Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(B) सम्मिश्र संख्या $z = \frac{1 + 2i}{1 - i}$ को सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $1 + i$ से गुणा करें:
$z = \frac{1 + 2i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i}$
$z = \frac{1 + i + 2i + 2i^2}{1^2 - i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{1 + 3i - 2}{1 - (-1)} = \frac{-1 + 3i}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{3}{2}$
वास्तविक भाग $-\frac{1}{2}$ (ऋणात्मक) है और काल्पनिक भाग $\frac{3}{2}$ (धनात्मक) है।
अतः,यह सम्मिश्र संख्या $II$ चतुर्थांश में स्थित है।

(C) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। तब इसका संयुग्मी $\bar{z} = x - iy$ है।
दिया गया समीकरण $z^2 = (\bar{z})^2$ है।
मान रखने पर: $(x + iy)^2 = (x - iy)^2$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 - y^2 + 2ixy = x^2 - y^2 - 2ixy$.
दोनों पक्षों से $x^2 - y^2$ घटाने पर: $2ixy = -2ixy$.
दोनों पक्षों में $2ixy$ जोड़ने पर: $4ixy = 0$.
इसका अर्थ है कि $xy = 0$ है।
अतः,या तो $x = 0$ (जिसका अर्थ है कि $z$ शुद्ध काल्पनिक है) या $y = 0$ (जिसका अर्थ है कि $z$ शुद्ध वास्तविक है)।
इस प्रकार,$z$ या तो शुद्ध वास्तविक है या शुद्ध काल्पनिक है।

(D) दी गई असमिका: $|z - 4| < |z - 2|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|z - 4|^2 < |z - 2|^2$
माना $z = x + iy$ है। तब $|(x - 4) + iy|^2 < |(x - 2) + iy|^2$
$(x - 4)^2 + y^2 < (x - 2)^2 + y^2$
$x^2 - 8x + 16 + y^2 < x^2 - 4x + 4 + y^2$
$-8x + 16 < -4x + 4$
$12 < 4x$
$x > 3$
चूंकि $x = \text{Re}(z)$ है,अतः क्षेत्र $\text{Re}(z) > 3$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $w = \frac{z - 1}{z + 1}$ है। चूँकि $w$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए $w + \overline{w} = 0$ होगा।
$w = \frac{z - 1}{z + 1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{z - 1}{z + 1} + \overline{\left(\frac{z - 1}{z + 1}\right)} = 0$।
$\frac{z - 1}{z + 1} + \frac{\overline{z} - 1}{\overline{z} + 1} = 0$।
$(z - 1)(\overline{z} + 1) + (\overline{z} - 1)(z + 1) = 0$।
$(z\overline{z} + z - \overline{z} - 1) + (z\overline{z} + \overline{z} - z - 1) = 0$।
$2z\overline{z} - 2 = 0$।
$z\overline{z} = 1$।
चूँकि $|z|^2 = z\overline{z}$,इसलिए $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $|z| = 1$।

(B) दिया गया है $\left| z + \frac{2}{z} \right| = 2$.
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\left| z + \frac{2}{z} \right| \ge ||z| - |\frac{2}{z}||$.
साथ ही,व्युत्क्रम त्रिभुज असमिका द्वारा,$|z + \frac{2}{z}| \le |z| + |\frac{2}{z}|$.
दी गई शर्त से,$|z| - \frac{2}{|z|} \le |z + \frac{2}{z}| = 2$.
मान लीजिए $|z| = r$. तब $r - \frac{2}{r} \le 2$,जिसका अर्थ है $r^2 - 2r - 2 \le 0$.
द्विघात समीकरण $r^2 - 2r - 2 = 0$ को हल करने पर,हमें $r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r = |z| > 0$,इसलिए $r \le 1 + \sqrt{3}$.
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $1 + \sqrt{3}$ है.

(C) दिया गया है $\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} \right| = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} \right|^2 = 1$.
इसका अर्थ है $(z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2})$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} = z_1\overline{z_1} - z_1\overline{z_2} - z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2}$.
सरल करने पर,$2(z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}) = 0$,जिसका अर्थ है $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} = 0$.
यह दर्शाता है कि $2 \text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$,इसलिए $z_1\overline{z_2}$ का वास्तविक भाग $0$ है।
मान लीजिए $\frac{z_1}{z_2} = x + iy$. तब $z_1 = z_2(x + iy)$.
इस मान को $\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$ में रखने पर,हमें $|z_2|^2 x = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $z_2 \neq 0$,इसलिए $x = 0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{z_1}{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक है। यदि $z_1 = 0$ है,तो $\frac{z_1}{z_2} = 0$ है।
इसलिए,$\frac{z_1}{z_2}$ शून्य या शुद्ध काल्पनिक है।

