Mix Examples-Complex numbers Questions in Hindi

(B) दिए गए मूल $z_1 = \sqrt{3} + \sqrt{27} = 4\sqrt{3}$ और $z_2 = \sqrt{2} + 5i$ हैं।
परिमेय गुणांकों के लिए,अपरिमेय मूल संयुग्मी जोड़ों में होते हैं।
$z_1 = 4\sqrt{3}$ के लिए,न्यूनतम बहुपद $x^2 - 48 = 0$ है,जिसके मूल $4\sqrt{3}$ और $-4\sqrt{3}$ हैं।
$z_2 = \sqrt{2} + 5i$ के लिए,न्यूनतम बहुपद $x^4 + 46x^2 + 729 = 0$ है,जिसके मूल $\pm\sqrt{2} \pm 5i$ हैं।
अतः,कुल घात $2 + 4 = 6$ होगी।

(C) दिया गया है कि $k \sqrt{-1} = ki$ समीकरण $x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80=0$ का एक मूल है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $-ki$ भी एक मूल होना चाहिए।
अतः,$(x-ki)(x+ki) = x^2+k^2$ बहुपद का एक गुणनखंड है।
$x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80$ को $x^2+k^2$ से विभाजित करने पर:
$x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80 = (x^2+k^2)(x^2+6x-(16+k^2)) + (24-6k^2)x + (k^2(16+k^2)-80)$.
$x^2+k^2$ को गुणनखंड होने के लिए,शेषफल शून्य होना चाहिए।
$x$ के गुणांक को शून्य रखने पर: $24-6k^2 = 0 \implies 6k^2 = 24 \implies k^2 = 4$.
अचर पद की जाँच करने पर: $k^2(16+k^2)-80 = 4(16+4)-80 = 4(20)-80 = 0$.
अतः,$k^2 = 4$ सही मान है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ परिमेय गुणांकों वाला एक बहुपद है।
यदि एक सम्मिश्र संख्या $a+bi$ मूल है,तो इसका संयुग्मी $a-bi$ भी मूल होगा। अतः,$1+2i$ और $1-2i$ मूल हैं।
यदि $a+\sqrt{b}$ के रूप की एक अपरिमेय संख्या मूल है,तो इसका संयुग्मी $a-\sqrt{b}$ भी मूल होगा। अतः,$2-\sqrt{3}$ और $2+\sqrt{3}$ मूल हैं।
इसके अतिरिक्त,$5$ भी एक मूल दिया गया है।
अतः,मूल $1+2i, 1-2i, 2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$ और $5$ हैं।
इस प्रकार,बहुपद की न्यूनतम घात $n$ का मान $5$ है।

(A) दिया गया है $(x-iy)^{1/3} = a-ib$।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$x-iy = (a-ib)^3$
$x-iy = a^3 - (ib)^3 - 3a^2(ib) + 3a(ib)^2$
$x-iy = a^3 + ib^3 - 3a^2bi - 3ab^2$
$x-iy = (a^3 - 3ab^2) - i(3a^2b - b^3)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = a^3 - 3ab^2 \implies \frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$
$y = 3a^2b - b^3 \implies \frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$
इन दोनों को जोड़ने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) + (3a^2 - b^2)$
$= 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$

(C) दिया है $x = -5 + 2 \sqrt{-4} = -5 + 4i$.
$x + 5 = 4i$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x + 5)^2 = (4i)^2$
$x^2 + 10x + 25 = -16$
$x^2 + 10x + 41 = 0$
अब,बहुपद $P(x) = x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ को $x^2 + 10x + 41$ से विभाजित करने पर:
$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4 = (x^2 + 10x + 41)(x^2 - x + 4) - 160$
चूँकि $x^2 + 10x + 41 = 0$,इसलिए:
$P(x) = 0 \cdot (x^2 - x + 4) - 160 = -160$.

