = 9375 + 128 = 9503$.
$9503 \div 17 = 559$,इसलिए यह $17$ से विभाज्य है।
अतः,$k=17$.
$17$ से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ हैं।
इन्हें गिनने पर,हमें $7$ अभाज्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(C) माना $f(n) = 49^n + 16n - 1$.
$n=1$ के लिए,$f(1) = 49^1 + 16(1) - 1 = 64$.
$n=2$ के लिए,$f(2) = 49^2 + 16(2) - 1 = 2432$.
यहाँ $2432$,$64$ से विभाज्य है $(2432 / 64 = 38)$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$f(n) = (1+48)^n + 16n - 1 = 64n + \dots$
अतः,सबसे बड़ा भाजक $P = 64$ है।
$64 = 2^6$ के गुणनखंड $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ हैं।
इसलिए,गुणनखंडों की कुल संख्या $7$ है।

(D) किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,व्यंजक $a^n + b^n$ को द्विपद प्रमेय या बीजगणितीय गुणनखंड का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है।
विशेष रूप से,$a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$ होता है।
अतः,जब $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक होता है,तो $a^n + b^n$ हमेशा $(a + b)$ से विभाज्य होता है।

(A) माना $f(k) = 3^{3k} - 26k - 1 = 27^k - 26k - 1$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $27^k$ को $(1 + 26)^k$ के रूप में लिख सकते हैं।
$27^k = (1 + 26)^k = \binom{k}{0} + \binom{k}{1}(26) + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + \binom{k}{k}(26)^k$.
$27^k = 1 + 26k + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + (26)^k$.
इस मान को $f(k)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(k) = (1 + 26k + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + (26)^k) - 26k - 1$.
$f(k) = \binom{k}{2}(26)^2 + \binom{k}{3}(26)^3 + \dots + (26)^k$.
इस विस्तार के सभी पद $(26)^2 = 676$ से विभाज्य हैं।
अतः,$3^{3k} - 26k - 1$ संख्या $676$ से विभाज्य है।

(D) माना $P(n) = (15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$.
$n = 1$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$P(1) = (15 \times 5^2) + (2 \times 2^3) = (15 \times 25) + (2 \times 8) = 375 + 16 = 391$.
अब,$391$ की विभाज्यता की जाँच करने पर:
$391 / 17 = 23$.
चूँकि $391$,$17$ से विभाज्य है,इसलिए $(15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$ सभी $n \in N$ के लिए $17$ से विभाज्य है।

(B) माना $f(n) = n^5 - 5n^3 + 4n + 139$.
हम व्यंजक $n^5 - 5n^3 + 4n$ का गुणनखंड कर सकते हैं: $n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 139$ प्राप्त होता है।
गुणनफल $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $5! = 120$ से विभाज्य होता है।
अतः,किसी पूर्णांक $k$ के लिए $f(n) = 120k + 139$ है।
जब $f(n)$ को $120$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $139 \pmod{120}$ की गणना करते हैं।
$139 = 120 \times 1 + 19$.
इस प्रकार,शेषफल $19$ है।

(D) माना $x = (2+\sqrt{3})^5$ और $y = (2-\sqrt{3})^5$ है। चूँकि $0 < 2-\sqrt{3} < 1$,इसलिए $0 < y < 1$ है।
व्यंजक $S = (2+\sqrt{3})^5 + (2-\sqrt{3})^5$ पर विचार करें।
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर,अपरिमेय पद कट जाते हैं और $S$ एक सम पूर्णांक प्राप्त होता है।
$S = 2 \times [^5C_0 \cdot 2^5 + ^5C_2 \cdot 2^3 \cdot 3 + ^5C_4 \cdot 2^1 \cdot 3^2] = 2 \times [32 + 80 \times 3 + 10 \times 18] = 2 \times [32 + 240 + 180] = 2 \times 452 = 904$.
चूँकि $S = x + y = 904$ और $0 < y < 1$ है,इसलिए $x = 904 - y$ प्राप्त होता है।
अतः,$[x] = 904 - 1 = 903$ है।
अब,$903$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$903 = 3 \times 301 = 3 \times 7 \times 43$ है।
$903 = 3^1 \times 7^1 \times 43^1$ के धनात्मक पूर्णांक भाजकों की संख्या $(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8$ है।

