Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(D) एक वर्ग $ABCD$ में,जहाँ शीर्ष $z_1, z_2, z_3, z_4$ वामावर्त क्रम में हैं,सदिश $\vec{BC}$ को सदिश $\vec{BA}$ को $90^\circ$ वामावर्त दिशा में घुमाकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2} = i$ प्राप्त होता है।
इससे $z_3-z_2 = i(z_1-z_2)$ मिलता है।
सरल करने पर $z_3 = i z_1 + (1-i) z_2$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $a = \alpha + i\beta$ और $z = x + iy$ है।
दिया गया समीकरण $\bar{a}z + a\bar{z} = 0$ है।
मान रखने पर,$(\alpha - i\beta)(x + iy) + (\alpha + i\beta)(x - iy) = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$2(\alpha x + \beta y) = 0$ अर्थात $\alpha x + \beta y = 0$ प्राप्त होता है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा है जिसका ढाल $m_1 = -\frac{\alpha}{\beta}$ है।
वास्तविक अक्ष ($x$-अक्ष) में प्रतिबिंब लेने पर,नया ढाल $m_2 = -m_1 = \frac{\alpha}{\beta}$ हो जाता है।
प्रतिबिंबित रेखा का समीकरण $\alpha x - \beta y = 0$ है।
$x = \frac{z+\bar{z}}{2}$ और $y = \frac{z-\bar{z}}{2i}$ रखने पर,$\alpha(\frac{z+\bar{z}}{2}) - \beta(\frac{z-\bar{z}}{2i}) = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$(\alpha + i\beta)z + (\alpha - i\beta)\bar{z} = 0$ अर्थात $az + \bar{a}\bar{z} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $\left|\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}\right|=1$
अंश और हर को $z_2$ से विभाजित करने पर ($z_2 \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\left|\frac{z_1/z_2 + 1}{z_1/z_2 - 1}\right| = 1$
माना $w = \frac{z_1}{z_2}$. तब $|w+1| = |w-1|$.
यह समीकरण उन बिंदुओं $w$ का बिंदुपथ दर्शाता है जो सम्मिश्र तल में $-1$ और $1$ से समान दूरी पर हैं।
दो बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होता है।
बिंदु वास्तविक अक्ष पर $(-1, 0)$ और $(1, 0)$ हैं। इन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक काल्पनिक अक्ष है।
इसलिए,$w = \frac{z_1}{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक होना चाहिए (अर्थात,इसका वास्तविक भाग $0$ है)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $|z|-2=0 \implies |z|=2$। यह मूल बिंदु पर केंद्रित और $2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है,इसलिए $x^2+y^2=4$।
साथ ही,$|z+i|-|z-1|=0 \implies |z+i|=|z-1|$।
माना $z=x+iy$ है। तब $|x+i(y+1)|=|x-1+iy|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+(y+1)^2=(x-1)^2+y^2$।
$x^2+y^2+2y+1=x^2-2x+1+y^2$।
$2y=-2x \implies y=-x$।
$y=-x$ को $x^2+y^2=4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+(-x)^2=4 \implies 2x^2=4 \implies x^2=2 \implies x=\pm\sqrt{2}$।
यदि $x=\sqrt{2}$ है,तो $y=-\sqrt{2}$,इसलिए $z=\sqrt{2}-i\sqrt{2}=\sqrt{2}(1-i)$।
यदि $x=-\sqrt{2}$ है,तो $y=\sqrt{2}$,इसलिए $z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}=\sqrt{2}(-1+i)$।
अतः,$z$ के संभावित मान $\sqrt{2}(1-i)$ और $\sqrt{2}(-1+i)$ हैं।

(B) सम्मिश्र तल में वृत्त का सामान्य समीकरण $z \bar{z} + \bar{a} z + a \bar{z} + b = 0$ है,जहाँ केंद्र $-a$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{|a|^2 - b}$ है।
दिए गए समीकरण $z \bar{z} + (2 - 3i) z + (2 + 3i) \bar{z} + 4 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = 2 - 3i$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$|a|^2 = |2 - 3i|^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$ की गणना करें।
अब,त्रिज्या $r = \sqrt{|a|^2 - b} = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $3 \text{ इकाई}$ है।