(A) हमारे पास है,
$\frac{(1+i)^{2016}}{(1-i)^{2014}} = \frac{(1+i)^{2014} \times (1+i)^2}{(1-i)^{2014}}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2014} \times (1+i)^2$
चूँकि $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{2i}{2} = i$
अतः,व्यंजक $i^{2014} \times (1+2i+i^2)$ हो जाता है
$= i^{2014} \times (2i)$
चूँकि $i^4 = 1$,$i^{2014} = (i^4)^{503} \times i^2 = 1^{503} \times (-1) = -1$
इसलिए,$-1 \times 2i = -2i$

(D) दिया गया है $x = 3 - 2\sqrt{3}i$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x - 3 = -2\sqrt{3}i$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 3)^2 = (-2\sqrt{3}i)^2$.
$x^2 - 6x + 9 = -12$.
$x^2 - 6x + 21 = 0$.
बहुपद $P(x) = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x - 54$ को $(x^2 - 6x + 21)$ से विभाजित करने पर,
$P(x) = (x^2 - 6x + 21)(x^2 - 6x - 3) + 9$.
अतः,मान $9$ है।

(D) दिया गया है,$|Z-1| \leq 2$ और $|\omega^2 Z-1-\omega|=a$।
चूँकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $-1-\omega = \omega^2$ होता है।
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $|\omega^2 Z + \omega^2| = a$।
चूँकि $|\omega^2| = 1$,यह $|Z+1| = a$ में सरल हो जाता है।
इसे $|(Z-1)+2| = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|Z-1+2| \leq |Z-1| + |2|$।
$|Z-1| \leq 2$ दिया गया है,इसलिए $a = |Z+1| \leq |Z-1| + 2 \leq 2 + 2 = 4$।
साथ ही,मापांक $a$ सदैव ऋणेतर होता है,इसलिए $a \geq 0$।
अतः,$a$ के संभावित मानों का समुच्चय $0 \leq a \leq 4$ है।

(C) दिए गए मूल $z_1 = 2 - 3i$,$z_2 = i$ और $z_3 = \bar{z}_1 = 2 + 3i$ हैं।
त्रिघात समीकरण $(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $(z - i)(z - (2 - 3i))(z - (2 + 3i)) = 0$.
अंतिम दो कारकों का गुणनफल: $(z - (2 - 3i))(z - (2 + 3i)) = z^2 - 4z + 13$.
अब,$(z - i)$ से गुणा करने पर: $(z - i)(z^2 - 4z + 13) = z^3 + (-4 - i)z^2 + (13 + 4i)z - 13i = 0$.
$z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,$b = -4 - i$,$c = 13 + 4i$,और $d = -13i$ प्राप्त होता है।
अतः,$b + c + d = 9 - 10i$.

(D) दिया गया है,$(x-iy)^{1/3} = 2-i\sqrt{3}$
$\Rightarrow x-iy = (2-i\sqrt{3})^3$
सर्वसमिका $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ का उपयोग करने पर:
$x-iy = 2^3 - 3(2^2)(i\sqrt{3}) + 3(2)(i\sqrt{3})^2 - (i\sqrt{3})^3$
$x-iy = 8 - 12i\sqrt{3} - 18 + 3i\sqrt{3}$
$x-iy = -10 - 9i\sqrt{3}$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = -10$ और $y = 9\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $z = (x, y)$ रेखा $\frac{x}{2} + \frac{y}{\sqrt{3}} = k$ पर स्थित है:
$\frac{-10}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = k$
$-5 + 9 = k$
$k = 4$

(D) दी गई शर्त $(a+bi)^3 = a-bi$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3 = a-bi$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1) a^3 - 3ab^2 = a \Rightarrow a(a^2 - 3b^2 - 1) = 0$.
$2) 3a^2b - b^3 = -b \Rightarrow b(3a^2 - b^2 + 1) = 0$.
स्थिति $1$: यदि $a=0$ है,तो $b(1-b^2) = 0$,अतः $b=0, 1, -1$। युग्म: $(0,0), (0,1), (0,-1)$।
स्थिति $2$: यदि $b=0$ है,तो $a(a^2 - 1) = 0$,अतः $a=0, 1, -1$। युग्म: $(0,0), (1,0), (-1,0)$।
स्थिति $3$: यदि $a \neq 0$ और $b \neq 0$ है,तो कोई वास्तविक हल नहीं मिलता है।
कुल भिन्न युग्म $(0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0)$ हैं।
अतः,कुल $5$ क्रमित युग्म हैं।