(A) माना ${z_1} = a + ib$ और ${z_2} = c - id$,जहाँ $a > 0$ और $d > 0$ है।
दिया है $|{z_1}| = |{z_2}|$,अतः ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$ है।
माना $w = \frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}}$ है।
तब $\bar{w} = \frac{{\bar{z_1} + \bar{z_2}}}{{\bar{z_1} - \bar{z_2}}}$ होगा।
चूँकि $|{z_1}| = |{z_2}| = r$,हमारे पास $\bar{z_1} = \frac{r^2}{z_1}$ और $\bar{z_2} = \frac{r^2}{z_2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\bar{w} = \frac{{\frac{r^2}{z_1} + \frac{r^2}{z_2}}}{{\frac{r^2}{z_1} - \frac{r^2}{z_2}}} = \frac{{z_2 + z_1}}{{z_2 - z_1}} = -\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = -w$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\bar{w} = -w$,सम्मिश्र संख्या $w$ शुद्ध काल्पनिक है।
उदाहरण के लिए,${z_1} = 2 + i$ और ${z_2} = 1 - 2i$ लेने पर,
$\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} = -i$ प्राप्त होता है,जो कि शुद्ध काल्पनिक है।

(A) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
दिया गया है $|z + i| = |z - i|$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x + iy + i| = |x + iy - i|$
$|x + i(y + 1)| = |x + i(y - 1)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + (y + 1)^2 = x^2 + (y - 1)^2$
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 - 2y + 1$
$2y = -2y$
$4y = 0 \implies y = 0$.
चूँकि $y = 0$,इसलिए $z = x + i(0) = x$,जो किसी भी वास्तविक संख्या को दर्शाता है।

(C) दिया गया है $\left| \frac{{z_1} - {z_2}}{{z_1} + {z_2}} \right| = 1$,मान लीजिए $\frac{{z_1} - {z_2}}{{z_1} + {z_2}} = e^{i\alpha} = \cos \alpha + i\sin \alpha$,जहाँ $\alpha$,${z_1} - {z_2}$ और ${z_1} + {z_2}$ के बीच का कोण है।
योगान्तरानुपात (Componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{2{z_1}}{-2{z_2}} = \frac{\cos \alpha + i\sin \alpha + 1}{\cos \alpha + i\sin \alpha - 1} = -i\cot(\alpha/2)$
अतः,$\frac{{z_1}}{{z_2}} = i\cot(\alpha/2)$,जिसका अर्थ है $i{z_1} = -\cot(\alpha/2) {z_2}$.
दिए गए $i{z_1} = k{z_2}$ से तुलना करने पर,$k = -\cot(\alpha/2)$,अर्थात $\cot(\alpha/2) = -k$.
$\tan \alpha = \frac{2\tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)} = \frac{2(-1/k)}{1 - 1/k^2} = \frac{2k}{1 - k^2}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{2k}{1 - k^2}\right) = -2\tan^{-1}k$.

(B) दिया गया है $|z| = 1$,इसलिए $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1$ .....$(i)$
अब,व्यंजक $\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$ पर विचार करें।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x + 1) - iy$ से गुणा करने पर:
$\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2}$
$= \frac{(x^2 - 1) + y^2 + i(y(x + 1) - y(x - 1))}{(x + 1)^2 + y^2}$
$= \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(xy + y - xy + y)}{(x + 1)^2 + y^2}$
$= \frac{(1 - 1) + 2iy}{(x + 1)^2 + y^2}$ [समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर]
$= \frac{2iy}{(x + 1)^2 + y^2}$
चूंकि वास्तविक भाग $0$ है,इसलिए यह व्यंजक शुद्ध काल्पनिक है।

(C) माना $f(z) = |2z - 1| + |3z - 2| = 2|z - 1/2| + 3|z - 2/3|$.
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|a| + |b| \ge |a - b|$.
वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$g(x) = |2x - 1| + |3x - 2|$ पर विचार करें।
यदि $x < 1/2$,तो $g(x) = -5x + 3$ (ह्रासमान फलन)।
यदि $1/2 \le x \le 2/3$,तो $g(x) = -x + 1$ (ह्रासमान फलन)।
यदि $x > 2/3$,तो $g(x) = 5x - 3$ (वर्धमान फलन)।
अतः,न्यूनतम मान $x = 2/3$ पर प्राप्त होता है।
$x = 2/3$ रखने पर,$g(2/3) = |4/3 - 1| + 0 = 1/3$।

