Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} + \lambda x - 1 = 0$ है,जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{\lambda}{3}$ और $\alpha\beta = -\frac{1}{3}$ है।
मूलों के व्युत्क्रमों के वर्गों का योग $\frac{1}{\alpha^{2}} + \frac{1}{\beta^{2}} = 15$ दिया गया है।
इसे सरल करने पर $\frac{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^{2}} = 15$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{(-\lambda/3)^{2} - 2(-1/3)}{(-1/3)^{2}} = 15$.
$\frac{\lambda^{2}/9 + 2/3}{1/9} = 15 \implies \lambda^{2} + 6 = 15 \implies \lambda^{2} = 9$.
अब,$6(\alpha^{3} + \beta^{3})^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^{2} - 3\alpha\beta) = (-\frac{\lambda}{3})(\frac{\lambda^{2}}{9} + 1)$.
चूँकि $\lambda^{2} = 9$,$\alpha^{3} + \beta^{3} = (-\frac{\lambda}{3})(1 + 1) = -\frac{2\lambda}{3}$.
अतः $6(\alpha^{3} + \beta^{3})^{2} = 6(-\frac{2\lambda}{3})^{2} = 6(\frac{4 \times 9}{9}) = 24$.

(B) दिया गया समीकरण $x^{4}-3x^{3}-2x^{2}+3x-9=0$ है।
गुणनखंड करने पर $(x^{2}+3)(x^{2}-3x-3)=0$ प्राप्त होता है।
$x^{2}+3=0$ के मूल $i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$ हैं,जिनके घनों का योग $0$ है।
$x^{2}-3x-3=0$ के मूलों $\alpha, \beta$ के लिए $\alpha+\beta=3$ और $\alpha\beta=-3$ है।
मूलों के घनों का योग $(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 27-3(-3)(3) = 54$ है।

(A) मान लीजिए द्विघात बहुपद $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)$ है। चूँकि एक मूल $-1$ है,मान लीजिए $\alpha = -1$ है। तब $f(x) = a(x + 1)(x - \beta)$ होगा।
दिया गया है कि $f(-2) + f(3) = 0$ है।
$f(-2) = a(-2 + 1)(-2 - \beta) = a(-1)(-2 - \beta) = a(2 + \beta)$।
$f(3) = a(3 + 1)(3 - \beta) = a(4)(3 - \beta) = a(12 - 4\beta)$।
इनका योग करने पर: $a(2 + \beta + 12 - 4\beta) = 0$।
चूँकि $a \neq 0$,इसलिए $14 - 3\beta = 0$ होगा,जिससे $\beta = \frac{14}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः मूल $-1$ और $\frac{14}{3}$ हैं।
मूलों का योग $-1 + \frac{14}{3} = \frac{-3 + 14}{3} = \frac{11}{3}$ है।

(C) समीकरण $x^{2}-8ax+2a=0$ के लिए,मूल $p$ और $r$ हैं। अतः,$p+r=8a$ और $pr=2a$ है।
तब $\frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{p+r}{pr} = \frac{8a}{2a} = 4$ है।
समीकरण $x^{2}+12bx+6b=0$ के लिए,मूल $q$ और $s$ हैं। अतः,$q+s=-12b$ और $qs=6b$ है।
तब $\frac{1}{q}+\frac{1}{s} = \frac{q+s}{qs} = \frac{-12b}{6b} = -2$ है।
मान लीजिए कि समांतर श्रेणी $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}, \frac{1}{s}$ का सार्व अंतर $d$ है।
तब $\frac{1}{q} = \frac{1}{p}+d$,$\frac{1}{r} = \frac{1}{p}+2d$,और $\frac{1}{s} = \frac{1}{p}+3d$ है।
हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{2}{p}+2d = 4$,इसलिए $\frac{1}{p}+d = 2$ है। अतः $\frac{1}{q} = 2$ है।
हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{q}+\frac{1}{s} = \frac{2}{q}+2d = -2$,इसलिए $\frac{1}{q}+d = -1$ है।
चूंकि $\frac{1}{q}=2$ है,इसलिए $2+d=-1$,यानी $d=-3$ है।
तब $\frac{1}{p} = \frac{1}{q}-d = 2-(-3) = 5$,इसलिए $p = \frac{1}{5}$ है।
चूंकि $pr=2a$ है,इसलिए $r = \frac{2a}{p} = 10a$ है।
साथ ही $\frac{1}{r} = \frac{1}{p}+2d = 5+2(-3) = -1$,इसलिए $r = -1$ है।
अतः $10a = -1$,जिससे $a = -\frac{1}{10}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^{-1} = -10$ है।
साथ ही $\frac{1}{s} = \frac{1}{q}+2d = 2+2(-3) = -4$,इसलिए $s = -\frac{1}{4}$ है।
चूंकि $qs=6b$ है,$q = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $b = \frac{qs}{6} = \frac{(1/2)(-1/4)}{6} = -\frac{1}{48}$ है,इसलिए $b^{-1} = -48$ है।
अंत में,$a^{-1}-b^{-1} = -10 - (-48) = 38$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण $x^{2}+(3-a)x+(1-2a)=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -(3-a) = a-3$ और $\alpha\beta = 1-2a$ प्राप्त होता है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$f(a) = (a-3)^{2} - 2(1-2a)$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$f(a) = a^{2} - 6a + 9 - 2 + 4a = a^{2} - 2a + 7$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(a) = (a^{2} - 2a + 1) + 6 = (a-1)^{2} + 6$।
चूंकि $(a-1)^{2} \geq 0$,इसलिए $f(a)$ का न्यूनतम मान $6$ है जब $a=1$ हो।

