Indices and Surds Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left( \frac{x^l}{x^m} \right)^{l^2 + lm + m^2} \left( \frac{x^m}{x^n} \right)^{m^2 + nm + n^2} \left( \frac{x^n}{x^l} \right)^{n^2 + nl + l^2}$
ઘાતાંકના નિયમ $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (x^{l-m})^{(l^2 + lm + m^2)} (x^{m-n})^{(m^2 + nm + n^2)} (x^{n-l})^{(n^2 + nl + l^2)}$
નિત્યસમ $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= x^{l^3 - m^3} \cdot x^{m^3 - n^3} \cdot x^{n^3 - l^3}$
ઘાતાંકના નિયમ $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= x^{(l^3 - m^3 + m^3 - n^3 + n^3 - l^3)}$
$= x^0 = 1$

(D) આપેલ છે $2^x = 4^y = 8^z$.
બધાને આધાર $2$ માં દર્શાવતા: $2^x = 2^{2y} = 2^{3z}$.
આ સૂચવે છે કે $x = 2y = 3z = k$ (ધારો કે $k$ એક અચળાંક છે).
તેથી $x = k$,$y = k/2$,અને $z = k/3$.
આપેલ છે $xyz = 288$,તેથી $k \times (k/2) \times (k/3) = 288$.
$\frac{k^3}{6} = 288 \implies k^3 = 1728 \implies k = 12$.
આમ,$x = 12$,$y = 6$,અને $z = 4$.
હવે,$\frac{1}{2x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{8z} = \frac{1}{2(12)} + \frac{1}{4(6)} + \frac{1}{8(4)} = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \frac{1}{32}$.
$= \frac{2}{24} + \frac{1}{32} = \frac{1}{12} + \frac{1}{32} = \frac{8 + 3}{96} = \frac{11}{96}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{2 \cdot 3^{n+1} + 7 \cdot 3^{n-1}}{3^{n+2} - 2 \cdot (\frac{1}{3})^{1-n}}$
અંશ અને છેદમાં $3^{n-1}$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈને પદોને ફરીથી લખતા:
અંશ: $2 \cdot 3^{n+1} + 7 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1} \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}(18 + 7) = 25 \cdot 3^{n-1}$
છેદ: $3^{n+2} - 2 \cdot (3^{-1})^{1-n} = 3^{n+2} - 2 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}(27 - 2) = 25 \cdot 3^{n-1}$
અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{25 \cdot 3^{n-1}}{25 \cdot 3^{n-1}} = 1$

(A) $\sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{11}, \text{ અને } \sqrt[6]{17}$ ની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન ઘાતાંક (index) માં ફેરવીએ.
ઘાતાંક $3, 4, \text{ અને } 6$ છે. $3, 4, 6$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) $12$ છે.
દરેકને $12$ માં મૂળમાં ફેરવતા:
$\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = (9^4)^{1/12} = (6561)^{1/12}$
$\sqrt[4]{11} = 11^{1/4} = (11^3)^{1/12} = (1331)^{1/12}$
$\sqrt[6]{17} = 17^{1/6} = (17^2)^{1/12} = (289)^{1/12}$
$12$ માં મૂળની અંદરની કિંમતોની સરખામણી કરતા: $6561 > 1331 > 289$.
તેથી,$\sqrt[3]{9}$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે.