(D) दिया गया है $z=x+iy$.
तब $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)}$.
इस व्यंजक को वास्तविक बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं:
$\frac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)} \times \frac{x-i(y-1)}{x-i(y-1)} = \frac{x(x-1) - i(x-1)(y-1) + ixy + y(y-1)}{x^2 + (y-1)^2}$.
इस व्यंजक का काल्पनिक भाग $\frac{xy - (x-1)(y-1)}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{xy - (xy - x - y + 1)}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x+y-1}{x^2 + (y-1)^2}$ है।
व्यंजक के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{x+y-1}{x^2 + (y-1)^2} = 0 \implies x+y-1 = 0$ (जहाँ $z \neq i$).
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(A) माना $z = x + iy$. दिया गया समीकरण $\text{arg}\left(\frac{z-2}{z+2}\right) = \frac{\pi}{3}$ है।
यह एक ऐसे बिंदु $z$ का बिंदुपथ है जिसके लिए $2$ और $-2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $z$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$\text{arg}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \theta$ के गुण का उपयोग करते हुए,यह बिंदुपथ एक वृत्त का चाप है।
अतः,ये बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं।

(B) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = (1 - t^2) + i \sqrt{1 + t^2}$ है।
माना $z = x + iy$,जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = 1 - t^2$
$y = \sqrt{1 + t^2}$
काल्पनिक भाग का वर्ग करने पर,$y^2 = 1 + t^2$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण से,$t^2 = 1 - x$ है।
इस मान को $y^2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 1 + (1 - x)$
$y^2 = 2 - x$
$y^2 = -(x - 2)$
यह $Y^2 = -4aX$ के रूप का परवलय का मानक समीकरण है,जिसका शीर्ष $(2, 0)$ पर है।

(A) दिया गया है,$X_{n} = \{z = x + iy : |z|^{2} \leq \frac{1}{n}\}$.
यह मूल बिंदु पर केंद्रित और $\frac{1}{\sqrt{n}}$ त्रिज्या वाली एक डिस्क को दर्शाता है।
$n = 1$ के लिए,$X_{1} = \{x^{2} + y^{2} \leq 1\}$.
$n = 2$ के लिए,$X_{2} = \{x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}\}$.
जैसे-जैसे $n \to \infty$,त्रिज्या $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ होती है।
सभी $X_{n}$ का सर्वनिष्ठ (intersection) उन बिंदुओं का समुच्चय है जो सभी $n \geq 1$ के लिए $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{n}$ को संतुष्ट करते हैं।
इसका अर्थ है $x^{2} + y^{2} \leq 0$.
चूंकि $x^{2} + y^{2}$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए एकमात्र समाधान $x^{2} + y^{2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $x = 0$ और $y = 0$.
अतः,$\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n} = \{0 + 0i\} = \{0\}$.
इसलिए,सर्वनिष्ठ एक एकल समुच्चय है।

(C) समुच्चय $A$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $2 + 0i$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
समुच्चय $B$ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभियाँ $2$ और $-2$ हैं। नाभियों से दूरियों का योग $2a = 5$ है,इसलिए $a = \frac{5}{2}$ है। केंद्र मूलबिंदु $(0, 0)$ पर है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a = \frac{5}{2}$ और $c = 2$ है। चूँकि $b^2 = a^2 - c^2$,इसलिए $b^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$,अतः $b = \frac{3}{2}$ है।
$|z_1 - z_2|$ को अधिकतम करने के लिए,हम $z_1$ को $A$ की सीमा पर और $z_2$ को दीर्घवृत्त $B$ पर इस प्रकार चुनते हैं कि वे एक-दूसरे से यथासंभव दूर हों।
दीर्घवृत्त $B$ पर केंद्र $2$ से सबसे दूर स्थित बिंदु $z_2 = -\frac{5}{2}$ है।
वृत्त $A$ पर $z_2 = -\frac{5}{2}$ से सबसे दूर स्थित बिंदु $z_1 = 6$ है।
अतः,अधिकतम दूरी $|6 - (-5/2)| = |6 + 2.5| = 8.5 = \frac{17}{2}$ है।