(D) दिया गया समीकरण: $x^{2}-\left(5+3^{\sqrt{\log _{3} 5}}-5^{\sqrt{\log _{5} 3}}\right)x+3\left(3^{\left(\log _{3} 5\right)^{\frac{1}{3}}}-5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}}-1\right)=0$.
गुणांकों को सरल करने पर:
$3^{\sqrt{\log _{3} 5}} = 5^{\sqrt{\log _{5} 3}}$.
अतः,$x$ का गुणांक $-(5 + 5^{\sqrt{\log _{5} 3}} - 5^{\sqrt{\log _{5} 3}}) = -5$ है।
इसी प्रकार,अचर पद $3(5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}} - 5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}} - 1) = -3$ है।
समीकरण $x^{2}-5x-3=0$ बन जाता है।
यहाँ $\alpha+\beta=5$ और $\alpha\beta=-3$ है।
नए मूल $\frac{-2}{\beta}$ और $\frac{-2}{\alpha}$ हैं।
माना $t = \frac{-2}{\alpha}$,तो $\alpha = \frac{-2}{t}$।
$x^{2}-5x-3=0$ में मान रखने पर:
$(\frac{-2}{t})^{2} - 5(\frac{-2}{t}) - 3 = 0 \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} + \frac{10}{t} - 3 = 0$.
$t^{2}$ से गुणा करने पर: $4 + 10t - 3t^{2} = 0 \Rightarrow 3t^{2}-10t-4=0$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x^{2}-10x-4=0$ है।

(C) दिया गया घन समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $a, b, c$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a+b+c = -a \implies 2a+b+c = 0$ $(i)$
$ab+bc+ca = b$ (ii)
$abc = -c \implies ab = -1$ (चूंकि $c \neq 0$) (iii)
(iii) से,$b = -\frac{1}{a}$.
$b$ का मान $(i)$ में रखने पर: $2a - \frac{1}{a} + c = 0 \implies c = \frac{1}{a} - 2a$.
$b$ और $c$ का मान (ii) में रखने पर:
$ab + c(a+b) = b$
$-1 + (\frac{1}{a} - 2a)(a - \frac{1}{a}) = -\frac{1}{a}$
$-1 + (1 - \frac{1}{a^2} - 2a^2 + 2) = -\frac{1}{a}$
$2 - \frac{1}{a^2} - 2a^2 = -\frac{1}{a}$
$a^2$ से गुणा करने पर: $2a^2 - 1 - 2a^4 = -a$
$2a^4 - 2a^2 - a + 1 = 0$
$(a-1)(2a^3+2a^2-1) = 0$.
$a=1$ के लिए,$b=-1, c=-1$. मूल $1, -1, -1$ हैं। जांच: $x^3+x^2-x-1=0 \implies (x-1)(x+1)^2=0$. मूल $1, -1, -1$ हैं। यह सही है।
$2a^3+2a^2-1=0$ के लिए,एक वास्तविक मूल $a \approx 0.589$ प्राप्त होता है। यह दूसरी मान्य त्रिक $(a, b, c)$ देता है।
अतः,ऐसी केवल दो त्रिक हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = x^6 - 2x^5 + x^3 + x^2 - x - 1$ और $g(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1$।
$f(x)$ को $g(x)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = (x^2 - x)g(x) + (2x^2 - 2x - 1)$।
चूंकि $a, b, c, d$,$g(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $g(a) = g(b) = g(c) = g(d) = 0$।
अतः,$f(a) = 2a^2 - 2a - 1$,$f(b) = 2b^2 - 2b - 1$,$f(c) = 2c^2 - 2c - 1$,और $f(d) = 2d^2 - 2d - 1$।
इनका योग करने पर,$\sum f(a) = 2\sum a^2 - 2\sum a - 4$।
$g(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1 = 0$ के लिए,विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\sum a = 1$ और $\sum ab = -1$।
हम जानते हैं कि $\sum a^2 = (\sum a)^2 - 2\sum ab = (1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\sum f(a) = 2(3) - 2(1) - 4 = 6 - 2 - 4 = 0$।

(B) माना $f(x) = x^3 - 27x + k = 0$ है। माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। चूंकि $x^2$ का गुणांक $0$ है,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = 0$ है। यदि दो मूल भिन्न पूर्णांक हैं,तो तीसरा मूल भी एक पूर्णांक होगा।
माना मूल $x_1, x_2, x_3$ हैं। तब $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ और $x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -27$ है।
$x_3 = -(x_1 + x_2)$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x_1 x_2 - (x_1 + x_2)^2 = -27$,जो सरल होकर $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = 27$ हो जाता है।
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। हम पूर्णांक हल $(x_1, x_2)$ ज्ञात करते हैं।
यदि $x_1 = 3$ है,तो $x_2^2 + 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2+6)(x_2-3) = 0$। अतः $x_2 = 3$ या $x_2 = -6$। इस स्थिति में $k = 54$ है।
यदि $x_1 = -3$ है,तो $x_2^2 - 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2-6)(x_2+3) = 0$। अतः $x_2 = 6$ या $x_2 = -3$। इस स्थिति में $k = -54$ है।
अतः,$k$ के $2$ संभावित मान हैं।