(C) मान लीजिए $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$.
तब $-iz = -i(re^{i\theta}) = e^{-i\pi/2} (re^{i\theta}) = re^{i(\theta - \pi/2)}$.
$z$ का कोणांक $\theta$ है और $-iz$ का कोणांक $\theta - \frac{\pi}{2}$ है।
सदिशों के बीच का कोण उनके कोणांकों का अंतर है:
$\text{कोण} = (\theta - \frac{\pi}{2}) - \theta = -\frac{\pi}{2}$.
अतः,कोण $-\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया है $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$.
गुणधर्म $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta_1 = \arg(z_1)$ और $\theta_2 = \arg(z_2)$ है।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2$.
इससे $2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2) = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $z_1, z_2 \neq 0$ है,तो $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 0$ होगा।
इसका अर्थ है $\theta_1 - \theta_2 = \pm \frac{\pi}{2}$।
अतः,$\arg\left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \arg(z_1) - \arg(z_2) = \pm \frac{\pi}{2}$।
चूँकि $\frac{z_1}{z_2}$ का कोणांक $\pm \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\frac{z_1}{z_2}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।
अतः,$\text{Re} \left( \frac{z_1}{z_2} \right) = 0$।

(C) दिया गया है $|z_1 + z_2| = |z_1 - z_2|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z_1 + z_2|^2 = |z_1 - z_2|^2$ प्राप्त होता है।
$(z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2})$.
$|z_1|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 + |z_2|^2 = |z_1|^2 - z_1\overline{z_2} - \overline{z_1}z_2 + |z_2|^2$.
$2(z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2) = 0$,जिसका अर्थ है $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = 0$.
इसका मतलब है $2Re(z_1\overline{z_2}) = 0$,इसलिए $z_1\overline{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक है।
मान लीजिए $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ और $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ है।
तब $z_1\overline{z_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 - \theta_2)} = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2))$।
चूंकि $z_1\overline{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए: $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 0$।
अतः,$\theta_1 - \theta_2 = \pm \frac{\pi}{2}$।

(A) दिया गया है कि $\arg\left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \pi$.
इसका अर्थ है $\arg(z_1) - \arg(z_2) = \pi$,या $\arg(z_1) = \arg(z_2) + \pi$.
माना $\arg(z_2) = \theta$. तब $\arg(z_1) = \theta + \pi$.
चूंकि $|z_1| = |z_2|$,माना $|z_1| = |z_2| = r$.
हम $z_2 = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ लिख सकते हैं।
तब $z_1 = r(\cos(\theta + \pi) + i \sin(\theta + \pi)) = r(-\cos \theta - i \sin \theta) = -r(\cos \theta + i \sin \theta) = -z_2$.
अतः,$z_1 + z_2 = -z_2 + z_2 = 0$.

(C) प्रतिबंध $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$ त्रिभुज असमिका की समानता की स्थिति को दर्शाता है।
यह तब होता है जब सम्मिश्र संख्याएँ ${z_1}$ और ${z_2}$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु से एक ही दिशा में हों।
गणितीय रूप से,इसका अर्थ है कि उनके कोणांक (arguments) समान हैं,अर्थात $arg({z_1}) = arg({z_2})$ या उनमें से एक दूसरे का गैर-ऋणात्मक वास्तविक गुणज है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि ${e^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta }$.
अतः,${e^{e^{i\theta }} = e^{\cos \theta + i\sin \theta } = e^{\cos \theta } \cdot e^{i\sin \theta }}$.
ऑयलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,${e^{i\sin \theta } = \cos(\sin \theta ) + i\sin(\sin \theta )}$.
इस प्रकार,${e^{e^{i\theta }} = e^{\cos \theta } [\cos(\sin \theta ) + i\sin(\sin \theta )] = e^{\cos \theta } \cos(\sin \theta ) + i e^{\cos \theta } \sin(\sin \theta )}$.
वास्तविक भाग ${e^{\cos \theta } \cos(\sin \theta )}$ है।

(C) माना कि दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = -1 - i$ और $z_2 = 2 + 3i$ हैं।
सम्मिश्र तल में दो बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ के बीच की दूरी उनके अंतर के मापांक $|z_1 - z_2|$ द्वारा दी जाती है।
$|z_1 - z_2| = |(-1 - i) - (2 + 3i)|$
$= |-1 - i - 2 - 3i|$
$= |-3 - 4i|$
$= \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$.
अतः,रेखाखंड की लंबाई $5$ है।

(B) एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को एक ही मध्य बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु $\frac{z_1 + z_3}{2}$ है।
विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु $\frac{z_2 + z_4}{2}$ है।
चूंकि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $\frac{z_1 + z_3}{2} = \frac{z_2 + z_4}{2}$ होगा।
अतः,$z_1 + z_3 = z_2 + z_4$।

