तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग,जिसमें $1$ की वृद्धि की गई है,किससे विभाज्य है?

$(2^{3n} - 1)$ $(\forall n \in N)$ के लिए किससे विभाज्य होगा?

मान लीजिए कि $a, b, c, d$ धनात्मक पूर्णांक हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. यदि $9$,$a^3+b^3+c^3$ को विभाजित करता है,तो $3$,$abc$ को विभाजित करता है।
$II$. यदि $9$,$a^3+b^3+c^3+d^3$ को विभाजित करता है,तो $3$,$abcd$ को विभाजित करता है।

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $n \in N$ के लिए $6^{n} - 5n$ को $25$ से विभाजित करने पर हमेशा शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

$1$ से बड़ी वह सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक संख्या क्या है जो सभी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $49^n + 16n - 1$ को विभाजित करती है?

यदि $2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1} = 11t$ और $2 \cdot 4^{2k+3} + 3^{3k+4} = 11(pt + 3^q)$,जहाँ $k, t \in Z^{+}$,तो $(p, q) =$