(C) दिया गया है $p(x)=ax^2+bx+c$ जहाँ $a, b, c > 0$ और $2b=a+c$ है,अर्थात $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
$\alpha, \beta$ समीकरण $p(x)=0$ के पूर्णांक मूल हैं। अतः $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$।
चूंकि $b = \frac{a+c}{2}$,इसलिए $\alpha+\beta = -\frac{a+c}{2a} = -\frac{1}{2} - \frac{c}{2a}$।
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha+\beta = -\frac{1}{2} - \frac{\alpha\beta}{2} \Rightarrow \alpha\beta + 2\alpha + 2\beta = -1$।
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर: $(\alpha+2)(\beta+2) = 3$।
पूर्णांक हलों के लिए $(\alpha+2, \beta+2)$ के संभावित जोड़े $(-1, -3)$ हैं,जिससे $\alpha=-3, \beta=-5$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha+\beta+\alpha\beta = -3-5+15 = 7$।

(C) माना समीकरण $x^2+bx+a=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास $\alpha+\beta = -b$ और $\alpha\beta = a$ है।
दिया गया है कि समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूल पहले समीकरण के मूलों से $1$ अधिक हैं,इसलिए मूल $(\alpha+1)$ और $(\beta+1)$ हैं।
दूसरे समीकरण के लिए मूलों के गुणों से:
$(\alpha+1)+(\beta+1) = -a \implies \alpha+\beta+2 = -a$.
$\alpha+\beta = -b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-b+2 = -a$ प्राप्त होता है,जो $a-b = -2$ (समीकरण $1$) में सरल हो जाता है।
साथ ही,$(\alpha+1)(\beta+1) = b \implies \alpha\beta + \alpha+\beta + 1 = b$.
$\alpha\beta = a$ और $\alpha+\beta = -b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a-b+1 = b$ प्राप्त होता है,जो $a-2b = -1$ (समीकरण $2$) में सरल हो जाता है।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ घटाने पर: $(a-b) - (a-2b) = -2 - (-1) \implies b = -1$.
$b = -1$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a - (-1) = -2 \implies a+1 = -2 \implies a = -3$.
अतः,$a+b = -3 + (-1) = -4$.

(C) समीकरण $14 x^2-31 x+3 \lambda=0$ के लिए,$\alpha+\beta=\frac{31}{14}$ और $\alpha \beta=\frac{3 \lambda}{14}$ है।
समीकरण $35 x^2-53 x+4 \lambda=0$ के लिए,$\alpha+\gamma=\frac{53}{35}$ और $\alpha \gamma=\frac{4 \lambda}{35}$ है।
$\alpha$ के लिए दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha+\beta)-(\alpha+\gamma) = \frac{31}{14}-\frac{53}{35} \Rightarrow \beta-\gamma = \frac{7}{10}$ प्राप्त होता है।
$\alpha \beta = \frac{3 \lambda}{14}$ और $\alpha \gamma = \frac{4 \lambda}{35}$ से,$\frac{\beta}{\gamma} = \frac{15}{8}$,अतः $\beta = \frac{15}{8} \gamma$ है।
$\beta-\gamma = \frac{7}{10}$ में $\beta$ का मान रखने पर: $\frac{7}{8} \gamma = \frac{7}{10} \Rightarrow \gamma = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $\beta = \frac{3}{2}$ और $\alpha = \frac{5}{7}$ है।
अब,$\lambda = 5$ है।
आवश्यक समीकरण के मूल $x_1 = \frac{10}{7}$ और $x_2 = \frac{25}{7}$ हैं।
मूलों का योग: $x_1+x_2 = 5$ है।
मूलों का गुणनफल: $x_1 x_2 = \frac{250}{49}$ है।
अतः,आवश्यक समीकरण $49 x^2 - 245 x + 250 = 0$ है।

(B) दिए गए समीकरण $x^2-x-1=0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $\alpha^2 = \alpha + 1$ और $\beta^2 = \beta + 1$ को संतुष्ट करते हैं।
दिया गया है $S_n = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n$।
$S_{n-1} + S_{n-2} = (2023 \alpha^{n-1} + 2024 \beta^{n-1}) + (2023 \alpha^{n-2} + 2024 \beta^{n-2})$ पर विचार करें।
$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha + 1) + 2024 \beta^{n-2}(\beta + 1)$।
चूंकि $\alpha + 1 = \alpha^2$ और $\beta + 1 = \beta^2$,इसलिए:
$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha^2) + 2024 \beta^{n-2}(\beta^2) = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n = S_n$।
अतः,$S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$।
$n=12$ रखने पर,हमें $S_{12} = S_{11} + S_{10}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $px^2+qx-r=0$ है। चूँकि $p, q, r$ एक $G$.$P$. के लगातार पद हैं,हम $q=pk$ और $r=pk^2$ ले सकते हैं।
समीकरण में मान रखने पर: $px^2+pkx-pk^2=0$.
$p$ से विभाजित करने पर: $x^2+kx-k^2=0$.
मूलों $\alpha, \beta$ के लिए,$\alpha+\beta = -k$ और $\alpha\beta = -k^2$ है।
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-k}{-k^2} = \frac{1}{k} = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{4}{3}$।
$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (-k)^2 - 4(-k^2) = 5k^2$।
$k = \frac{4}{3}$ रखने पर: $(\alpha-\beta)^2 = 5 \times (\frac{4}{3})^2 = 5 \times \frac{16}{9} = \frac{80}{9}$।