(B) दिया गया समीकरण $z\overline{z} + a\overline{z} + \overline{a}z + b = 0$ है।
दोनों पक्षों में $|a|^2$ जोड़ने पर:
$z\overline{z} + a\overline{z} + \overline{a}z + |a|^2 = |a|^2 - b$
इसे इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है:
$(z + a)(\overline{z} + \overline{a}) = |a|^2 - b$
चूंकि $(z + a)(\overline{z} + \overline{a}) = |z + a|^2$,समीकरण बन जाता है:
$|z + a|^2 = |a|^2 - b$
यह $-a$ केंद्र और $\sqrt{|a|^2 - b}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है यदि त्रिज्या का वर्ग धनात्मक हो,अर्थात $|a|^2 - b > 0$ हो।
अतः,$|a|^2 > b$।

(C) मान लीजिए $r$ समबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या है और $\omega$ इकाई का घनमूल है। मान लीजिए $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A, B$ और $C$ क्रमशः $z_1, z_2$ और $z_3$ हैं,और परिकेंद्र $O'(z_0)$ है।
सदिश $O'A, O'B, O'C$ परिमाण में समान हैं और $\frac{2\pi}{3}$ के कोण से अलग हैं।
तब,हम लिख सकते हैं:
$z_1 - z_0 = r e^{i\theta}$
$z_2 - z_0 = r e^{i(\theta + \frac{2\pi}{3})} = r \omega e^{i\theta}$
$z_3 - z_0 = r e^{i(\theta + \frac{4\pi}{3})} = r \omega^2 e^{i\theta}$
अतः,$z_1 = z_0 + r e^{i\theta}$,$z_2 = z_0 + r \omega e^{i\theta}$,और $z_3 = z_0 + r \omega^2 e^{i\theta}$.
इनका वर्ग करके जोड़ने पर:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = (z_0 + r e^{i\theta})^2 + (z_0 + r \omega e^{i\theta})^2 + (z_0 + r \omega^2 e^{i\theta})^2$
$= 3z_0^2 + 2 z_0 r e^{i\theta} (1 + \omega + \omega^2) + r^2 e^{i2\theta} (1 + \omega^2 + \omega^4)$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$.

(B) दिया गया समीकरण $\overline{b}z + b\overline{z} = c$ है।
माना $z = x + iy$ और $b = b_1 + ib_2$,जहाँ $x, y, b_1, b_2 \in \mathbb{R}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(b_1 - ib_2)(x + iy) + (b_1 + ib_2)(x - iy) = c$
$(b_1x + ib_1y - ib_2x + b_2y) + (b_1x - ib_1y + ib_2x + b_2y) = c$
$2b_1x + 2b_2y = c$ प्राप्त होता है।
यह $x$ और $y$ में $Ax + By + C = 0$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए $z_1, z_2, z_3$ तीन सम्मिश्र संख्याएँ $A.P.$ में हैं।
तब $2z_2 = z_1 + z_3$ होगा।
इसका अर्थ है $z_2 = \frac{z_1 + z_3}{2}$।
अतः,सम्मिश्र संख्या $z_2$,बिंदुओं $z_1$ और $z_3$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,तीनों बिंदु $z_1, z_2$ और $z_3$ संरेख हैं और सम्मिश्र तल में एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

(B) चूँकि शीर्ष $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ और $z_3 = 0$ वाला त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ होगा।
मान रखने पर,$(a + i)^2 + (1 + bi)^2 + 0 = (a + i)(1 + bi)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $(a^2 - 1 + 2ai) + (1 - b^2 + 2bi) = a + abi + i - b$।
सरल करने पर: $(a^2 - b^2) + 2i(a + b) = (a - b) + i(1 + ab)$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$a^2 - b^2 = a - b$ ... $(i)$
$2(a + b) = 1 + ab$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$(a - b)(a + b) = (a - b)$,जिसका अर्थ है $(a - b)(a + b - 1) = 0$।
अतः,या तो $a = b$ या $a + b = 1$।
स्थिति $1$: यदि $a = b$ है,तो $(ii)$ से,$2(2a) = 1 + a^2$,यानी $a^2 - 4a + 1 = 0$।
$a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$।
चूँकि $0 < a < 1$ है,इसलिए $a = b = 2 - \sqrt{3}$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $a + b = 1$ है,तो $b = 1 - a$। $(ii)$ में रखने पर,$2(1) = 1 + a(1 - a)$,जो $a^2 - a + 1 = 0$ देता है। इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,एकमात्र हल $a = b = 2 - \sqrt{3}$ है।