(C) दिए गए समीकरण सम्मिश्र तल में दो वृत्त दर्शाते हैं:
$|z-6|=5$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $C_{1}(6, 0)$ और त्रिज्या $r_{1}=5$ है।
$|z-(-2+6i)|=5$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $C_{2}(-2, 6)$ और त्रिज्या $r_{2}=5$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_{1}C_{2} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (0 - 6)^2} = 10$ है।
चूंकि $C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2} = 10$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
बिंदु $z$ केंद्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है।
$z = (2, 3)$,अर्थात $z = 2 + 3i$.
$z = 2+3i$ के लिए $z^2 = 4z - 13$ और $z^3 = 3z - 52$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $(3z - 52) + 3(4z - 13) - 15z + 141 = 50$.

(D) दिया गया है $\left|\frac{z-6i}{z-2i}\right| = 1$,जहाँ $z = x + iy$ है। इसका अर्थ है $|z-6i| = |z-2i|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + (y-6)^2 = x^2 + (y-2)^2$.
$y^2 - 12y + 36 = y^2 - 4y + 4$ $\Rightarrow 8y = 32$ $\Rightarrow y = 4$.
अब,$\left|\frac{z-8+2i}{z+2i}\right| = \frac{3}{5} \Rightarrow 25|z-(8-2i)|^2 = 9|z+2i|^2$.
$25((x-8)^2 + (y+2)^2) = 9(x^2 + (y+2)^2)$.
$y=4$ रखने पर: $25((x-8)^2 + 36) = 9(x^2 + 36)$.
$25(x^2 - 16x + 64 + 36) = 9(x^2 + 36)$.
$25x^2 - 400x + 2500 = 9x^2 + 324$.
$16x^2 - 400x + 2176 = 0 \Rightarrow x^2 - 25x + 136 = 0$.
$(x-8)(x-17) = 0 \Rightarrow x = 8 \text{ या } x = 17$.
अतः,$z_1 = 8+4i$ और $z_2 = 17+4i$.
$|z_1|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$.
$|z_2|^2 = 17^2 + 4^2 = 289 + 16 = 305$.
$\sum_{z \in S} |z|^2 = 80 + 305 = 385$.

(D) $|z-5| \le 3$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(5, 0)$ और त्रिज्या $3$ है। $z$ का कोणांक अधिकतम होने के लिए,मूल बिंदु से खींची गई रेखा को बिंदु $P(z)$ पर वृत्त को स्पर्श करना चाहिए।
मूल बिंदु $(0, 0)$,केंद्र $(5, 0)$ और बिंदु $P(z)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,कर्ण $5$ है और त्रिज्या $3$ है। अतः,मूल बिंदु से $P$ की दूरी $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ है।
मान लीजिए $z = x + iy$ है। ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
अतः,$z = 4(\cos \theta + i \sin \theta) = 4(\frac{4}{5} + i \frac{3}{5}) = \frac{16}{5} + i \frac{12}{5}$ है।
अब,$z$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$5z - 12 = 5(\frac{16}{5} + i \frac{12}{5}) - 12 = 16 + 12i - 12 = 4 + 12i$.
$5iz + 16 = 5i(\frac{16}{5} + i \frac{12}{5}) + 16 = 16i - 12 + 16 = 4 + 16i$.
अतः,$|\frac{5z-12}{5iz+16}|^2 = |\frac{4+12i}{4+16i}|^2 = |\frac{1+3i}{1+4i}|^2 = \frac{1^2 + 3^2}{1^2 + 4^2} = \frac{1+9}{1+16} = \frac{10}{17}$ है।
अंत में,$34 \times \frac{10}{17} = 2 \times 10 = 20$।