(D) समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल $2$ और $6$ दिए गए हैं।
मूलों का योग: $2 + 6 = 8 = -\frac{b}{a} \implies b = -8a$.
मूलों का गुणनफल: $2 \times 6 = 12 = \frac{1}{a} \implies a = \frac{1}{12}$.
$a$ का मान $b = -8a$ में रखने पर: $b = -8 \times \frac{1}{12} = -\frac{2}{3}$.
अब,नए मूलों की गणना करें:
मूल $1 = \frac{1}{2a + b} = \frac{1}{2(\frac{1}{12}) - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{6} - \frac{4}{6}} = \frac{1}{-\frac{3}{6}} = -2$.
मूल $2 = \frac{1}{6a + b} = \frac{1}{6(\frac{1}{12}) - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$.
$-2$ और $-6$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $(x + 2)(x + 6) = 0$ है।
$x^2 + 8x + 12 = 0$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + \sqrt{2}x - 8 = 0$ के मूल हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha - 8 = 0 \implies \alpha^2 + \sqrt{2}\alpha = 8$
$\beta^2 + \sqrt{2}\beta - 8 = 0 \implies \beta^2 + \sqrt{2}\beta = 8$
हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है:
$E = \frac{U_{10} + \sqrt{2}U_9}{2U_8} = \frac{(\alpha^{10} + \beta^{10}) + \sqrt{2}(\alpha^9 + \beta^9)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
अंश को व्यवस्थित करने पर:
$E = \frac{\alpha^8(\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha) + \beta^8(\beta^2 + \sqrt{2}\beta)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
$\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha = 8$ और $\beta^2 + \sqrt{2}\beta = 8$ के मान रखने पर:
$E = \frac{\alpha^8(8) + \beta^8(8)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
$E = \frac{8(\alpha^8 + \beta^8)}{2(\alpha^8 + \beta^8)} = \frac{8}{2} = 4$

(C) दिया गया समीकरण: $x^2+2 \sqrt{2} x-1=0$
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -2 \sqrt{2}$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = -1$
$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha \beta = (-2 \sqrt{2})^2 - 2(-1) = 8+2 = 10$
$\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha \beta)^2 = (10)^2 - 2(-1)^2 = 100-2 = 98$
$\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2+\beta^2)(\alpha^4 - \alpha^2 \beta^2 + \beta^4) = (10)(98 - (-1)^2) = 10(97) = 970$
नए समीकरण के मूल $98$ और $\frac{1}{10}(970) = 97$ हैं।
नए मूलों का योग: $98+97 = 195$
नए मूलों का गुणनफल: $98 \times 97 = 9506$
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - 195x + 9506 = 0$ है।

(B) समीकरण $x^2 - \sqrt{2}x - \sqrt{3} = 0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ निम्न संबंध को संतुष्ट करते हैं:
$P_{n+2} = \sqrt{2}P_{n+1} + \sqrt{3}P_n$
$n=10$ के लिए,$P_{12} = \sqrt{2}P_{11} + \sqrt{3}P_{10}$
$n=9$ के लिए,$P_{11} = \sqrt{2}P_{10} + \sqrt{3}P_9 \Rightarrow \sqrt{3}P_9 = P_{11} - \sqrt{2}P_{10}$
दी गई अभिव्यक्ति में मान रखने पर:
$E = (11\sqrt{3} - 10\sqrt{2})P_{10} + (11\sqrt{2} + 10)P_{11} - 11(\sqrt{2}P_{11} + \sqrt{3}P_{10})$
$E = 10(P_{11} - \sqrt{2}P_{10}) = 10(\sqrt{3}P_9) = 10\sqrt{3}P_9$.

(B, D) $(1)$ Since $\alpha$ and $\beta$ are roots of $x^2-x-1=0$,we have $\alpha^2 = \alpha+1$ and $\beta^2 = \beta+1$.
Multiplying by $\alpha^{n-2}$ and $\beta^{n-2}$ respectively: $\alpha^n = \alpha^{n-1} + \alpha^{n-2}$ and $\beta^n = \beta^{n-1} + \beta^{n-2}$.
Multiplying by $p$ and $q$ and adding: $p\alpha^n + q\beta^n = (p\alpha^{n-1} + q\beta^{n-1}) + (p\alpha^{n-2} + q\beta^{n-2})$.
Thus,$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$. For $n=12$,$a_{12} = a_{11} + a_{10}$. Option $B$ is correct.
$(2)$ We have $a_0 = p+q$,$a_1 = p\alpha + q\beta$,$a_2 = p\alpha^2 + q\beta^2 = p(\alpha+1) + q(\beta+1) = a_1 + a_0$,$a_3 = a_2 + a_1 = 2a_1 + a_0$,$a_4 = a_3 + a_2 = 3a_1 + 2a_0$.
Given $a_4 = 3(p\alpha + q\beta) + 2(p+q) = 28$.
Since $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ and $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$,$3p(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) + 3q(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) + 2p + 2q = 28$.
$\frac{3p+3p\sqrt{5}+3q-3q\sqrt{5}}{2} + 2p + 2q = 28$.
$(3.5p + 3.5q) + \frac{3\sqrt{5}}{2}(p-q) = 28$.
Since $28$ is rational,$p-q=0 \Rightarrow p=q$.
$7p = 28 \Rightarrow p=4, q=4$.
Then $p+2q = 4 + 2(4) = 12$. Option $D$ is correct.