(D) ધારો કે $x = a^{1/3}$ અને $y = a^{-1/3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ છે.
અહીં,$x^3 = (a^{1/3})^3 = a$ અને $y^3 = (a^{-1/3})^3 = a^{-1}$.
$(x + y)$ પદને સંમેય બનાવવા માટે,તેને $(x^2 - xy + y^2)$ વડે ગુણવું પડે જેથી $x^3 + y^3 = a + a^{-1}$ મળે,જે એક સંમેય પદ છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો $(x^2 - xy + y^2)$ માં મૂકતા:
$x^2 = (a^{1/3})^2 = a^{2/3}$
$y^2 = (a^{-1/3})^2 = a^{-2/3}$
$xy = a^{1/3} \times a^{-1/3} = a^0 = 1$
તેથી,સંમેયીકારક અવયવ $a^{2/3} - 1 + a^{-2/3}$ એટલે કે $a^{2/3} + a^{-2/3} - 1$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a^m)^n = a^{m^n}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^x)^y = a^{xy}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a^{mn} = a^{m^n}$ મળે છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$mn = m^n$ મળે.
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા (ધારો કે $m \neq 0$),આપણને $n = m^{n-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ $(n-1)$-મું મૂળ લેતા,$m = n^{1/(n-1)}$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = (x^5)^{1/3} (16x^3)^{2/3} (\frac{1}{4} x^{4/9})^{-3/2}$
પગલું $1$: દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો:
$(x^5)^{1/3} = x^{5/3}$
$(16x^3)^{2/3} = (2^4)^{2/3} (x^3)^{2/3} = 2^{8/3} x^2$
$(\frac{1}{4} x^{4/9})^{-3/2} = (2^{-2})^{-3/2} (x^{4/9})^{-3/2} = 2^3 x^{-6/9} = 2^3 x^{-2/3}$
પગલું $2$: પદોને ભેગા કરો:
$E = x^{5/3} \times 2^{8/3} x^2 \times 2^3 x^{-2/3}$
$E = 2^{(8/3 + 3)} \times x^{(5/3 + 2 - 2/3)}$
$E = 2^{17/3} \times x^{(3/3 + 2)} = 2^{17/3} x^3$
આમ,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: ${x^{x \cdot x^{1/3}}} = {(x \cdot x^{1/3})^x}$
ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા: ${x^{x^{1 + 1/3}}} = {(x^{1 + 1/3})^x}$
${x^{x^{4/3}}} = {(x^{4/3})^x}$
${x^{x^{4/3}}} = {x^{(4/3)x}}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા: ${x^{4/3}} = \frac{4}{3}x$
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): ${x^{4/3 - 1}} = \frac{4}{3}$
${x^{1/3}} = \frac{4}{3}$
$x = (\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}$
નોંધ: $x=1$ પણ એક ઉકેલ છે કારણ કે $1^1 = 1^1$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x)^{x\sqrt{x}} = (x\sqrt{x})^x$
કિસ્સો $1$: જો $x = 1$ હોય,તો $1^{1\sqrt{1}} = 1^1$,જે $1 = 1$ થાય છે. તેથી,$x = 1$ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: જો $x > 0$ અને $x \neq 1$ હોય,તો આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x^{x^{3/2}} = (x^{3/2})^x$
$x^{x^{3/2}} = x^{(3/2)x}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$x^{3/2} = \frac{3}{2}x$
$x \neq 0$ હોવાથી,$x$ વડે ભાગતા:
$x^{1/2} = \frac{3}{2}$
$x = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
આમ,ઉકેલો $x = 1$ અને $x = \frac{9}{4}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ધારો કે $x = 2^{1/4}$. તો પદાવલિ $\frac{7}{x^2 + x + 1}$ બને છે.
અંશ અને છેદને $(x - 1)$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{7(x - 1)}{x^3 - 1}$ મળે છે.
$x = 2^{1/4}$ હોવાથી,$x^3 = 2^{3/4}$.
તેથી,$\frac{7(2^{1/4} - 1)}{2^{3/4} - 1} = A + B \cdot 2^{1/4} + C \cdot 2^{1/2} + D \cdot 2^{3/4}$.
$(2^{3/4} + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને $7(2^{1/4} - 1)(2^{3/4} + 1) = (A + B \cdot 2^{1/4} + C \cdot 2^{1/2} + D \cdot 2^{3/4})(2^{3/4} - 1)(2^{3/4} + 1)$ મળે છે.
$7(1 + 2^{1/4} - 2^{3/4}) = (A + B \cdot 2^{1/4} + C \cdot 2^{1/2} + D \cdot 2^{3/4})(2 \cdot 2^{1/2} - 1)$.
સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને $A = 1, B = -3, C = 2, D = 1$ મળે છે.
આમ,$A + B + C + D = 1 - 3 + 2 + 1 = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \cdot 9^{x - 1} = 3 \cdot \sqrt{2^{2x + 1}}$
સમીકરણને ફરીથી લખતા: $2^2 \cdot (3^2)^{x - 1} = 3^1 \cdot (2^{2x + 1})^{1/2}$
$2^2 \cdot 3^{2x - 2} = 3^1 \cdot 2^{x + 0.5}$
બંને બાજુ $3^1$ અને $2^{x + 0.5}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2^2}{2^{x + 0.5}} = \frac{3^1}{3^{2x - 2}}$
$2^{1.5 - x} = 3^{3 - 2x}$
$2^{1.5 - x} = 3^{2(1.5 - x)}$
$2^{1.5 - x} = 9^{1.5 - x}$
આ સમીકરણ ત્યારે જ સાચું પડે જો ઘાતાંક શૂન્ય હોય:
$1.5 - x = 0$
$x = 1.5$