(A) दिया गया है $4z^2 + \overline{z} = 0$। मान लीजिए $z = x + iy$ है।
समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $4(x + iy)^2 + (x - iy) = 0$।
$4(x^2 - y^2 + 2xyi) + x - iy = 0$।
$4x^2 - 4y^2 + x + i(8xy - y) = 0$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$4x^2 - 4y^2 + x = 0$ और $y(8x - 1) = 0$।
स्थिति $1$: $y = 0$। तब $4x^2 + x = 0 \Rightarrow x(4x + 1) = 0$। अतः $x = 0$ या $x = -1/4$।
इससे $z_1 = 0$ $(|z_1|^2 = 0)$ और $z_2 = -1/4$ $(|z_2|^2 = 1/16)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $x = 1/8$। तब $4(1/8)^2 - 4y^2 + 1/8 = 0$।
$4/64 - 4y^2 + 1/8 = 0$ $\Rightarrow 1/16 + 1/8 = 4y^2$ $\Rightarrow 3/16 = 4y^2$ $\Rightarrow y^2 = 3/64$।
अतः $y = \pm \sqrt{3}/8$। इससे $z_3 = 1/8 + i\sqrt{3}/8$ और $z_4 = 1/8 - i\sqrt{3}/8$ प्राप्त होते हैं।
$|z_3|^2 = (1/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$।
$|z_4|^2 = (1/8)^2 + (-\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$।
मापांकों के वर्गों का योग: $0 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 3/16$।

(B) दिया गया समुच्चय $S = \{z : 3 \le |2z - 3(1 + i)| \le 7\}$ है।
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{3}{2} \le |z - \frac{3}{2}(1 + i)| \le \frac{7}{2}$.
यह एक वलय (annulus) को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ है,आंतरिक त्रिज्या $r_1 = \frac{3}{2}$ और बाहरी त्रिज्या $r_2 = \frac{7}{2}$ है।
हमें बिंदु $P(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2})$ से समुच्चय $S$ तक की न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है।
दूरी $PC = \sqrt{(\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2}))^2 + (\frac{3}{2} - (-\frac{3}{2}))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$P$ से वलय तक की न्यूनतम दूरी $PC - r_2 = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$ है।

(A) दिया गया है कि $|z + 2| = |z - 2|$,जो $-2$ और $2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है,जो कि काल्पनिक अक्ष (imaginary axis) है। अतः,$z = iy$ जहाँ $y \in \mathbb{R}$.
$z = iy$ को तर्क (argument) के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{z + 3}{z - i} = \frac{3 + iy}{iy - i} = \frac{3 + iy}{i(y - 1)}$.
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को $-i$ से गुणा करने पर:
$\frac{(3 + iy)(-i)}{i(y - 1)(-i)} = \frac{-3i - i^2y}{y - 1} = \frac{y - 3i}{y - 1} = \frac{y}{y - 1} - i\frac{3}{y - 1}$.
दिया गया है कि $\arg\left(\frac{z + 3}{z - i}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{-3/(y - 1)}{y/(y - 1)} = \frac{-3}{y} = 1$.
$y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = -3i$,और $|z|^2 = |-3i|^2 = 9$.

(B) पहला समीकरण $|z - (4 + 8i)| = \sqrt{10}$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(4, 8)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
दूसरा समीकरण $|z - (3 + 5i)| + |z - (5 + 11i)| = 4\sqrt{5}$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $F_1(3, 5)$ और $F_2(5, 11)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(5-3)^2 + (11-5)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 4\sqrt{5}$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{5}$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{2\sqrt{10}}{2(2\sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होती है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $F_1F_2$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{3+5}{2}, \frac{5+11}{2}) = (4, 8)$ है। यह वृत्त के केंद्र के समान है।
लघु अक्ष का अर्ध-अक्ष $b$ के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2) = (2\sqrt{5})^2(1 - 1/2) = 20(1/2) = 10$,इसलिए $b = \sqrt{10}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ दीर्घवृत्त के लघु अर्ध-अक्ष $b = \sqrt{10}$ के बराबर है,इसलिए वृत्त दीर्घवृत्त को लघु अक्ष के दो अंतिम बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
अतः,$z$ के $2$ मान हैं जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।