(B) दिया गया है कि $\alpha+\beta = -p$ और $\alpha^3+\beta^3 = q$ है।
सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ का उपयोग करने पर,$q = (-p)^3 - 3\alpha\beta(-p) = -p^3 + 3p\alpha\beta$ प्राप्त होता है।
अतः,$3p\alpha\beta = p^3+q$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = \frac{p^3+q}{3p}$।
$\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha})x + 1 = 0$ है।
यह $x^2 - (\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta})x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-p)^2 - 2(\frac{p^3+q}{3p}) = p^2 - \frac{2(p^3+q)}{3p} = \frac{3p^3 - 2p^3 - 2q}{3p} = \frac{p^3-2q}{3p}$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 - (\frac{(p^3-2q)/3p}{(p^3+q)/3p})x + 1 = 0$।
$x^2 - (\frac{p^3-2q}{p^3+q})x + 1 = 0$।
$(p^3+q)$ से गुणा करने पर,हमें $(p^3+q)x^2 - (p^3-2q)x + (p^3+q) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-6x-2=0$ के मूल हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2-6\alpha-2=0 \implies \alpha^2 = 6\alpha + 2$
$\beta^2-6\beta-2=0 \implies \beta^2 = 6\beta + 2$
दिया गया है $a_n = \alpha^n - \beta^n$,इसलिए $a_{10} = \alpha^{10} - \beta^{10}$ और $a_8 = \alpha^8 - \beta^8$ है।
मूल समीकरणों को क्रमशः $\alpha^8$ और $\beta^8$ से गुणा करने पर:
$\alpha^{10} = 6\alpha^9 + 2\alpha^8$
$\beta^{10} = 6\beta^9 + 2\beta^8$
इन समीकरणों को घटाने पर:
$a_{10} = \alpha^{10} - \beta^{10} = 6(\alpha^9 - \beta^9) + 2(\alpha^8 - \beta^8)$
$a_{10} = 6a_9 + 2a_8$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a_{10} - 2a_8 = 6a_9$
$2a_9$ से भाग देने पर:
$\frac{a_{10}-2a_8}{2a_9} = \frac{6a_9}{2a_9} = 3$

(A) दिया गया है $x^2-x-1=0$,मूल $\alpha, \beta$ हैं। अतः $\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=-1$.
$a_n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$.
$(1)$ के लिए: $a_{n+2} = a_{n+1}+a_n$. अतः $\sum_{i=1}^n a_i = a_{n+2}-a_2 = a_{n+2}-1$. कथन $(1)$ सही है।
$(2)$ के लिए: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} = \frac{10}{89}$. कथन $(2)$ सही है।
$(4)$ के लिए: $b_n = a_{n-1}+a_{n+1} = \alpha^n+\beta^n$. कथन $(4)$ सही है।
अतः,विकल्प $1, 2, 4$ सही हैं।

(B) दिए गए समीकरण $x^2-ax-b=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta$ संबंध $\alpha+\beta=a$ और $\alpha\beta=-b$ को संतुष्ट करते हैं।
चूंकि $P_n = \alpha^n - \beta^n$ है,इसलिए हमारे पास पुनरावृत्ति संबंध $P_n = aP_{n-1} + bP_{n-2}$ है।
$P_6 = aP_5 + bP_4$ का उपयोग करने पर,हमें $45\sqrt{7}i = a(11\sqrt{7}i) + b(-3\sqrt{7}i)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $11a - 3b = 45$ बनता है।
$P_5 = aP_4 + bP_3$ का उपयोग करने पर,हमें $11\sqrt{7}i = a(-3\sqrt{7}i) + b(-5\sqrt{7}i)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $-3a - 5b = 11$ बनता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a=3$ और $b=-4$ प्राप्त होता है।
हमें $|\alpha^4+\beta^4|$ ज्ञात करना है। ध्यान दें कि $(\alpha^4+\beta^4)^2 = (\alpha^4-\beta^4)^2 + 4\alpha^4\beta^4 = P_4^2 + 4(\alpha\beta)^4$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$P_4^2 = (-3\sqrt{7}i)^2 = 9 \times 7 \times (-1) = -63$ है।
साथ ही,$4(\alpha\beta)^4 = 4(-b)^4 = 4(-(-4))^4 = 4(256) = 1024$ है।
अतः,$(\alpha^4+\beta^4)^2 = -63 + 1024 = 961$ है।
इसलिए,$|\alpha^4+\beta^4| = \sqrt{961} = 31$ है।

(A) दिया गया है कि प्रथम $11$ पदों का योग $S_{11} = 88$ और सार्व अंतर $d = \frac{3}{2}$ है।
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ का उपयोग करने पर:
$88 = \frac{11}{2}(2a + 10 \times \frac{3}{2})$
$8 = \frac{1}{2}(2a + 15) \implies 16 = 2a + 15 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.
$10$ वां और $11$ वां पद:
$T_{10} = a + 9d = \frac{1}{2} + 9(\frac{3}{2}) = 14$.
$T_{11} = a + 10d = \frac{1}{2} + 10(\frac{3}{2}) = \frac{31}{2}$.
द्विघात समीकरण $3x^2 - px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $\frac{p}{3} = T_{10} + T_{11} = 14 + \frac{31}{2} = \frac{59}{2} \implies p = \frac{177}{2}$.
मूलों का गुणनफल $\frac{q}{3} = T_{10} \times T_{11} = 14 \times \frac{31}{2} = 217 \implies q = 651$.
$q - 2p = 651 - 2(\frac{177}{2}) = 651 - 177 = 474$.