(A) माना $\omega = -1 + 5z$ है। तब $\omega + 1 = 5z$ होगा।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें $|\omega + 1| = |5z| = 5|z|$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $|z| = 2$,इसलिए $|\omega + 1| = 5 \times 2 = 10$ होगा।
समीकरण $|\omega - (-1)| = 10$ एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है जिसका केंद्र $-1$ है और त्रिज्या $10$ है।
अतः,सम्मिश्र संख्याओं को निरूपित करने वाले बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं।

(C) शीर्षों को सम्मिश्र तल में बिंदुओं के रूप में दर्शाने पर: $A(1, 2),$ $B(-3, 1),$ $C(-2, -3),$ और $D(2, -2).$
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{17}$
$BC = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{17}$
$CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{17}$
$DA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{17}$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,यह एक समचतुर्भुज है। अब,विकर्णों की जांच करें:
$AC = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{34}$
$BD = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{34}$
चूंकि सभी भुजाएं और विकर्ण समान हैं,इसलिए चतुर्भुज एक वर्ग है।

(D) माना प्रारंभिक सम्मिश्र संख्या $z = 4 - 3i$ है।
एक सम्मिश्र संख्या को घड़ी की दिशा में $180^o$ घुमाना उसे $e^{-i\pi} = -1$ से गुणा करने के बराबर है।
अतः,घुमाया गया सदिश $z' = -z = -(4 - 3i) = -4 + 3i$ है।
सदिश को तीन गुना खींचने का अर्थ है इसके परिमाण को $3$ से गुणा करना,जो सम्मिश्र संख्या को $3$ से गुणा करने के बराबर है।
इस प्रकार,नई सम्मिश्र संख्या $z_{new} = 3 \times z' = 3(-4 + 3i) = -12 + 9i$ है।

(B) माना दी गई सम्मिश्र संख्या $z = 3 - 4i$ है।
एक सम्मिश्र संख्या $z$ को वामावर्त $\theta$ कोण पर घुमाना उसे $e^{i\theta}$ से गुणा करने के बराबर है।
$\theta = 180^{\circ} = \pi$ रेडियन के लिए,घूर्णन कारक $e^{i\pi} = -1$ है।
घूर्णन के बाद,संख्या $z' = z \times (-1) = -(3 - 4i) = -3 + 4i$ हो जाती है।
सदिश को $2.5$ गुना खींचना सम्मिश्र संख्या को अदिश $2.5 = \frac{5}{2}$ से गुणा करने के बराबर है।
अतः,अंतिम सम्मिश्र संख्या $z'' = 2.5 \times (-3 + 4i) = \frac{5}{2}(-3 + 4i) = \frac{-15}{2} + 10i$ है।

(D) यह दिया गया है कि $POQ$ मूल बिंदु $O$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,इसलिए बिंदु $P$,$O$ और $Q$ संरेख हैं।
चूंकि $OP = OQ$ है और वे मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा पर स्थित हैं,इसलिए $P$ और $Q$ मूल बिंदु के सापेक्ष एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
अतः,सम्मिश्र संख्या $z_2 = -z_1$ है।
$c + id = -(a + ib) = -a - ib$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $c = -a$ और $d = -b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a + c = 0$ और $b + d = 0$।
साथ ही,परिमाण की स्थिति $OP = OQ$ का अर्थ है $|z_1| = |z_2|$,जिसका अर्थ है $|a + ib| = |c + id|$।
इसलिए,विकल्प $A$ और $B$ दोनों सही हैं।

(C) हमारे पास $z_k = 1 + a + a^2 + \dots + a^{k-1} = \frac{1 - a^k}{1 - a}$ है।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{1 - a}$ घटाने पर:
$z_k - \frac{1}{1 - a} = \frac{-a^k}{1 - a}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$\left| z_k - \frac{1}{1 - a} \right| = \frac{|a|^k}{|1 - a|}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|a| < 1$,इसलिए $|a|^k < 1$ होता है।
अतः,$\left| z_k - \frac{1}{1 - a} \right| < \frac{1}{|1 - a|}$।
यह दर्शाता है कि शीर्ष $z_k$ वृत्त $\left| z - \frac{1}{1 - a} \right| = \frac{1}{|1 - a|}$ के भीतर स्थित हैं।

(A) मान लीजिए $O$ मूल बिंदु $(z=0)$ है और $A$ शीर्ष $z_1$ है। चूंकि यह $n$ भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज है,इसलिए केंद्र पर किसी भी भुजा द्वारा बनाया गया कोण $\frac{2\pi}{n}$ है।
$z_2$ को $z_1$ को मूल बिंदु के चारों ओर $\pm \frac{2\pi}{n}$ के कोण पर घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है।
घूर्णन सूत्र का उपयोग करते हुए,$z_2 = z_1 e^{\pm i \frac{2\pi}{n}}$.
यूलर के सूत्र को लागू करने पर,$z_2 = z_1 \left( \cos \frac{2\pi}{n} \pm i \sin \frac{2\pi}{n} \right)$.