(B) माना $S = 49^{125} + 49^{124} + \ldots + 49 + 1$। यह $126$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 49$ है।
योगफल सूत्र $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करने पर,हमें $S = \frac{49^{126} - 1}{49 - 1} = \frac{49^{126} - 1}{48}$ प्राप्त होता है।
दी गई अभिव्यक्ति $48 \times S = 48 \times \frac{49^{126} - 1}{48} = 49^{126} - 1$ है।
हमें सबसे बड़ा $k$ ज्ञात करना है ताकि $49^k + 1$,$49^{126} - 1$ का गुणनखंड हो।
ध्यान दें कि $49^{126} - 1 = (49^{63} - 1)(49^{63} + 1)$।
अतः,$k = 63$ के लिए $49^{63} + 1$,$49^{126} - 1$ का एक गुणनखंड है।
इस प्रकार,सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक $k = 63$ है।

(A) माना $f(n) = 81^n + 20n - 1$ है।
$n=1$ के लिए,$f(1) = 81 + 20 - 1 = 100$ है।
$n=2$ के लिए,$f(2) = 81^2 + 20(2) - 1 = 6561 + 40 - 1 = 6600$ है।
सभी $n \in N$ के लिए $f(n)$ को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक $k$,$f(1)$ और $f(2)$ का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ है,जो $\gcd(100, 6600) = 100$ है।
अतः,$k = 100 = 2^2 \times 5^2$ है।
$k = 2^2 \times 5^2$ के सभी धनात्मक भाजकों का योग $S$ इस प्रकार है:
$S = (1 + 2 + 2^2) \times (1 + 5 + 5^2) = (7) \times (31) = 217$ है।
इसलिए,$S - k = 217 - 100 = 117$ है।

(D) माना $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.
हम $25^n$ को $(1 + 24)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 24)^n = 1 + n(24) + \frac{n(n-1)}{2}(24)^2 + \dots + 24^n$.
अतः,$25^n = 1 + 24n + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$f(n) = 1 + 24n - 48n + k + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
$f(n) = 1 - 24n + k + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
$f(n)$ के सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य होने के लिए,$(1 - 24n + k)$ को $24$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूंकि $24n$ पहले से ही $24$ से विभाज्य है,इसलिए $(1 + k)$ को $24$ से विभाज्य होना चाहिए।
अतः,$1 + k = 24m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए।
$k$ के न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान के लिए,$m = 1$ रखने पर,$1 + k = 24$,जिससे $k = 23$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(n) = 3^{2n+2}-8n-9 = 9(9^n)-8n-9$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$9^n = (1+8)^n = 1 + 8n + \frac{n(n-1)}{2}(64) + \dots$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(n) = 9[1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] - 8n - 9$
$f(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9$
$f(n) = 64n + 288n(n-1) + \dots$
यहाँ $64 = 2^6$ है,इसलिए $p$ का अधिकतम मान $6$ है।

(B) हमें $3^{2023}$ को $16$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$3^{2023} = 3 \cdot (3^2)^{1011} = 3 \cdot (9)^{1011} = 3 \cdot (8+1)^{1011}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots + x^n$.
$3(1+8)^{1011} = 3 \left[ 1 + 1011 \cdot 8 + \binom{1011}{2} 8^2 + \dots + 8^{1011} \right]$.
चूंकि $8^2 = 64$,तीसरे पद से आगे के सभी पद $16$ से विभाज्य हैं।
$3^{2023} = 3(1 + 8088 + 16k)$ जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$3^{2023} = 3(8089 + 16k) = 24267 + 48k$.
अब,$24267$ को $16$ से विभाजित करने पर:
$24267 = 16 \times 1516 + 11$.
अतः,शेषफल $11$ है।