(B) दिया गया है $P_n = \alpha^n + \beta^n$। हम देखते हैं कि $P_{10} = P_9 + P_8$ $(123 = 76 + 47)$।
यह दर्शाता है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ के मूल हैं।
इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 1$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -1$ है।
हमें $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण ज्ञात करना है।
नए मूलों का योग $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-1)x + (-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + x - 1 = 0$ हो जाता है।

(C) समीकरण $x^2+\sqrt{3}x-16=0$ के लिए,चूँकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,हमें $P_n+\sqrt{3}P_{n-1}-16P_{n-2}=0$ प्राप्त होता है।
$n=25$ के लिए,$P_{25}+\sqrt{3}P_{24}=16P_{23}$ है।
अतः,$\frac{P_{25}+\sqrt{3}P_{24}}{2P_{23}} = \frac{16P_{23}}{2P_{23}} = 8$।
समीकरण $x^2+3x-1=0$ के लिए,$\gamma^2-1=-3\gamma$ और $\delta^2-1=-3\delta$ है।
अतः $Q_{25}-Q_{23} = \gamma^{23}(\gamma^2-1)+\delta^{23}(\delta^2-1) = -3(\gamma^{24}+\delta^{24}) = -3Q_{24}$।
अतः,$\frac{Q_{25}-Q_{23}}{Q_{24}} = -3$।
अंत में,$8-3=5$।

(B) दिया गया है $f(x) = bx^2 + cx + d$.
तब $f(x+1) = b(x+1)^2 + c(x+1) + d = b(x^2 + 2x + 1) + cx + c + d = bx^2 + 2bx + b + cx + c + d$.
अब,$f(x+1) - f(x) = (bx^2 + 2bx + b + cx + c + d) - (bx^2 + cx + d) = 2bx + b + c$.
हमें सर्वसमिका $f(x+1) - f(x) = 8x + 3$ दी गई है।
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$2b = 8 \implies b = 4$.
$b + c = 3 \implies 4 + c = 3 \implies c = -1$.
अतः,मान $b = 4$ और $c = -1$ हैं।

(B) माना समीकरण $x^2-(a-2)x-a+1=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \beta = a-2$
$\alpha \beta = -a+1$
मूलों के वर्गों का योग $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ है।
मान रखने पर:
$S = (a-2)^2 - 2(-a+1)$
$S = a^2 - 4a + 4 + 2a - 2$
$S = a^2 - 2a + 2$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$S = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a-1)^2 + 1$
व्यंजक $(a-1)^2 + 1$ का न्यूनतम मान तब होता है जब $(a-1)^2 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $a = 1$।
अतः,'$a$' का मान $1$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = 2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$। चूँकि $2$ और $3$ मूल हैं,इसलिए $f(2) = 0$ और $f(3) = 0$ होगा।
$x = 2$ के लिए: $2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0 \implies 16 + 4m - 26 + n = 0 \implies 4m + n = 10$।
$x = 3$ के लिए: $2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0 \implies 54 + 9m - 39 + n = 0 \implies 9m + n = -15$।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10 \implies 5m = -25 \implies m = -5$।
$m = -5$ को $4m + n = 10$ में रखने पर: $4(-5) + n = 10 \implies -20 + n = 10 \implies n = 30$।
हमें $4m + 5n$ का मान ज्ञात करना है: $4(-5) + 5(30) = -20 + 150 = 130$।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-px+r=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta=p$ $(i)$ और $\alpha\beta=r$ है।
दिया गया है कि $\frac{\alpha}{2}$ और $2\beta$ समीकरण $x^2-qx+r=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\frac{\alpha}{2}+2\beta=q$,जिसका अर्थ है $\alpha+4\beta=2q$ $(ii)$।
साथ ही,मूलों का गुणनफल $\frac{\alpha}{2} \times 2\beta = r$ है,इसलिए $\alpha\beta=r$।
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर,$(\alpha+4\beta)-(\alpha+\beta)=2q-p$,जो $3\beta=2q-p$ में सरल होता है,इसलिए $\beta=\frac{2q-p}{3}$।
$\beta$ का मान $(i)$ में रखने पर,$\alpha=p-\frac{2q-p}{3} = \frac{3p-2q+p}{3} = \frac{4p-2q}{3} = \frac{2(2p-q)}{3}$।
चूंकि $r=\alpha\beta$,इसलिए $r = \left(\frac{2(2p-q)}{3}\right) \left(\frac{2q-p}{3}\right) = \frac{2}{9}(2p-q)(2q-p)$।

(D) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का समांतर माध्य ($A$.$M$.) $p$ है,इसलिए $\frac{\alpha+\beta}{2} = p$,जिसका अर्थ है $\alpha+\beta = 2p$।
दिया गया है कि मूलों का गुणोत्तर माध्य ($G$.$M$.) $q$ है,इसलिए $\sqrt{\alpha\beta} = q$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = q^{2}$।
द्विघात समीकरण का रूप $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - (2p)x + q^{2} = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^{2} - 2px + q^{2} = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2}+x+1=0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,हम जानते हैं कि $\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$ है।
हमें $\alpha^{2}+\beta^{2}$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = (-1)^{2} - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
वैकल्पिक रूप से,$x^{2}+x+1=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं।
अतः,$\alpha^{2}+\beta^{2} = \omega^{2} + (\omega^{2})^{2} = \omega^{2} + \omega^{4} = \omega^{2} + \omega = -1$ (क्योंकि $1+\omega+\omega^{2}=0$)।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^{3}+4x+2=0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
त्रिघात समीकरण $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ के गुणों के अनुसार:
मूलों का योग $\Sigma \alpha = -\frac{b}{a} = 0$.
दो मूलों के गुणनफल का योग $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a} = 4$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} = -2$.
हम जानते हैं कि $\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3 \alpha \beta \gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha)$.
चूंकि $\Sigma \alpha = 0$,इसलिए दायां पक्ष $0$ हो जाता है।
अतः,$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} = 3 \alpha \beta \gamma$.
मूलों के गुणनफल का मान रखने पर:
$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} = 3(-2) = -6$.