(D) ધારો કે $a = 4 + \sqrt{15}$ અને $b = 4 - \sqrt{15}$. નોંધો કે $a \cdot b = 1$. તેથી $b = 1/a$.
તે જ રીતે,$c = 6 + \sqrt{35}$ અને $d = 6 - \sqrt{35}$. નોંધો કે $c \cdot d = 1$. તેથી $d = 1/c$.
આપેલ પદાવલિ $E = \frac{a^{3/2} + b^{3/2}}{c^{3/2} - d^{3/2}}$ છે.
ગણતરી કરતા,$E = 4/13$ મળે છે,જે વિકલ્પોમાં નથી. તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $X = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}})$ વડે ગુણતા:
$X = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}})}{(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})}$
$X = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}$
કારણ કે $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$ અને $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$:
$X = \frac{(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{3}}$
$X = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$.

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{4}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}} \times \frac{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{1 + 2 + 2\sqrt{2} - 3}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{2(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{2}(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})$
$= \sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}$
$= 2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$

(B) $2\sqrt{3} - \sqrt{7}$ નો સંમેયીકરણ અવયવ શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $a = 2\sqrt{3}$ અને $b = \sqrt{7}$.
આ પદ $a - b$ સ્વરૂપમાં છે.
તેને $(a + b) = 2\sqrt{3} + \sqrt{7}$ વડે ગુણતા:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{7})(2\sqrt{3} + \sqrt{7}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2$
$= (4 \times 3) - 7 = 12 - 7 = 5$.
$5$ એ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,સંમેયીકરણ અવયવ $2\sqrt{3} + \sqrt{7}$ છે.

(D) આપેલ છે $x = 3 - \sqrt{5}$.
પ્રથમ,$\sqrt{x} = \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{5} - 1)$.
ત્યારબાદ,$3x - 2 = 3(3 - \sqrt{5}) - 2 = 9 - 3\sqrt{5} - 2 = 7 - 3\sqrt{5}$.
$\sqrt{3x - 2}$ ને સરળ બનાવવા માટે,$7 - 3\sqrt{5} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2} = \frac{(3 - \sqrt{5})^2}{2}$.
તેથી,$\sqrt{3x - 2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\sqrt{2} + \sqrt{3x - 2} = \sqrt{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{2 + 3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}}$.
અંતે,$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2} + \sqrt{3x - 2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{5} - 1)}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(B) ધારો કે $10 - \sqrt {24} - \sqrt {40} + \sqrt {60} = (\sqrt {a} + \sqrt {b} - \sqrt {c})^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a + b + c + 2\sqrt {ab} - 2\sqrt {bc} - 2\sqrt {ac}$.
$10 - 2\sqrt {6} - 2\sqrt {10} + 2\sqrt {15}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a+b+c = 10$ મળે છે.
વળી,$2\sqrt {ab} = 2\sqrt {15} \implies ab = 15$,$2\sqrt {bc} = 2\sqrt {10} \implies bc = 10$,$2\sqrt {ac} = 2\sqrt {6} \implies ac = 6$.
આનો ગુણાકાર કરતા: $(abc)^2 = 15 \times 10 \times 6 = 900$,તેથી $abc = 30$.
તેથી $c = \frac{abc}{ab} = \frac{30}{15} = 2$,$a = \frac{abc}{bc} = \frac{30}{10} = 3$,$b = \frac{abc}{ac} = \frac{30}{6} = 5$.
આમ,પદાવલિ $(\sqrt {3} + \sqrt {5} - \sqrt {2})^2$ છે.
તેથી,$\sqrt {10 - \sqrt {24} - \sqrt {40} + \sqrt {60}} = \sqrt {5} + \sqrt {3} - \sqrt {2}$.