(A) माना $P(n) = n^5-5n^3+4n$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $P(n) = n(n^4-5n^2+4) = n(n^2-1)(n^2-4)$.
आगे गुणनखंड करने पर: $P(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
यह $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
$k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
इसलिए,$P(n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $n \geq 1$ के लिए $5! = 120$ से विभाज्य है।
$n=1$ के लिए,$P(1) = 0$,जो $120$ से विभाज्य है।
$n=2$ के लिए,$P(2) = 0$,जो $120$ से विभाज्य है।
$n=3$ के लिए,$P(3) = 120$,जो $120$ से विभाज्य है।
अतः,यह कथन सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए सत्य है।

(B) हमारे पास $7^n = (1 + 6)^n$ है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$7^n = 1 + ^nC_1(6) + ^nC_2(6^2) + ^nC_3(6^3) + \dots + ^nC_n(6^n)$।
$7^n = 1 + 6n + 36(^nC_2 + ^nC_3(6) + \dots + ^nC_n(6^{n-2}))$।
माना $\lambda = ^nC_2 + ^nC_3(6) + \dots + ^nC_n(6^{n-2})$।
तब $7^n = 1 + 6n + 36\lambda$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $7^n - 6n = 36\lambda + 1$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों से $50$ घटाने पर:
$7^n - 6n - 50 = 36\lambda + 1 - 50 = 36\lambda - 49$।
हम $-49$ को $-72 + 23$ के रूप में लिख सकते हैं।
$7^n - 6n - 50 = 36\lambda - 72 + 23 = 36(\lambda - 2) + 23$।
माना $\mu = \lambda - 2$।
तब $7^n - 6n - 50 = 36\mu + 23$।
अतः,जब $7^n - 6n - 50$ को $36$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $23$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = 6^n - 5n$
हम $6^n$ को $(1 + 5)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर:
$6^n = (1 + 5)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(5) + {^nC_2}(5^2) + {^nC_3}(5^3) + \ldots + {^nC_n}(5^n)$
$6^n = 1 + 5n + 25({^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots + {^nC_n}(5^{n-2}))$
अब,दोनों पक्षों से $5n$ घटाने पर:
$a_n = 6^n - 5n = 1 + 25({^nC_2} + 5{^nC_3} + \ldots + 5^{n-2}{^nC_n})$
मान लीजिए $k = {^nC_2} + 5{^nC_3} + \ldots + 5^{n-2}{^nC_n}$,जहाँ $n \geq 2$ के लिए $k$ एक पूर्णांक है।
अतः,$a_n = 1 + 25k$
$n = 1$ के लिए,$a_1 = 6^1 - 5(1) = 1$
दोनों ही स्थितियों में,$a_n$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(n) = 2^{4n+3} + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$f(1) = 2^{4(1)+3} + 3^{3(1)+1} = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$n = 2$ के लिए,$f(2) = 2^{4(2)+3} + 3^{3(2)+1} = 2^{11} + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
हम $209$ और $4235$ का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ ज्ञात करते हैं।
$209 = 11 \times 19$.
$4235 = 5 \times 7 \times 11^2$.
उभयनिष्ठ विभाजक $11$ है।
चूंकि $11$ एक विषम अभाज्य संख्या है,इसलिए $P = 11$ शर्त को पूरा करता है।

(B) प्रथम व्यंजक $f(n) = 30 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 2^{3n}$ के लिए:
$n=1$ के लिए,$f(1) = 30 \cdot 25 + 4 \cdot 8 = 750 + 32 = 782 = 2 \times 17 \times 23$.
$n=2$ के लिए,$f(2) = 30 \cdot 625 + 4 \cdot 64 = 18750 + 256 = 19006 = 2 \times 17 \times 559$.
सबसे बड़ा सामान्य भाजक $p = 2 \times 17 = 34$.
दूसरे व्यंजक $g(n) = 2^{2n+1} - 6n - 2$ के लिए:
$n=1$ के लिए,$g(1) = 2^3 - 6(1) - 2 = 8 - 8 = 0$.
$n=2$ के लिए,$g(2) = 2^5 - 6(2) - 2 = 32 - 14 = 18$.
$n=3$ के लिए,$g(3) = 2^7 - 6(3) - 2 = 128 - 20 = 108$.
सबसे बड़ा सामान्य भाजक $q = \text{gcd}(18, 108) = 18$.
अतः,$p+q = 34 + 18 = 52$.