(B) माना शीर्ष $A, B, C, D$ क्रम में हैं। विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को $E$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$BD$ का मध्यबिंदु $E = \frac{(1 - 2i) + (4 + 2i)}{2} = \frac{5}{2}$ है।
चूंकि $AC = 2BD$,इसलिए $AE = EC = BD = |(4 + 2i) - (1 - 2i)| = |3 + 4i| = 5$ है।
चूंकि विकर्ण समकोण पर हैं,$\vec{EA}$ को $\vec{ED}$ को $90^\circ$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है।
$\vec{ED} = (4 + 2i) - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} + 2i$.
$90^\circ$ घुमाने पर: $\vec{EA} = i(\frac{3}{2} + 2i) = -2 + \frac{3}{2}i$.
अतः,$A = E + \vec{EA} = \frac{5}{2} + (-2 + \frac{3}{2}i) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$.

(A) दिया गया है कि $|z - z_1| = |z - z_2| = |z - z_3| = |z - z_4| = r$ (माना)।
इसका अर्थ है कि ${z_1}, {z_2}, {z_3}, {z_4}$ द्वारा निरूपित बिंदु,$z$ द्वारा निरूपित बिंदु से $r$ की समान दूरी पर हैं।
परिभाषा के अनुसार,एक निश्चित बिंदु (केंद्र $z$) से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह $r$ त्रिज्या वाले वृत्त पर होता है।
अतः,बिंदु ${z_1}, {z_2}, {z_3}, {z_4}$ एकवृत्तीय (concyclic) हैं।

(A) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। अतः,$M$,$AC$ और $BD$ का मध्यबिंदु है और $AC \perp BD$ है।
दिया है $BD = 2AC$,तो $2DM = 2(2AM)$,जो $DM = 2AM$ में सरल हो जाता है।
$D$ के लिए सम्मिश्र संख्या $1 + i$ (बिंदु $(1, 1)$) है और $M$ के लिए $2 - i$ (बिंदु $(2, -1)$) है।
सदिश $\vec{MD} = (1 - 2, 1 - (-1)) = (-1, 2)$ है।
$AC \perp BD$ होने के कारण,सदिश $\vec{MA}$,$\vec{MD}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{MD}$ को $90^\circ$ घुमाने पर $(\pm 2, \pm 1)$ सदिश प्राप्त होते हैं।
चूंकि $DM = 2AM$,सदिश $\vec{MA} = \pm \frac{1}{2} \vec{MD}_{rotated} = \pm \frac{1}{2} (2, 1) = \pm (1, \frac{1}{2})$ है।
अतः,$A = M \pm (1, \frac{1}{2}) = (2 \pm 1, -1 \pm \frac{1}{2})$ है।
इससे $A = (3, -1/2)$ या $A = (1, -3/2)$ प्राप्त होता है।
सम्मिश्र रूप में,$A = 3 - \frac{1}{2}i$ या $1 - \frac{3}{2}i$ है।

(D) माना $A, B, C$ सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ द्वारा निरूपित बिंदु हैं और $P$ वह बिंदु है जिसे $z$ द्वारा निरूपित किया गया है।
चार बिंदुओं $A, B, C, P$ के समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए,बिंदु $P$ को त्रिभुज $ABC$ के सापेक्ष तीन संभावित स्थितियों में रखा जा सकता है:
$(i)$ यदि $A, B, P, C$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं,तो $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CP}$,जिसका अर्थ है $z_2 - z_1 = z - z_3$,इसलिए $z = z_2 + z_3 - z_1$।
$(ii)$ यदि $B, C, P, A$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं,तो $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AP}$,जिसका अर्थ है $z_3 - z_2 = z - z_1$,इसलिए $z = z_3 + z_1 - z_2$।
$(iii)$ यदि $C, A, P, B$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं,तो $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BP}$,जिसका अर्थ है $z_1 - z_3 = z - z_2$,इसलिए $z = z_1 + z_2 - z_3$।
अतः,$z$ के लिए दिए गए सभी व्यंजक सही हैं।

(B) माना $z = x + iy$,तो $\overline{z} = x - iy$.
दिए गए समीकरण में मान रखने पर:
$(x + iy)(x - iy) + (2 - 3i)(x + iy) + (2 + 3i)(x - iy) + 4 = 0$
$(x^2 + y^2) + (2x + 2iy - 3ix + 3y) + (2x - 2iy + 3ix + 3y) + 4 = 0$
$(x^2 + y^2) + 4x + 6y + 4 = 0$
यह समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में एक वृत्त है,जहाँ $g = 2$,$f = 3$,और $c = 4$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है।
$r = \sqrt{2^2 + 3^2 - 4} = \sqrt{4 + 9 - 4} = \sqrt{9} = 3$.