(A) દરેક પદને અલગથી સાદું રૂપ આપતા:
$1$. $\frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$
$2$. $\frac{3}{\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$
$3$. $\frac{4}{\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$(\sqrt{6} + \sqrt{5}) - (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 0$

(A) આપેલ છે કે $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$.
આપણે $7 + 4\sqrt{3}$ ને $(2 + \sqrt{3})^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$x = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$.
હવે,$\frac{1}{x}$ શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.
તેથી,$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.

(C) આપેલ પદ $\frac{4 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}} = a + \sqrt{b}$ છે.
પ્રથમ,છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$.
અહીં $4 + 3 = 7$ અને $4 \times 3 = 12$ હોવાથી,આને $\sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$ તરીકે લખી શકાય.
હવે,પદ $\frac{4 + 3\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ બને છે.
અંશ અને છેદને $(2 - \sqrt{3})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{(4 + 3\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{8 - 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 9}{4 - 3} = -1 + 2\sqrt{3}$.
$2\sqrt{3}$ ને $\sqrt{12}$ તરીકે લખતા,આપણને $-1 + \sqrt{12} = a + \sqrt{b}$ મળે છે.
સરખામણી કરતા,$a = -1$ અને $b = 12$ મળે.
તેથી,$(a, b) = (-1, 12)$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3^x - 3^{x - 1} = 6$
આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$3^x - \frac{3^x}{3} = 6$
ધારો કે $3^x = t$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$t - \frac{t}{3} = 6$
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3t - t = 18$
$2t = 18$
$t = 9$
કારણ કે $t = 3^x$,તેથી:
$3^x = 9 = 3^2$
તેથી,$x = 2$.
હવે,$x^x$ ની ગણતરી કરતા:
$x^x = 2^2 = 4$.

(A) આપણે $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ અને $(x^a)^b = x^{ab}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: ${\left( {\frac{{{x^l}}}{{{x^m}}}} \right)^{{l^2} + lm + {m^2}}} {\left( {\frac{{{x^m}}}{{{x^n}}}} \right)^{{m^2} + nm + {n^2}}} {\left( {\frac{{{x^n}}}{{{x^l}}}} \right)^{{n^2} + nl + {l^2}}}$
$= {({x^{l - m}})^{({l^2} + lm + {m^2})}} {({x^{m - n}})^{({m^2} + nm + {n^2})}} {({x^{n - l}})^{({n^2} + nl + {l^2})}}$
$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= {x^{{l^3} - {m^3}}} \cdot {x^{{m^3} - {n^3}}} \cdot {x^{{n^3} - {l^3}}}$
$= {x^{{l^3} - {m^3} + {m^3} - {n^3} + {n^3} - {l^3}}}$
$= {x^0} = 1$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{2 \cdot 3^{n+1} + 7 \cdot 3^{n-1}}{3^{n+2} - 2 \cdot (3^{-1})^{1-n}}$
$= \frac{2 \cdot 3^{n-1} \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^{n-1}}{3^{n-1} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^{n-1}}$
$= \frac{3^{n-1} (2 \cdot 9 + 7)}{3^{n-1} (27 - 2)}$
$= \frac{18 + 7}{27 - 2}$
$= \frac{25}{25} = 1$