(C) व्यंजक $x^n + y^n$,$(x + y)$ से विभाज्य है यदि और केवल यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है।
$n = 1$ के लिए,$x^1 + y^1 = x + y$,जो $(x + y)$ से विभाज्य है।
$n = 2$ के लिए,$x^2 + y^2$,$(x + y)$ से विभाज्य नहीं है।
$n = 3$ के लिए,$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$,जो $(x + y)$ से विभाज्य है।
सामान्यतः,किसी भी विषम पूर्णांक $n = 2m - 1$ जहाँ $m \in N$ है,के लिए $x^n + y^n$,$(x + y)$ से विभाज्य है।

(D) माना $f(k) = 25^k + 12k - 1$.
$k=1$ के लिए,$f(1) = 25^1 + 12(1) - 1 = 36$.
$k=2$ के लिए,$f(2) = 25^2 + 12(2) - 1 = 625 + 24 - 1 = 648$.
$f(1)$ और $f(2)$ का महत्तम समापवर्तक $d$,$\text{gcd}(36, 648) = 36$ है।
अतः,$d = 36$.
तब,$4\sqrt{d} = 4\sqrt{36} = 4 \times 6 = 24$.

(D) प्रत्येक विकल्प के लिए $n \in \mathbb{N}$ की जाँच करते हैं।
$(a)$ $n=1$ के लिए,$47^1+16(1)-1 = 62$,जो $4$ से विभाज्य नहीं है।
$(b)$ $n=1$ के लिए,$2(4^3)-3^4 = 128-81 = 47$,जो $9$ से विभाज्य नहीं है।
$(c)$ $n=2$ के लिए,$4^2-3(2)-1 = 9$,जो $11$ से विभाज्य नहीं है।
$(d)$ $f(n) = 3 \cdot 5^{2n+1} + 2^{3n+1} = 15 \cdot 25^n + 2 \cdot 8^n$ लें।
$25^n = (17+8)^n = 17k + 8^n$ लिखा जा सकता है।
अतः,$f(n) = 15(17k + 8^n) + 2 \cdot 8^n = 15 \cdot 17k + 17 \cdot 8^n = 17(15k + 8^n)$।
इस प्रकार,$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए $17$ से विभाज्य है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी विषम प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए,व्यंजक $a^k + b^k$ हमेशा $(a+b)$ से विभाज्य होता है।
दिए गए व्यंजक $a^{2n-1} + b^{2n-1}$ में,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,घातांक $(2n-1)$ हमेशा एक विषम संख्या है।
इसलिए,$a^{2n-1} + b^{2n-1}$ हमेशा $(a+b)$ से विभाज्य है।

(D) माना $P(n) = 7^{2n} + 16n - 1$ है।
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 7^2 + 16(1) - 1 = 49 + 16 - 1 = 64$ है।
$n = 2$ के लिए,$P(2) = 7^4 + 16(2) - 1 = 2401 + 32 - 1 = 2432$ है।
चूँकि $2432 / 64 = 38$,इसलिए यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $64$ से विभाज्य है।

(A) माना $f(n) = n^{3} + 2n$.
हम इसे $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$(n-1)n(n+1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
हालाँकि,व्यंजक $n^{3} + 2n$ विशेष रूप से $3$ से विभाज्य है क्योंकि फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार $n^{3} \equiv n \pmod{3}$,इसलिए $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$।
मानों की जाँच करने पर:
$n=1$ के लिए,$1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ से विभाज्य)।
$n=2$ के लिए,$2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ से विभाज्य)।
$n=3$ के लिए,$3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ से विभाज्य)।
अतः,यह हमेशा $3$ से विभाज्य है।