(A) दिया गया है कि $x+iy = \frac{3}{2+\cos \theta + i \sin \theta}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|x+iy| = \left| \frac{3}{2+\cos \theta + i \sin \theta} \right|$.
चूंकि $|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$,हमें $\sqrt{x^2+y^2} = \frac{3}{|2+\cos \theta + i \sin \theta|}$ प्राप्त होता है।
हर का मापांक ज्ञात करने पर: $|2+\cos \theta + i \sin \theta| = \sqrt{(2+\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} = \sqrt{5+4\cos \theta}$.
अतः,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{3}{\sqrt{5+4\cos \theta}}$,जिसका अर्थ है $x^2+y^2 = \frac{9}{5+4\cos \theta}$.
अब,$4x-3$ पर विचार करें। $x+iy = \frac{3(2+\cos \theta) - 3i \sin \theta}{5+4\cos \theta}$ से,$x = \frac{3(2+\cos \theta)}{5+4\cos \theta}$.
तब $4x-3 = \frac{12(2+\cos \theta)}{5+4\cos \theta} - 3 = \frac{9}{5+4\cos \theta}$.
अतः,$x^2+y^2 = 4x-3$.

(A) दिया गया है,$z=x-iy$ और $z^{1/3}=a+ib$।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(z^{1/3})^3 = (a+ib)^3$
$z = a^3 + (ib)^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2$
$z = a^3 - ib^3 + 3a^2bi - 3ab^2$
$z = (a^3 - 3ab^2) - i(b^3 - 3a^2b)$
चूंकि $z = x - iy$,वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = a^3 - 3ab^2$ और $y = b^3 - 3a^2b$।
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(x/a + y/b)}{a^2+b^2} = \frac{((a^3 - 3ab^2)/a + (b^3 - 3a^2b)/b)}{a^2+b^2}$
$= \frac{(a^2 - 3b^2 + b^2 - 3a^2)}{a^2+b^2}$
$= \frac{-2a^2 - 2b^2}{a^2+b^2} = \frac{-2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = -2$.

(C) माना $z = x + iy$. तब $\bar{z} = x - iy$.
$z + \bar{z} = 2x$ और $z - \bar{z} = 2iy$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(7 + i)(2x) - (4 + i)(2iy) + 116i = 0$
$(14x + 2ix) - (8iy - 2y) + 116i = 0$
$(14x + 2y) + i(2x - 8y + 116) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$14x + 2y = 0 \Rightarrow y = -7x$
$2x - 8y + 116 = 0$
दूसरे समीकरण में $y = -7x$ रखने पर:
$2x - 8(-7x) + 116 = 0$
$2x + 56x + 116 = 0$
$58x = -116 \Rightarrow x = -2$
अतः $y = -7(-2) = 14$.
इस प्रकार,$z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2 = (-2)^2 + 14^2 = 4 + 196 = 200$.

(D) दिया है: $z_1=1-2 i, z_2=1+i, z_3=3+4 i$.
हमें $\left(\frac{1}{z_1}+\frac{3}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}$ का मान ज्ञात करना है।
पहले,कोष्ठक के अंदर के पद की गणना करें:
$\frac{1}{1-2 i}+\frac{3}{1+i} = \frac{(1+i)+3(1-2 i)}{(1-2 i)(1+i)} = \frac{4-5 i}{3-i}$.
अब,$\frac{z_3}{z_2}$ से गुणा करें:
$\left(\frac{4-5 i}{3-i}\right) \left(\frac{3+4 i}{1+i}\right) = \frac{32+i}{4+2 i}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{32+i}{4+2 i} \times \frac{4-2 i}{4-2 i} = \frac{130-60 i}{20} = \frac{13}{2}-3 i$.

(D) माना $z = \frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$.
$z$ को शुद्ध काल्पनिक बनाने के लिए,$z$ का वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $1+2i \sin \theta$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(2+3i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)} = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
चूंकि $i^2 = -1$,$z = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta + 7i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
वास्तविक भाग $\frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$ है।
वास्तविक भाग को $0$ रखने पर: $2 - 6 \sin^2 \theta = 0 \implies 6 \sin^2 \theta = 2 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{3}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $t = z^4$. समीकरण $t^2 - 20t + 64 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(t-16)(t-4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$z^4 = 16$ या $z^4 = 4$.
$z^4 = 16$ के लिए,मूल $z = 2, -2, 2i, -2i$ हैं।
काल्पनिक मूल $2i$ और $-2i$ हैं।
$z^4 = 4$ के लिए,मूल $z = \sqrt{2}, -\sqrt{2}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i$ हैं।
काल्पनिक मूल $\sqrt{2}i$ और $-\sqrt{2}i$ हैं।
काल्पनिक मूलों के वर्ग $(2i)^2 = -4$,$(-2i)^2 = -4$,$(\sqrt{2}i)^2 = -2$,और $(-\sqrt{2}i)^2 = -2$ हैं।
काल्पनिक मूलों के वर्गों का योग $(-4) + (-4) + (-2) + (-2) = -12$ है।