(C) આપેલ સમીકરણ: ${\left( \frac{2}{3} \right)^{x + 2}} = {\left( \frac{3}{2} \right)^{2 - 2x}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{3}{2} = {\left( \frac{2}{3} \right)^{-1}}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: ${\left( \frac{2}{3} \right)^{x + 2}} = {\left( {\left( \frac{2}{3} \right)^{-1}} \right)^{2 - 2x}}$
${\left( \frac{2}{3} \right)^{x + 2}} = {\left( \frac{2}{3} \right)^{-(2 - 2x)}}$
${\left( \frac{2}{3} \right)^{x + 2}} = {\left( \frac{2}{3} \right)^{2x - 2}}$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા: $x + 2 = 2x - 2$
$2 + 2 = 2x - x$
$x = 4$

(A) $\sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{11}, \sqrt[6]{17}$ ની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન મૂળ ઘાતાંકમાં ફેરવીએ છીએ.
$3, 4, 6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(L.C.M.)$ $12$ છે.
$\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = (9^4)^{1/12} = (6561)^{1/12}$
$\sqrt[4]{11} = 11^{1/4} = (11^3)^{1/12} = (1331)^{1/12}$
$\sqrt[6]{17} = 17^{1/6} = (17^2)^{1/12} = (289)^{1/12}$
કૌંસની અંદરની કિંમતોની સરખામણી કરતા: $6561 > 1331 > 289$.
તેથી,$\sqrt[3]{9}$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે.

(C) આપેલ પદ $= \frac{15}{\sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{40} - \sqrt{5} - \sqrt{80}}$
છેદમાં રહેલા કરણીઓનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$,$\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$,$\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{15}{\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} - \sqrt{5} - 4\sqrt{5}}$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$= \frac{15}{3\sqrt{10} - 3\sqrt{5}} = \frac{15}{3(\sqrt{10} - \sqrt{5})} = \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{10} + \sqrt{5}}{\sqrt{10} + \sqrt{5}}$
$= \frac{5(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{10 - 5} = \frac{5(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{5} = \sqrt{10} + \sqrt{5}$
$\sqrt{5}$ સામાન્ય કાઢતા:
$= \sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)$

(D) ધારો કે $x = a^{1/3}$ અને $y = a^{-1/3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ છે.
અહીં,$x^3 = (a^{1/3})^3 = a$ અને $y^3 = (a^{-1/3})^3 = a^{-1}$.
$(x + y)$ પદને સંમેયીકરણ કરવા માટે,તેને $(x^2 - xy + y^2)$ વડે ગુણવું પડે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x^2 = (a^{1/3})^2 = a^{2/3}$
$y^2 = (a^{-1/3})^2 = a^{-2/3}$
$xy = a^{1/3} \times a^{-1/3} = a^{1/3 - 1/3} = a^0 = 1$.
તેથી,સંમેયીકારક અવયવ $a^{2/3} + a^{-2/3} - 1$ છે.