(D) प्रथम चतुर्थांश में आयत का शीर्ष सम्मिश्र संख्या $z = a + ib\sqrt{3}$ द्वारा दिया गया है,जो कार्तीय तल में बिंदु $(a, b\sqrt{3})$ के अनुरूप है।
चूँकि आयत का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और इसकी भुजाएँ अक्षों के समानांतर हैं,इसलिए आयत के शीर्ष $(a, b\sqrt{3})$,$(-a, b\sqrt{3})$,$(-a, -b\sqrt{3})$ और $(a, -b\sqrt{3})$ हैं।
$X$-अक्ष पर आयत की लंबाई $2|a| = 2a$ है (मान लीजिए $a, b > 0$)।
$Y$-अक्ष पर आयत की ऊँचाई $2|b\sqrt{3}| = 2b\sqrt{3}$ है।
अतः,आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{ऊँचाई} = (2a) \times (2b\sqrt{3}) = 4ab\sqrt{3}$ है।

(A) आकृति एक समांतर चतुर्भुज $OP_1P_3P_2$ को दर्शाती है जहाँ $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,बिंदु $P_3$ का स्थिति सदिश,बिंदुओं $P_1$ और $P_2$ के स्थिति सदिशों का योग होता है।
अतः,$\vec{OP_3} = \vec{OP_1} + \vec{OP_2}$.
चूँकि बिंदु $P_1$ और $P_2$ क्रमशः सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ को निरूपित करते हैं,इसलिए बिंदु $P_3$ सम्मिश्र संख्या $z_1 + z_2$ को निरूपित करता है।

(D) दिया गया है,$\frac{|z - 2|}{|z - 3|} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z - 2|^2 = 4|z - 3|^2$
माना $z = x + iy$,तब $(x - 2)^2 + y^2 = 4[(x - 3)^2 + y^2]$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)$
$x^2 + y^2 - 4x + 4 = 4x^2 + 4y^2 - 24x + 36$
$3x^2 + 3y^2 - 20x + 32 = 0$
$3$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 - \frac{20}{3}x + \frac{32}{3} = 0$
मानक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -\frac{10}{3}$,$f = 0$,और $c = \frac{32}{3}$
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{10}{3})^2 + 0^2 - \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{100}{9} - \frac{96}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C = 90^\circ$ और $AC = BC$ है।
सम्मिश्र तल में घूर्णन के गुण का उपयोग करते हुए,सदिश $\vec{CB}$,$\vec{CA}$ को $90^\circ$ (या $\pi/2$ रेडियन) घुमाने पर प्राप्त होता है।
अतः,$(z_2 - z_3) = \pm i(z_1 - z_3)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(z_2 - z_3)^2 = -(z_1 - z_3)^2$।
$(z_2 - z_3)^2 + (z_1 - z_3)^2 = 0$।
इसका विस्तार करने पर: $z_2^2 + z_3^2 - 2z_2z_3 + z_1^2 + z_3^2 - 2z_1z_3 = 0$।
$z_1^2 + z_2^2 + 2z_3^2 - 2z_3(z_1 + z_2) = 0$।
हम जानते हैं कि $(z_1 - z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 - 2z_1z_2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $(z_1 - z_2)^2 = 2(z_1 - z_3)(z_3 - z_2)$।

(D) एक नियमित षट्भुज में,केंद्र से किसी भी शीर्ष की दूरी षट्भुज की भुजा की लंबाई के बराबर होती है।
मान लीजिए केंद्र $O(0,0)$ है और एक शीर्ष $z = 1 + 2i$ है।
मूल बिंदु से शीर्ष $z$ की दूरी मापांक $|z|$ है।
$|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
चूंकि षट्भुज नियमित है,केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी समान होती है और नियमित षट्भुज की भुजा की लंबाई $s$,केंद्र से किसी भी शीर्ष की दूरी के बराबर होती है।
इसलिए,भुजा की लंबाई $s = \sqrt{5}$.
$s$ भुजा की लंबाई वाले नियमित षट्भुज का परिमाप $6s$ होता है।
परिमाप $= 6 \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