(D) दिया गया समीकरण $z^3+\bar{z}=0$ है,जहाँ $z=x+iy$ एक सम्मिश्र संख्या है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर: $|z^3| = |-\bar{z}|$.
चूँकि $|z^3| = |z|^3$ और $|-\bar{z}| = |z|$,इसलिए $|z|^3 = |z|$ प्राप्त होता है।
इससे $|z|(|z|^2-1) = 0$ मिलता है।
स्थिति $1$: $|z|=0$,जो हल $z=0$ देता है।
स्थिति $2$: $|z|^2=1$,जिसका अर्थ है $z\bar{z}=1$,अतः $\bar{z}=\frac{1}{z}$।
$\bar{z}=\frac{1}{z}$ को मूल समीकरण में रखने पर: $z^3 + \frac{1}{z} = 0$,जो $z^4+1=0$ में परिवर्तित हो जाता है।
समीकरण $z^4 = -1$ के $4$ भिन्न मूल होते हैं।
स्थिति $1$ से प्राप्त हल $z=0$ को जोड़ने पर,कुल भिन्न हलों की संख्या $1 + 4 = 5$ है।

(C) माना $z = \frac{3-2 i \sin \theta}{1+2 i \sin \theta}$.
हर के संयुग्मी $(1-2 i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3-2 i \sin \theta)(1-2 i \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta - 8 i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
शुद्ध काल्पनिक संख्या के लिए वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4} = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
अतः,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया समीकरण $z^3+\bar{z}=0$ है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z^3| = |-\bar{z}|$,जिसका अर्थ है $|z|^3 = |z|$।
इससे $|z|(|z|^2 - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $|z| = 0$,जिसका अर्थ है $z = 0$। यह $1$ हल है।
स्थिति $2$: $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है $z\bar{z} = 1$,इसलिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $z^3 + \frac{1}{z} = 0$,जो $z^4 + 1 = 0$ देता है।
समीकरण $z^4 = -1$ के $4$ भिन्न हल होते हैं।
अतः,हलों की कुल संख्या $1 + 4 = 5$ है।

(C) दिया गया है $\left|z-\frac{2}{z}\right|=2$।
त्रिभुज असमिका गुण $||z_1|-|z_2|| \leq |z_1-z_2|$ का उपयोग करने पर:
$||z|-\left|\frac{2}{z}\right|| \leq \left|z-\frac{2}{z}\right| = 2$।
मान लीजिए $|z| = r$। तब $|r - \frac{2}{r}| \leq 2$।
इसका अर्थ है $-2 \leq r - \frac{2}{r} \leq 2$।
दाहिनी ओर की असमिका लेने पर: $r - \frac{2}{r} \leq 2
\Rightarrow r^2 - 2r - 2 \leq 0$।
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $r^2 - 2r - 2 = 0$ को हल करने पर:
$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$।
चूंकि $r = |z| > 0$,इसलिए $r \leq 1 + \sqrt{3}$।
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $\sqrt{3} + 1$ है।