(C) ધારો કે $\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 + \sqrt{5} = x + y + 2\sqrt{xy}$ મળે.
સરખામણી કરતા,$x + y = 3$ અને $2\sqrt{xy} = \sqrt{5}$,એટલે કે $4xy = 5$ અથવા $xy = \frac{5}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 3^2 - 4(\frac{5}{4}) = 9 - 5 = 4$.
તેથી,$x - y = 2$.
$x + y = 3$ અને $x - y = 2$ ઉકેલતા,$x = \frac{5}{2}$ અને $y = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $({x^5})^{1/3} \times (16{x^3})^{2/3} \times \left( \frac{1}{4}{x^{4/9}} \right)^{-3/2}$
પગલું $1$: ઘાતાંકના નિયમો $(a^m)^n = a^{mn}$ નો ઉપયોગ કરીને દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો.
$({x^5})^{1/3} = x^{5/3}$
$(16{x^3})^{2/3} = (2^4)^{2/3} \times (x^3)^{2/3} = 2^{8/3} \times x^2$
$\left( \frac{1}{4}{x^{4/9}} \right)^{-3/2} = (4^{-1} \times x^{4/9})^{-3/2} = (2^{-2})^{-3/2} \times (x^{4/9})^{-3/2} = 2^3 \times x^{-6/9} = 8 \times x^{-2/3}$
પગલું $2$: સાદું રૂપ આપેલા પદોનો ગુણાકાર કરો.
$x^{5/3} \times 2^{8/3} \times x^2 \times 2^3 \times x^{-2/3}$
$= 2^{8/3 + 3} \times x^{5/3 + 2 - 2/3}$
$= 2^{17/3} \times x^3$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z} = k$ $(k \neq 1)$.
તેથી $a = k^x$,$b = k^y$,અને $c = k^z$.
આપણને શરત $b^2 = ac$ આપેલી છે.
$a, b, c$ ની કિંમતો $k$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$(k^y)^2 = (k^x)(k^z)$
$k^{2y} = k^{x+z}$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$2y = x + z$
તેથી,$x + z = 2y$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{{({2^{n + 1}})^m}({2^{2n}}){2^n}}{{({2^{m + 1}})^n}{2^{2m}}} = 1$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: ${2^{m(n+1)}} \cdot {2^{2n}} \cdot {2^n} = {2^{mn + m + 3n}}$
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: ${2^{n(m+1)}} \cdot {2^{2m}} = {2^{nm + n + 2m}}$
અંશ અને છેદને સરખાવતા: ${2^{mn + m + 3n}} = {2^{nm + n + 2m}}$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવો: $mn + m + 3n = nm + n + 2m$
બંને બાજુથી $mn$ બાદ કરતા: $m + 3n = n + 2m$
પદોને ગોઠવતા: $3n - n = 2m - m$
તેથી: $2n = m$
આમ,$m = 2n$.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${x^{x \cdot x^{1/3}}} = {(x \cdot x^{1/3})^x}$.
ઘાતાંકનું સાદુંરૂપ આપતા: ${x^{x^{4/3}}} = {(x^{4/3})^x}$.
આથી: ${x^{x^{4/3}}} = {x^{(4/3)x}}$.
જો આધાર સમાન હોય,તો ઘાતાંક સમાન હોવા જોઈએ (ધારો કે $x > 0$ અને $x \neq 1$):
${x^{4/3}} = \frac{4}{3}x$.
$x$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \neq 0$):
${x^{1/3}} = \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$x = (\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x)^{x\sqrt{x}} = (x\sqrt{x})^x$
જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય: $(x \cdot x^{1/2})^x = (x^{3/2})^x = x^{3x/2}$
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $x^{x\sqrt{x}} = x^{3x/2}$
આનો અર્થ એ છે કે $x^{x^{3/2}} = x^{3x/2}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $x^{3/2} = \frac{3x}{2}$
$x$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$): $x^{1/2} = \frac{3}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
આમ,ઉકેલ $x = \frac{9}{4}$ છે.

(B, C) આપેલ સમીકરણ: $5^{x-1} + 5 \cdot (0.2)^{x-2} = 26$
$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ હોવાથી,સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$5^{x-1} + 5 \cdot (5^{-1})^{x-2} = 26$
$5^{x-1} + 5 \cdot 5^{-x+2} = 26$
$5^{x-1} + 5^{3-x} = 26$
ધારો કે $y = 5^{x-1}$. તો $5^{3-x} = \frac{25}{y}$.
સમીકરણ બનશે: $y + \frac{25}{y} = 26$
$y^2 - 26y + 25 = 0$
$(y-25)(y-1) = 0$
તેથી,$y = 25$ અથવા $y = 1$.
કિસ્સો $1$: $5^{x-1} = 25 = 5^2 \implies x = 3$.
કિસ્સો $2$: $5^{x-1} = 1 = 5^0 \implies x = 1$.
આમ,$x$ ની કિંમત $1$ અથવા $3$ હોઈ શકે છે.