(C) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ को $0$ द्वारा दर्शाया गया है।
मान लीजिए कि बिंदु $P$ को सम्मिश्र संख्या $z$ द्वारा दर्शाया गया है।
मान लीजिए कि बिंदु $Q$ को सम्मिश्र संख्या $z + iz$ द्वारा दर्शाया गया है।
सदिश $\vec{OP}$ सम्मिश्र संख्या $z - 0 = z$ के अनुरूप है।
सदिश $\vec{PQ}$ सम्मिश्र संख्या $(z + iz) - z = iz$ के अनुरूप है।
हम जानते हैं कि किसी सम्मिश्र संख्या को $i$ से गुणा करने का अर्थ है उसे वामावर्त दिशा में $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन घुमाना।
चूंकि $\vec{PQ} = i \vec{OP}$,सदिश $\vec{PQ}$ सदिश $\vec{OP}$ के लंबवत है।
अतः,कोण $\angle OPQ$ का मान $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) $z_0$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $|z - z_0| = r$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|z - z_0|^2 = r^2$ प्राप्त होता है।
$|w|^2 = w\bar{w}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(z - z_0)(\overline{z - z_0}) = r^2$ होगा।
$(z - z_0)(\bar{z} - \bar{z_0}) = r^2$।
गुणनफल का विस्तार करने पर,$z\bar{z} - z\bar{z_0} - \bar{z}z_0 + z_0\bar{z_0} = r^2$ प्राप्त होता है।

(D) शीर्ष ${z_1}, {z_2}, {z_3}$ वृत्त $|z| = \frac{1}{2}$ के परिगत एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
चूंकि वृत्त समबाहु त्रिभुज का अंतःवृत्त है,इसलिए इसका केंद्र मूल बिंदु $0$ पर है।
${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ को $\frac{2\pi}{3}$ रेडियन के कोण पर घुमाने पर ${z_2}$ प्राप्त होता है।
${z_2} = {z_1} e^{i(2\pi/3)} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$
${z_2} = -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -1$.

(B) दिए गए समीकरण सम्मिश्र तल में दो वृत्त दर्शाते हैं:
वृत्त $C_1$: केंद्र $O(0, 0)$,त्रिज्या $r_1 = 12$ है।
वृत्त $C_2$: केंद्र $C(3, 4)$,त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = |(3 + 4i) - 0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
चूंकि $d + r_2 = 5 + 5 = 10 < r_1 = 12$,इसलिए वृत्त $C_2$ पूरी तरह से वृत्त $C_1$ के अंदर स्थित है।
$C_1$ पर एक बिंदु और $C_2$ पर एक बिंदु के बीच की न्यूनतम दूरी $r_1 - (d + r_2) = 12 - (5 + 5) = 12 - 10 = 2$ है।

(B) माना सम्मिश्र संख्याएँ $z_P = 4 + i$,$z_Q = 1 + 6i$,$z_R = -4 + 3i$,और $z_S = -1 - 2i$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$|PQ| = |(1 + 6i) - (4 + i)| = |-3 + 5i| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$|QR| = |(-4 + 3i) - (1 + 6i)| = |-5 - 3i| = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.
$|RS| = |(-1 - 2i) - (-4 + 3i)| = |3 - 5i| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$|SP| = |(4 + i) - (-1 - 2i)| = |5 + 3i| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.
चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,यह एक समचतुर्भुज है।
अब विकर्णों की जाँच करें:
$|PR| = |(-4 + 3i) - (4 + i)| = |-8 + 2i| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}$.
$|QS| = |(-1 - 2i) - (1 + 6i)| = |-2 - 8i| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$.
चूँकि विकर्ण बराबर हैं और सभी भुजाएँ बराबर हैं,$PQRS$ एक वर्ग है।

(A) सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} z_1 & \overline{z_1} & 1 \\ z_2 & \overline{z_2} & 1 \\ z_3 & \overline{z_3} & 1 \end{array} \right|$ का मान $2i \times (z_1, z_2, z_3$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल$)$ दर्शाता है।
यदि बिंदु $z_1, z_2, z_3$ संरेख हैं,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होता है और सारणिक का मान $0$ होता है।

(B) माना $z_1 = 1 + 3i$,$z_2 = 5 + i$ और $z_3 = 3 + 2i$ है।
ये बिंदु कार्तीय तल में $(1, 3)$,$(5, 1)$ और $(3, 2)$ निर्देशांकों के अनुरूप हैं।
इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$A = \frac{1}{2} |1(1 - 2) + 5(2 - 3) + 3(3 - 1)|$
$A = \frac{1}{2} |1(-1) + 5(-1) + 3(2)|$
$A = \frac{1}{2} |-1 - 5 + 6| = \frac{1}{2} |0| = 0$।
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।