(D) माना $z = -3-4i$ है। हमें $\sqrt{z} = re^{i\theta}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$z = r^2 e^{i2\theta} = r^2(\cos 2\theta + i \sin 2\theta)$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना $z = -3-4i$ से करने पर:
$r^2 \cos 2\theta = -3$ और $r^2 \sin 2\theta = -4$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $r^2 = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
टैंजेंट के लिए डबल एंगल सूत्र का उपयोग करने पर: $\tan 2\theta = \frac{r^2 \sin 2\theta}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$।
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{4}{3}$ का उपयोग करने पर,$6 \tan \theta = 4 - 4 \tan^2 \theta$,या $4 \tan^2 \theta + 6 \tan \theta - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$2 \tan^2 \theta + 3 \tan \theta - 2 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(2 \tan \theta - 1)(\tan \theta + 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{2}$ या $\tan \theta = -2$ है।
$\tan \theta = -2$ लेने पर,$r^2 \tan \theta = 5 \times (-2) = -10$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $i z^3+z^2-z+i=0$
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$i z^2(z-i) - 1(z-i) = 0$
$(z-i)(i z^2-1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $z-i=0 \Rightarrow z=i$. अतः $|z| = |i| = 1$.
स्थिति $2$: $i z^2-1=0 \Rightarrow i z^2=1$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$|i z^2| = |1|$
$|i| \cdot |z|^2 = 1$
$1 \cdot |z|^2 = 1$ $\Rightarrow |z|^2 = 1$ $\Rightarrow |z| = 1$.
दोनों स्थितियों में,$|z| = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ संयुग्मी होती हैं यदि $a = c$ और $b = -d$ हो।
यहाँ $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ दिया गया है।
अतः,$\sin x = \cos x$ और $\cos 2x = \sin 2x$ होना चाहिए।
$\sin x = \cos x$ से $\tan x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$\cos 2x = \sin 2x$ से $\tan 2x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$।
चूँकि $x$ का कोई भी मान इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए कोई हल संभव नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $\overline{z} = i z^2 \dots (i)$ है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|\overline{z}| = |i z^2|$ $\Rightarrow |z| = |i| |z|^2$ $\Rightarrow |z| = |z|^2$.
इसका अर्थ है $|z|(|z| - 1) = 0$,अतः $|z| = 0$ या $|z| = 1$.
स्थिति $1$: यदि $|z| = 0$,तो $z = 0$. यह एक हल है।
स्थिति $2$: यदि $|z| = 1$,तो $\overline{z} = 1/z$. समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$1/z = i z^2 \Rightarrow z^3 = 1/i = -i$.
हम जानते हैं कि $-i = e^{i(3\pi/2 + 2k\pi)}$ जहाँ $k = 0, 1, 2$.
अतः,$z = e^{i(\pi/2 + 2k\pi/3)}$.
$k = 0$ के लिए,$z = e^{i\pi/2} = i$.
$k = 1$ के लिए,$z = e^{i(7\pi/6)} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$.
$k = 2$ के लिए,$z = e^{i(11\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$.
$z = 0$ को मिलाकर,कुल $1 + 3 = 4$ हल हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|z|^2 w + w = |w|^2 z + z$
$(|z|^2 + 1) w = (|w|^2 + 1) z$
चूँकि $z$ और $w$ शून्येतर हैं,हम लिख सकते हैं: $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1}$
मान लीजिए $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1} = k$
तब $z = k(|z|^2 + 1)$ और $w = k(|w|^2 + 1)$
चूँकि $z$ और $w$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,$k$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए।
यदि $k$ वास्तविक है,तो $\frac{z}{w} = \frac{|z|^2 + 1}{|w|^2 + 1}$,जो एक वास्तविक संख्या है।
अतः,$z = cw$ जहाँ $c \neq 1$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
मूल समीकरण में $z = cw$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c^2 |w|^2 w - c |w|^2 w = (c - 1) w$
चूँकि $w \neq 0$,$w$ से विभाजित करने पर:
$c |w|^2 (c - 1) = c - 1$
चूँकि $z \neq w$,$c \neq 1$,इसलिए $(c - 1)$ से विभाजित करने पर:
$c |w|^2 = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{|w|^2}$
अतः,$z = \frac{w}{|w|^2} = \frac{w}{w \bar{w}} = \frac{1}{\bar{w}}$
इससे $z \bar{w} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) हमें $f(z) = |z| + |2z - 3| + |z - 1|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
मापांक के गुणधर्म $|a| + |b| \geq |a + b|$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq |z + z - 1 + 3 - 2z|$
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq |2|$
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq 2$
अतः,न्यूनतम मान $2$ है।