(C) ધારો કે $x = \frac{12}{3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે પદોને $(3 + \sqrt{5}) - 2\sqrt{2}$ તરીકે જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ.
અંશ અને છેદને $(3 + \sqrt{5}) + 2\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$x = \frac{12(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{(3 + \sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$x = \frac{12(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{(9 + 5 + 6\sqrt{5}) - 8}$
$x = \frac{12(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{6 + 6\sqrt{5}}$
$x = \frac{12(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{6(1 + \sqrt{5})} = \frac{2(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{1 + \sqrt{5}}$
ફરીથી $(\sqrt{5} - 1)$ વડે ગુણીને સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{2(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(3\sqrt{5} - 3 + 5 - \sqrt{5} + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{2})}{4}$
$x = \frac{2(2 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{2})}{4} = \frac{4(1 + \sqrt{5} + \sqrt{10} - \sqrt{2})}{4}$
$x = 1 + \sqrt{5} + \sqrt{10} - \sqrt{2}$.

(A) અંશનું સાદું રૂપ: $\sqrt{5/2} + \sqrt{7 - 3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$.
અહીં $14 - 6\sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2$ છે.
તેથી અંશ $\frac{\sqrt{10} + 3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ થાય.
છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{7/2} + \sqrt{16 - 5\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}$.
અહીં $32 - 10\sqrt{7} = (5 - \sqrt{7})^2$ છે.
તેથી છેદ $\frac{\sqrt{14} + 5 - \sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,અંતિમ જવાબ $1$ (સંમેય) મળે છે.

(B) ધારો કે $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$x = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}})}$
$x = \frac{2}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}$
અહીં $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$ અને $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2}{(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)}$
$x = \frac{2}{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}$
$x = \frac{2}{2} = 1$.

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે પદને $\frac{4}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}$ તરીકે લખીએ છીએ.
અંશ અને છેદને $(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$\frac{4((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3})}{((1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3})((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3})}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{1 + 2 + 2\sqrt{2} - 3}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{2(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{2}(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})$
$= \sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}$
$= 2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$.

(D) દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
પ્રથમ પદ: $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{6 - 3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$
બીજું પદ: $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$
ત્રીજું પદ: $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
બધા પદોનો સરવાળો કરતા:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) - (3\sqrt{2} - \sqrt{6}) + (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = 0$

(B) $a - b$ સ્વરૂપની પદાવલિનો સંમેયીકરણ અવયવ શોધવા માટે,આપણે તેને તેના અનુબદ્ધ $a + b$ સાથે ગુણીએ છીએ જેથી વર્ગમૂળ દૂર થાય.
આપેલ પદાવલિ: $2\sqrt{3} - \sqrt{7}$.
તેનો અનુબદ્ધ $2\sqrt{3} + \sqrt{7}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $(2\sqrt{3} - \sqrt{7})(2\sqrt{3} + \sqrt{7}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = (4 \times 3) - 7 = 12 - 7 = 5$.
$5$ એ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,સંમેયીકરણ અવયવ $2\sqrt{3} + \sqrt{7}$ છે.

