જો z=cos 6^{circ}+i sin 6^{circ} હોય,તો sum_{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $z = \cos 6^{\circ} + i \sin 6^{\circ} = e^{i 6^{\circ}}$.આપણે $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}(z^{2n-1}) = \operatorname{Im} \left( \su

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $z = \cos 6^{\circ} + i \sin 6^{\circ} = e^{i 6^{\circ}}$.આપણે $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}(z^{2n-1}) = \operatorname{Im} \left( \sum_{n=1}^{20} z^{2n-1} ight)$ શોધવાનું છે.આ સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = z + z^3 + z^5 + \dots + z^{39}$.અહીં,પ્રથમ પદ $a = z$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = z^2 = e^{i 12^{\circ}}$ છે.$20$ પદોનો સરવાળો $S = z \frac{(z^2)^{20} - 1}{z^2 - 1} = z \frac{z^{40} - 1}{z^2 - 1}$ થાય.$z = e^{i 6^{\circ}}$ મૂકતા,$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 240^{\circ}} - 1}{e^{i 12^{\circ}} - 1}$ મળે.$e^{i 	heta} - 1 = e^{i 	heta/2} (2i \sin(	heta/2))$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 120^{\circ}} (2i \sin 120^{\circ})}{e^{i 6^{\circ}} (2i \sin 6^{\circ})} = e^{i 120^{\circ}} \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}}$.$S = (\cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ}) \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}} = \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} ight) \frac{\sqrt{3}/2}{\sin 6^{\circ}}$.$S = -\frac{\sqrt{3}}{4 \sin 6^{\circ}} + i \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.કાલ્પનિક ભાગ લેતા,$\operatorname{Im}(S) = \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.

જો $z=\cos 6^{\circ}+i \sin 6^{\circ}$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}\left(z^{2 n-1}\right)=$

Similar Questions

જો $z=3+5i$ હોય,તો $z^3+\bar{z}+198$ ની કિંમત શોધો.

જો $z$ એ વર્તુળ $|z|=1$ પરનું બિંદુ હોય અને $\operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\frac{z^{12}+1-z^6}{z^{12}+i z^6-1}=$

જો $z_n = (1 + i \sqrt{2})^n$, $n \in Z$ હોય, તો $\frac{1}{9} \operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = $

જો $\frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય,તો $\cos^2 \theta=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module