(A) यह दिया गया है कि $(2+i)$ समीकरण $x^3-5x^2+9x-5=0$ का एक मूल है,इसलिए दूसरा अवास्तविक सम्मिश्र मूल $(2-i)$ होगा।
माना कि तीसरा मूल $\alpha$ है,इसलिए मूलों के गुणनफल के नियम से,
$(2+i)(2-i) \alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 1$
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $i x^2 - 3 x - 2 i = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
यहाँ $a = i$,$b = -3$,$c = -2i$ है।
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(i)(-2i)}}{2(i)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8i^2}}{2i}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2i}$
$x = \frac{3 \pm 1}{2i}$
स्थिति $1$: $x = \frac{4}{2i} = -2i$
स्थिति $2$: $x = \frac{2}{2i} = -i$
अतः,हल $x = -i$ और $x = -2i$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $\bar{z} = i z^2$ है।
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें प्राप्त होता है $z = \bar{i} \bar{z}^2 = -i \bar{z}^2$।
समीकरण में $\bar{z} = i z^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$z = -i (i z^2)^2$
$z = -i (i^2 z^4)$
$z = -i (-1) z^4$
$z = i z^4$
$z^4 - i z = 0$
$z (z^3 - i) = 0$
चूंकि हम शून्येतर हल खोज रहे हैं,इसलिए $z \neq 0$,अतः $z^3 - i = 0$।

(C) दिए गए $Z = a + ib$ के लिए,$\hat{Z} = b + ia = i(a - ib) = i\bar{Z}$ है।
मान लीजिए $Z_1 = a + ib$ और $Z_2 = c + id$ है।
तब $Z_1 Z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)$ है।
$\hat{Z}$ की परिभाषा के अनुसार,$\widehat{Z_1 Z_2} = (ad + bc) + i(ac - bd)$ है।
अब,$\hat{Z}_1 \hat{Z}_2 = (b + ia)(d + ic) = (bd - ac) + i(bc + ad)$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है कि,$\alpha = \frac{a+ib}{1-c}$.
दोनों पक्षों का मापांक वर्ग लेने पर,$|\alpha|^2 = \frac{a^2+b^2}{(1-c)^2} \quad \dots(i)$.
दिया गया है $a^2+b^2+c^2=c$,अतः $a^2+b^2 = c-c^2 = c(1-c) \quad \dots(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$|\alpha|^2 = \frac{c(1-c)}{(1-c)^2} = \frac{c}{1-c}$.
इससे $1+|\alpha|^2 = 1 + \frac{c}{1-c} = \frac{1-c+c}{1-c} = \frac{1}{1-c}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1-c = \frac{1}{1+|\alpha|^2}$.
$(ii)$ से,$a^2+b^2 = c(1-c) = (1-(1-c))(1-c) = (1-c) - (1-c)^2$.
$1-c = \frac{1}{1+|\alpha|^2}$ रखने पर,$a^2+b^2 = \frac{1}{1+|\alpha|^2} - \left(\frac{1}{1+|\alpha|^2}\right)^2 = \frac{1+|\alpha|^2-1}{(1+|\alpha|^2)^2} = \frac{|\alpha|^2}{(1+|\alpha|^2)^2}$.

(D) दिया गया समीकरण $z^4+z^2+1=0$ है।
$z^2$ से भाग देने पर ($z \neq 0$ होने के कारण),हमें $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$।
साथ ही,$(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+\frac{1}{z^2}+2 = -1+2 = 1$,इसलिए $z+\frac{1}{z} = \pm 1$।
$z^3+\frac{1}{z^3}$ के लिए,हम सर्वसमिका $z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2-1+\frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(-1-1) = -2(z+\frac{1}{z})$ का उपयोग करते हैं।
यदि $z+\frac{1}{z} = 1$ है,तो $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(1) = -2$।
व्यंजक $(1)^3+(-1)^2+(-2)^3 = 1+1-8 = -6$ हो जाता है।
यदि $z+\frac{1}{z} = -1$ है,तो $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(-1) = 2$।
व्यंजक $(-1)^3+(-1)^2+(2)^3 = -1+1+8 = 8$ हो जाता है।
समीकरण $z^4+z^2+1=0$ के मूल $e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i8\pi/3}, e^{i10\pi/3}$ हैं। इनके लिए,$z+\frac{1}{z} = 2\cos(2\pi/3) = -1$। अतः,मान $8$ है।

(A) दिया गया है,$(a+ib)^2=(c+id)^2(x+iy)$
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर:
$|a+ib|^2 = |c+id|^2 |x+iy|$
चूंकि $|z|^2 = a^2+b^2$ होता है,इसलिए:
$a^2+b^2 = (c^2+d^2) \sqrt{x^2+y^2}$
दिए गए मान $a^2+b^2=4$ और $c^2+d^2=2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = 2 \sqrt{x^2+y^2}$
$\sqrt{x^2+y^2} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2+y^2 = 4$

(D) दिया गया है,$\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$.
त्रिभुज असमिका $|a+b| \leq |a|+|b|$ का उपयोग करने पर:
$|z| = \left|z-\frac{4}{z} + \frac{4}{z}\right| \leq \left|z-\frac{4}{z}\right| + \left|\frac{4}{z}\right|$.
दिया गया मान रखने पर: $|z| \leq 2 + \frac{4}{|z|}$.
$|z|$ से गुणा करने पर: $|z|^2 \leq 2|z| + 4$.
$|z|^2 - 2|z| - 4 \leq 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(|z|-1)^2 - 1 - 4 \leq 0 \Rightarrow (|z|-1)^2 \leq 5$.
वर्गमूल लेने पर: $|z|-1 \leq \sqrt{5}$.
अतः,$|z| \leq \sqrt{5}+1$.
$|z|$ का अधिकतम मान $\sqrt{5}+1$ है.

(A) दिया गया है $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{4^n}}$.
गुणनफल $P = x_1 x_2 x_3 \ldots \infty$ इस प्रकार है:
$P = e^{i \frac{\pi}{4^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^3}} \ldots = e^{i \pi \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots \right)}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$ होता है।
अतः,$P = e^{i \pi \left(\frac{1}{3}\right)} = e^{i \frac{\pi}{3}}$.
$P = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$.

(D) दिया गया है $z = 3+5i$,तो इसका संयुग्मी $\bar{z} = 3-5i$ होगा।
सबसे पहले,$z^3$ की गणना करें:
$z^2 = (3+5i)^2 = 9 + 25i^2 + 30i = 9 - 25 + 30i = -16 + 30i$.
$z^3 = z^2 \cdot z = (-16 + 30i)(3 + 5i) = -48 - 80i + 90i + 150i^2$.
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $z^3 = -48 + 10i - 150 = -198 + 10i$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$z^3 + \bar{z} + 198 = (-198 + 10i) + (3 - 5i) + 198$.
$= (-198 + 198) + (10i - 5i) + 3 = 0 + 5i + 3 = 3 + 5i$.

(A) दिया गया है कि $(r, \theta) = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$.
अतः,$x = e^{i\alpha}$,$y = e^{i\beta}$,और $z = e^{i\gamma}$.
दिया है $x + y + z = 0$,हम जानते हैं कि सम्मिश्र संख्याओं के लिए,यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$.
$xyz$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} = 3$.
घातांकीय रूपों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{e^{2i\alpha}}{e^{i\beta}e^{i\gamma}} + \frac{e^{2i\beta}}{e^{i\alpha}e^{i\gamma}} + \frac{e^{2i\gamma}}{e^{i\alpha}e^{i\beta}} = 3$.
$e^{i(2\alpha - \beta - \gamma)} + e^{i(2\beta - \alpha - \gamma)} + e^{i(2\gamma - \alpha - \beta)} = 3$.
दोनों पक्षों का वास्तविक भाग लेने पर:
$\cos(2\alpha - \beta - \gamma) + \cos(2\beta - \alpha - \gamma) + \cos(2\gamma - \alpha - \beta) = 3$.

(C) दिया गया है $|z|=1$ और $\operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{6}$।
$z = |z|e^{i \operatorname{Arg}(z)} = 1 \cdot e^{i \frac{\pi}{6}} = e^{i \frac{\pi}{6}}$।
तब $z^6 = (e^{i \frac{\pi}{6}})^6 = e^{i \pi} = -1$।
और $z^{12} = (e^{i \frac{\pi}{6}})^{12} = e^{2 \pi i} = 1$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{z^{12}+1-z^6}{z^{12}+i z^6-1} = \frac{1+1-(-1)}{1+i(-1)-1} = \frac{3}{-i} = \frac{3}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{3i}{-i^2} = 3i$।