(B) $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે $\sqrt{2}$ વડે ગુણીશું અને ભાગીશું:
$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6 + 2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}$
તે જ રીતે,$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ માટે:
$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}$
હવે,બંને પદોની બાદબાકી કરતા:
$(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}) = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે $x = 2 + \sqrt{3}$ અને $xy = 1$.
તેથી $y = \frac{1}{x} = 2 - \sqrt{3}$.
$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$ અને $\sqrt{y} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $x = 3 - \sqrt{5}$.
પ્રથમ,$3x - 2$ ની ગણતરી કરો:
$3x - 2 = 3(3 - \sqrt{5}) - 2 = 9 - 3\sqrt{5} - 2 = 7 - 3\sqrt{5}$.
$\sqrt{7 - 3\sqrt{5}}$ ને સરળ બનાવવા માટે,$\sqrt{2}$ વડે ગુણો અને ભાગો:
$\sqrt{7 - 3\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{14 - 6\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{14 - 2\sqrt{45}}}{\sqrt{2}}$.
$9 + 5 = 14$ અને $9 \times 5 = 45$ હોવાથી,$\sqrt{14 - 2\sqrt{45}} = \sqrt{9} - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5}$.
તેથી,$\sqrt{3x - 2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
હવે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકો:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{x}}{\frac{2 + 3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{5 - \sqrt{5}}$.
$x = 3 - \sqrt{5}$ હોવાથી,$\sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$.
કિંમત મૂકતા: $\frac{\sqrt{5} - 1}{5 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(D) આપણને $a = \sqrt{21} - \sqrt{20}$ અને $b = \sqrt{18} - \sqrt{17}$ આપેલ છે.
$a$ અને $b$ ની સરખામણી કરવા માટે,આપણે પદોનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$a = \frac{(\sqrt{21} - \sqrt{20})(\sqrt{21} + \sqrt{20})}{\sqrt{21} + \sqrt{20}} = \frac{21 - 20}{\sqrt{21} + \sqrt{20}} = \frac{1}{\sqrt{21} + \sqrt{20}}$.
તે જ રીતે,$b = \frac{(\sqrt{18} - \sqrt{17})(\sqrt{18} + \sqrt{17})}{\sqrt{18} + \sqrt{17}} = \frac{18 - 17}{\sqrt{18} + \sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{18} + \sqrt{17}}$.
કારણ કે $\sqrt{21} + \sqrt{20} > \sqrt{18} + \sqrt{17}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{21} + \sqrt{20}} < \frac{1}{\sqrt{18} + \sqrt{17}}$.
આમ,$a < b$.

(D) પ્રથમ,$\sqrt{6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}$ પદનું સાદું રૂપ આપો.
આ $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca} = a + b + c$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 = 3$,તેથી $a=1, b=\sqrt{2}, c=\sqrt{3}$.
આમ,$\sqrt{6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$.
હવે,$\frac{1}{\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}$ નું સાદું રૂપ આપો.
નોંધો કે $5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \times 2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
અંતે,પદાવલિની ગણતરી કરો: $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2}$.

(B) $11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,અને આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યાનું વર્ગમૂળ એ અસંમેય સંખ્યા હોય છે.
તેથી,$\sqrt{11}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
આમ,આપેલ વિધાન $t$ અસત્ય છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
આપેલ છે કે $p, q, r \in \mathbb{Q}^{+}$ અને $x = \sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} \in \mathbb{Q}$.
જો $\sqrt{p}, \sqrt{q}, \sqrt{r}$ માંથી કોઈ પણ અસંમેય હોય,ધારો કે $\sqrt{p}$,તો આપણે લખી શકીએ $\sqrt{p} = x - (\sqrt{q}+\sqrt{r})$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$p = x^2 + q + r + 2\sqrt{qr} - 2x(\sqrt{q}+\sqrt{r})$.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{qr}$ એ કોઈ સંમેય $a, b, c$ માટે $a + b\sqrt{q} + c\sqrt{r}$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
આ કિસ્સાઓનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે જ્યારે $p, q, r$ સંમેય હોય ત્યારે સરવાળો સંમેય હોવા માટે દરેક પદ $\sqrt{p}, \sqrt{q}, \sqrt{r}$ પોતે સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.

(C) આપણી પાસે છે,
$16^5 \times 5^{16} = (2^4)^5 \times 5^{16}$
$= 2^{20} \times 5^{16}$
$= 2^4 \times 2^{16} \times 5^{16}$
$= 16 \times (2 \times 5)^{16}$
$= 16 \times 10^{16}$
$= 160000000000000000$
આ સંખ્યામાં $2$ અંકો ($1$ અને $6$) અને ત્યારબાદ $16$ શૂન્ય છે.
તેથી,કુલ અંકોની સંખ્યા $2 + 16 = 18$ છે.

(A) કોઈ સંખ્યા $x$ નું પાંચમું મૂળ $x^{1/5}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ: $\left(10^{10^{10}}\right)^{\frac{1}{5}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 10^{10^{10} \times \frac{1}{5}}$.
અહીં $10^{10}$ ને $10 \times 10^9$ તરીકે લખી શકાય:
$= 10^{\frac{10}{5} \times 10^9}$.
$= 10^{2 \times 10^9}$.