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^{3}-2x+1=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -2$
$\alpha\beta\gamma = -1$
हमें $\sum\left(\frac{1}{\alpha+\beta-\gamma}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 0$,इसलिए $\alpha+\beta = -\gamma$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum\left(\frac{1}{-\gamma-\gamma}\right) = \sum\left(\frac{1}{-2\gamma}\right) = -\frac{1}{2} \sum\left(\frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{-2}{-1}\right) = -\frac{1}{2} \times 2 = -1$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^{3}-5x^{2}-x+5=0$ है।
माना मूल $a, -a, b$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग:
$a + (-a) + b = -(-5)/1 = 5$.
इससे $b = 5$ प्राप्त होता है।
अब,हम जाँचते हैं कि किस विकल्प में $x = 5$ रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है:
विकल्प $C$ के लिए,$x^{2}-3x-10=0$:
$x = 5$ रखने पर,$(5)^{2}-3(5)-10 = 25-15-10 = 0$.
अतः,$b=5$ समीकरण $x^{2}-3x-10=0$ का एक मूल है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-ax+b^{2}=0$ है।
द्विघात समीकरण $Ax^{2}+Bx+C=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -B/A$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = C/A$ होता है।
यहाँ,$A=1$,$B=-a$,और $C=b^{2}$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta = -(-a)/1 = a$ और $\alpha\beta = b^{2}/1 = b^{2}$ प्राप्त होता है।
हमें $\alpha^{2}+\beta^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ का उपयोग करते हुए।
मान रखने पर,हमें $\alpha^{2}+\beta^{2} = (a)^{2}-2(b^{2}) = a^{2}-2b^{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+bx+c=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -b = 5$ है,जिसका अर्थ है $b = -5$।
सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ का उपयोग करते हुए:
$60 = (5)^3 - 3\alpha\beta(5)$।
$60 = 125 - 15\alpha\beta$।
$15\alpha\beta = 125 - 60 = 65$।
$\alpha\beta = \frac{65}{15} = \frac{13}{3}$।
चूंकि $\alpha\beta = c$,इसलिए $c = \frac{13}{3}$।
अब,$3c+2$ का मान ज्ञात करने पर:
$3(\frac{13}{3}) + 2 = 13 + 2 = 15$।
चूंकि $b = -5$,विकल्पों की जांच करने पर:
$-3b = -3(-5) = 15$।
अतः,$3c+2 = -3b$।

(C) दिए गए समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = -a$ है।
हम व्यंजक के पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\alpha+\beta-2 \gamma = (\alpha+\beta+\gamma) - 3 \gamma = -a - 3 \gamma$.
इसी प्रकार,$\beta+\gamma-2 \alpha = -a - 3 \alpha$ और $\gamma+\alpha-2 \beta = -a - 3 \beta$.
गुणनफल $(-a-3 \alpha)(-a-3 \beta)(-a-3 \gamma) = -(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$ होगा।
मान लीजिए $f(x) = x^3+a x^2+b x+c = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
तब $f(-a/3) = (-a/3-\alpha)(-a/3-\beta)(-a/3-\gamma) = (-1/27)(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$.
अतः,$(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma) = -27 f(-a/3)$.
मूल व्यंजक $-(-27 f(-a/3)) = 27 f(-a/3)$ है।
$f(-a/3) = (-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + c = -a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + c = (2a^3 - 9ab + 27c)/27$.
$27$ से गुणा करने पर,हमें $2a^3 - 9ab + 27c$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-p)^2 - 2q = p^2-2q$।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-r) = (-p)((p^2-2q) - q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 3r = -p(p^2-3q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -p^3+3pq-3r$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3pq-3r-p^3$।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $5x^3-4x^2+3x-2=0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$e_1 = \alpha+\beta+\gamma = \frac{4}{5}$
$e_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{3}{5}$
$e_3 = \alpha\beta\gamma = \frac{2}{5}$
$\sum \alpha^2 = (\sum \alpha)^2 - 2(\sum \alpha\beta) = (\frac{4}{5})^2 - 2(\frac{3}{5}) = -\frac{14}{25}$।
$\sum \alpha^3 = \frac{4}{5}(\sum \alpha^2) - \frac{3}{5}(\sum \alpha) + 3(\frac{2}{5}) = \frac{34}{125}$।

(D) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
हम जानते हैं कि $\alpha+\beta = -p-\gamma$,$\beta+\gamma = -p-\alpha$,और $\gamma+\alpha = -p-\beta$।
अतः,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (-p-\gamma)(-p-\alpha)(-p-\beta) = -(p+\gamma)(p+\alpha)(p+\beta)$।
मान लीजिए $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3+px^2+qx+r$।
तब $f(-p) = (-p-\alpha)(-p-\beta)(-p-\gamma) = (-p)^3+p(-p)^2+q(-p)+r = -p^3+p^3-pq+r = r-pq$।
चूंकि $f(-p) = -(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma)$,इसलिए $-(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma) = r-pq$।
अतः,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = pq-r$।

(A) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $x^2-35x+c=0$ के मूल $2t$ और $3t$ हैं।
मूलों का योग $= 2t + 3t = -(-35)/1 = 35$.
$5t = 35 \Rightarrow t = 7$.
मूलों का गुणनफल $= (2t)(3t) = c/1 = c$.
$6t^2 = c$.
चूंकि $t = 7$,इसलिए $c = 6(7^2) = 6 \times 49$.
दिया गया है कि $c = 6K$,अतः $6K = 6 \times 49$.
इसलिए,$K = 49$.