(C) माना $C = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (n \theta)}{2^n}$ और $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin (n \theta)}{2^n}$ है।
$C + iS = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{e^{i \theta}}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{e^{i \theta}}{2}} = \frac{2}{2 - \cos \theta - i \sin \theta}$.
अंश और हर को $(2 - \cos \theta + i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$C + iS = \frac{2(2 - \cos \theta + i \sin \theta)}{(2 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} = \frac{4 - 2 \cos \theta + 2i \sin \theta}{5 - 4 \cos \theta}$.
वास्तविक भाग की तुलना करने पर, $C = \frac{4 - 2 \cos \theta}{5 - 4 \cos \theta}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $z = \cos 6^{\circ} + i \sin 6^{\circ} = e^{i 6^{\circ}}$.
हमें $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}(z^{2n-1}) = \operatorname{Im} \left( \sum_{n=1}^{20} z^{2n-1} \right)$ ज्ञात करना है।
यह योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = z + z^3 + z^5 + \dots + z^{39}$.
यहाँ,प्रथम पद $a = z$ और सार्व अनुपात $r = z^2 = e^{i 12^{\circ}}$ है।
$20$ पदों का योग $S = z \frac{(z^2)^{20} - 1}{z^2 - 1} = z \frac{z^{40} - 1}{z^2 - 1}$ है।
$z = e^{i 6^{\circ}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 240^{\circ}} - 1}{e^{i 12^{\circ}} - 1}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $e^{i \theta} - 1 = e^{i \theta/2} (2i \sin(\theta/2))$ का उपयोग करने पर:
$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 120^{\circ}} (2i \sin 120^{\circ})}{e^{i 6^{\circ}} (2i \sin 6^{\circ})} = e^{i 120^{\circ}} \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}}$.
$S = (\cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ}) \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}} = \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{\sqrt{3}/2}{\sin 6^{\circ}}$.
$S = -\frac{\sqrt{3}}{4 \sin 6^{\circ}} + i \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.
काल्पनिक भाग लेने पर,$\operatorname{Im}(S) = \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.

(C) $\theta = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ और $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ है।
प्रथम पद में इन मानों को रखने पर: $\left(\frac{0+i(1)}{1+i(0)}\right)^{2024} = (i)^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1$।
दूसरे पद के लिए: $\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta} = \frac{1+0+i(1)}{1-0+i(1)} = \frac{1+i}{1+i} = 1$।
अतः,व्यंजक $1^{2024} + 1^{2025} = 1 + 1 = 2$ हो जाता है।
चूँकि $x+iy = 2$,इसलिए $x=2$ और $y=0$ है।
अतः,$x+y = 2+0 = 2$।

(C) सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप के गुण का उपयोग करते हुए,$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$,दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$e^{i \frac{\pi}{2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \frac{\pi}{8}} \ldots \infty$
$= e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \infty)}$
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{\pi}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$S_{\infty} = \frac{\frac{\pi}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}} = \pi$.
अतः,व्यंजक $e^{i\pi}$ हो जाता है।
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i(0) = -1$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया है,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$.
$x$ से भाग देने पर,हमें $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2 = \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)^2 - 4$.
माना $x = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. तब $x+\frac{1}{x} = 2 \cos \theta = \sqrt{3}$,अतः $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$x^n = \cos \frac{n\pi}{6} + i \sin \frac{n\pi}{6}$ और $\frac{1}{x^n} = \cos \frac{n\pi}{6} - i \sin \frac{n\pi}{6}$.
तब $x^n - \frac{1}{x^n} = 2i \sin \frac{n\pi}{6}$.
इसलिए,$\left(x^n - \frac{1}{x^n}\right)^2 = (2i \sin \frac{n\pi}{6})^2 = -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6}$.
अब,$\sum_{n=1}^{24} -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6} = -4 \sum_{n=1}^{24} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$.
चूंकि $\sin^2 \frac{n\pi}{6}$ का आवर्तकाल $6$ है,इसलिए $24$ पदों का योग $4 \times \sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$ होगा।
$\sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6} = \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{2\pi}{6} + \sin^2 \frac{3\pi}{6} + \sin^2 \frac{4\pi}{6} + \sin^2 \frac{5\pi}{6} + \sin^2 \frac{6\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 3$.
अतः,कुल योग $-4 \times (4 \times 3) = -48$ है।