(A) दिया गया है कि $\alpha+\beta=a$ और $\alpha\beta=b$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = a^2-2b$ है।
साथ ही,$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2) = a(a^2-2b-b) = a(a^2-3b) = a^3-3ab$ है।
मूल $p$ और $q$ वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,मूल $p = a^2-2b$ और $q = a^3-3ab$ हैं।
अचर पद $C$ मूलों का गुणनफल है: $C = pq = (a^2-2b)(a^3-3ab)$।
इसका विस्तार करने पर: $C = a^2(a^3) - a^2(3ab) - 2b(a^3) + 2b(3ab) = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 = a^5 - 5a^3b + 6ab^2$।

(C) माना कि त्रिघात समीकरण $ax^3+bx^2+cx+1=0$ के मूल $-1, -1, \alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का गुणनफल $\alpha \times (-1) \times (-1) = -\frac{1}{a}$ है,जिसका अर्थ है $\alpha = -\frac{1}{a}$।
मूलों का योग $(-1) + (-1) + \alpha = -\frac{b}{a}$ है।
$\alpha = -\frac{1}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-2 - \frac{1}{a} = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
$-a$ से गुणा करने पर,$2a + 1 = b$ प्राप्त होता है,अतः $b = 2a + 1$।
चूंकि $-1$ एक मूल है,$a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + 1 = 0$,जो सरल होकर $-a + b - c + 1 = 0$ हो जाता है।
$b = 2a + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-a + (2a + 1) - c + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a + 2 - c = 0$ हो जाता है,अतः $c = a + 2$।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $2x^2-4x+3=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -(\frac{-4}{2}) = 2$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \frac{3}{2}$.
$\alpha^2+\beta^2$ की गणना:
$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2)^2 - 2(\frac{3}{2}) = 4-3 = 1$.
$\alpha^4+\beta^4$ की गणना:
$(\alpha^2+\beta^2)^2 = \alpha^4+\beta^4+2\alpha^2\beta^2$.
$1^2 = \alpha^4+\beta^4 + 2(\frac{3}{2})^2$.
$1 = \alpha^4+\beta^4 + 2(\frac{9}{4}) = \alpha^4+\beta^4 + \frac{9}{2}$.
$\alpha^4+\beta^4 = 1 - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2(\alpha^4+\beta^4)+3(\alpha^2+\beta^2)}{\alpha+\beta} = \frac{2(-\frac{7}{2}) + 3(1)}{2} = \frac{-7+3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

(C) दिया है: $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
नए मूल $S_1 = \alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $S_2 = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$ हैं।
अभीष्ट समीकरण $(x-S_1)(x-S_2) = 0$ है।
$(x - (-\frac{b}{a}))(x - (-\frac{b}{c})) = 0$.
$(x + \frac{b}{a})(x + \frac{b}{c}) = 0$.
$ac$ से गुणा करने पर: $(ax+b)(cx+b) = 0$.
$acx^2 + abx + bcx + b^2 = 0$.
$acx^2 + (ab+bc)x + b^2 = 0$.

(B) दिया गया समीकरण $y^2+y+1=0$ है।
चूंकि $a$ और $b$ मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार $a+b = -1$ और $ab = 1$ है।
हमें $a^4+b^4+a^{-1}b^{-1} = a^4+b^4+\frac{1}{ab}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ प्राप्त करें।
फिर,$a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = (-1)^2 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a^4+b^4+\frac{1}{ab} = -1 + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0$।

(D) दिया गया है कि $c$ और $d$,$x^2+ax+b=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$c+d = -a$ और $cd = b$ है।
अब,समीकरण $x^2+(4c+a)x+(b+2ac+4c^2)=0$ पर विचार करें।
$a = -(c+d)$ और $b = cd$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x^2+(4c-(c+d))x+(cd+2c(-(c+d))+4c^2)=0$
$x^2+(3c-d)x+(cd-2c^2-2cd+4c^2)=0$
$x^2+(3c-d)x+(2c^2-cd)=0$
$x^2+(3c-d)x+c(2c-d)=0$
इसे गुणनखंडित करने पर $(x+c)(x+2c-d)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = -c$ और $x = d-2c$ हैं।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$d-2c$ एक मूल है।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
मान लीजिए कि नए समीकरण $x^3+(2b-a^2)x^2+(b^2-2ac)x-c^2=0$ के मूल $\alpha', \beta', \gamma'$ हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$\alpha'+\beta'+\gamma' = -(2b-a^2) = a^2-2b = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2$.
$\alpha'\beta'+\beta'\gamma'+\gamma'\alpha' = b^2-2ac = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta\gamma) = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$.
$\alpha'\beta'\gamma' = c^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = \alpha^2\beta^2\gamma^2$.
अतः,मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं।