Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(B) माना $z = x + iy$ है। त्रिभुज के शीर्ष $z = (x, y)$,$iz = (-y, x)$ और $z + iz = (x - y, x + y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
$A = \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
$A = \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)|$
$A = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.

(A) बिंदु $A(3, 4), B(5, -2)$ और $C(-1, 16)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3(-2 - 16) + 5(16 - 4) + (-1)(4 - (-2))|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-54 + 60 - 6| = \frac{1}{2} |0| = 0$.
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु $A, B, C$ संरेख हैं।

(D) केंद्रक $G$ का सम्मिश्र संख्या $g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ है।
चूंकि $z = 0$,$AG$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए मध्य-बिंदु का सम्मिश्र संख्या $\frac{g + z_1}{2} = 0$ है।
$g$ का मान रखने पर,$\frac{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} + z_1}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
$6$ से गुणा करने पर,$(z_1 + z_2 + z_3) + 3z_1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$4z_1 + z_2 + z_3 = 0$ है।

(C) दिया गया है $\frac{z_1}{z_2} + \frac{z_2}{z_1} = 1$.
$z_1 z_2$ से गुणा करने पर,हमें $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ प्राप्त होता है।
इसे $z_1^2 + z_2^2 - z_1 z_2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $z_3 = 0$ मूल बिंदु है।
तीन बिंदुओं $z_1, z_2, z_3$ के समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ है।
$z_3 = 0$ रखने पर,हमें $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ प्राप्त होता है,जो हमारे दिए गए समीकरण से मेल खाता है।
अतः,$z_1, z_2$ और मूल बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(A) माना $z = x + iy$ है। बिंदु $A(x, y)$,$B(x - y, x + y)$ और $C(0, x)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |z|^2 = 18$ होता है।
अतः,$|z|^2 = 36$,जिसका अर्थ है कि $|z| = 6$।

(D) सम्मिश्र संख्याओं को कार्तीय तल में बिंदुओं के रूप में दर्शाने पर:
${z_1} = (1, 1)$
${z_2} = (-2, 3)$
${z_3} = (0, \frac{a}{3})$
चूँकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा,या निर्देशांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 0 & \frac{a}{3} & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(3 - \frac{a}{3}) - (-2)(1 - \frac{a}{3}) + 0 = 0$
$3 - \frac{a}{3} + 2 - \frac{2a}{3} = 0$
$5 - a = 0$
$a = 5$

(B) त्रिभुज के शीर्ष $z_1 = 0$,$z_2 = z$,और $z_3 = z e^{i\alpha }$ हैं।
सम्मिश्र तल में $z_1, z_2, z_3$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\text{Im}(\bar{z_1}z_2 + \bar{z_2}z_3 + \bar{z_3}z_1)|$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $z_1 = 0$,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\text{Im}(\bar{z} \cdot z e^{i\alpha })|$ होगा।
$\bar{z}z = |z|^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\text{Im}(|z|^2 e^{i\alpha })|$।
चूंकि $e^{i\alpha } = \cos \alpha + i \sin \alpha$,इसलिए:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |z|^2 |\text{Im}(\cos \alpha + i \sin \alpha)|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |z|^2 \sin \alpha$ (चूंकि $0 < \alpha < \pi$,$\sin \alpha > 0$)।

(D) दी गई सम्मिश्र संख्याएँ: $z_1 = 1 + 2i$,$z_2 = 2 + 3i$,और $z_3 = 3 + 4i$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने पर:
$|z_1 - z_2| = |(1-2) + (2-3)i| = |-1 - i| = \sqrt{2}$.
$|z_2 - z_3| = |(2-3) + (3-4)i| = |-1 - i| = \sqrt{2}$.
$|z_1 - z_3| = |(1-3) + (2-4)i| = |-2 - 2i| = 2\sqrt{2}$.
चूँकि $|z_1 - z_2| + |z_2 - z_3| = |z_1 - z_3|$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं और त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\left| \frac{z - 5i}{z + 5i} \right| = 1$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left| \frac{x + i(y - 5)}{x + i(y + 5)} \right| = 1$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ का उपयोग करने पर,$|x + i(y - 5)| = |x + i(y + 5)|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + (y - 5)^2 = x^2 + (y + 5)^2$ प्राप्त होता है।
वर्गों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 + 10y + 25$।
समीकरण को सरल करने पर: $-10y = 10y$,जिसका अर्थ है $20y = 0$,अतः $y = 0$।
समीकरण $y = 0$ वास्तविक अक्ष को दर्शाता है।

(A) माना $z = x + iy$. तब $\frac{z + i}{z + 2} = \frac{x + i(y + 1)}{(x + 2) + iy}$.
हर के संयुग्मी से अंश और हर को गुणा करने पर:
$\frac{[x + i(y + 1)][(x + 2) - iy]}{(x + 2)^2 + y^2} = \frac{x(x + 2) + y(y + 1) + i[(y + 1)(x + 2) - xy]}{(x + 2)^2 + y^2}$.
व्यंजक के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$x(x + 2) + y(y + 1) = 0 \implies x^2 + 2x + y^2 + y = 0$.
यह वृत्त का समीकरण है $x^2 + y^2 + 2x + y = 0$.
केंद्र $(-1, -1/2)$ है और त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-1/2)^2 - 0} = \sqrt{1 + 1/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
अतः,बिंदु पथ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(B) दिया गया समीकरण $|z + 1| = \sqrt{2} |z - 1|$ है।
माना $z = x + iy$ है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$|(x + 1) + iy| = \sqrt{2} |(x - 1) + iy|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x + 1)^2 + y^2 = 2((x - 1)^2 + y^2)$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$।
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$।
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$।
यह वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
अतः,बिंदु पथ एक वृत्त है।

(B) दिया गया है $\left| \frac{z - a}{z + \overline{a}} \right| = 1$.
इसका अर्थ है $|z - a| = |z + \overline{a}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|z - a|^2 = |z + \overline{a}|^2$.
गुणधर्म $|w|^2 = w \cdot \overline{w}$ का उपयोग करने पर:
$(z - a)(\overline{z} - \overline{a}) = (z + \overline{a})(\overline{z} + a)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$z\overline{z} - z\overline{a} - a\overline{z} + a\overline{a} = z\overline{z} + za + \overline{a}\overline{z} + \overline{a}a$.
दोनों पक्षों से $z\overline{z}$ और $a\overline{a}$ को हटाने पर:
$-z\overline{a} - a\overline{z} = za + \overline{a}\overline{z}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$za + z\overline{a} + a\overline{z} + \overline{a}\overline{z} = 0$.
$(z + \overline{z})(a + \overline{a}) = 0$.
चूंकि $a + \overline{a} = 2\text{Re}(a) \neq 0$,इसलिए $z + \overline{z} = 0$ होना चाहिए।
मान लीजिए $z = x + iy$,तो $z + \overline{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x = 0$.
अतः,$x = 0$,जो $y$-अक्ष का समीकरण है।

(C) दी गई असमिका $|z - 1| + |z + 1| \le 4$ है।
यह $|z - z_1| + |z - z_2| \le 2a$ के रूप में है,जहाँ $z_1 = 1$ और $z_2 = -1$ है।
नाभियों $z_1$ और $z_2$ के बीच की दूरी $2c = |1 - (-1)| = 2$ है,इसलिए $c = 1$ है।
किसी भी बिंदु $z$ से नाभियों तक की दूरियों का योग $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$ है।
चूँकि $2a > 2c$,यह एक दीर्घवृत्त के आंतरिक भाग और उसकी सीमा को दर्शाता है।
संबंध $b^2 = a^2 - c^2$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = 2^2 - 1^2 = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
अतः,यह क्षेत्र इस दीर्घवृत्त का आंतरिक भाग और सीमा है।

(B) माना $z = x + iy$. तब $\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$.
हर के संयुग्मी से अंश और हर को गुणा करने पर,हमें $\frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(2y)}{(x + 1)^2 + y^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\text{arg} \left( \frac{z - 1}{z + 1} \right) = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\tan^{-1} \left( \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} \right) = \frac{\pi}{3}$।
इसका अर्थ है कि $\frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}y$,या $x^2 + y^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(B) माना $z = x + iy$. तब $\frac{2z + 1}{iz + 1} = \frac{2(x + iy) + 1}{i(x + iy) + 1} = \frac{(2x + 1) + 2iy}{(1 - y) + ix}$.
हर के संयुग्मी $(1 - y) - ix$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$= \frac{[(2x + 1) + 2iy][(1 - y) - ix]}{(1 - y)^2 + x^2} = \frac{(2x + 1)(1 - y) + 2xy + i[2y(1 - y) - x(2x + 1)]}{(1 - y)^2 + x^2}$.
काल्पनिक भाग $-2$ दिया गया है:
$\frac{2y - 2y^2 - 2x^2 - x}{(1 - y)^2 + x^2} = -2$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2((1 - y)^2 + x^2) = -2(1 - 2y + y^2 + x^2) = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
समीकरण को सरल करने पर:
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
$-x - 2y = -2$,जो $x + 2y - 2 = 0$ में परिवर्तित हो जाता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(A) माना $z = x + iy$ है। तब $x = \lambda + 3$ और $y = \sqrt{5 - \lambda^2}$ है।
पहले समीकरण से,$\lambda = x - 3$ है।
इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y^2 = 5 - (x - 3)^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(x - 3)^2 + y^2 = 5$ प्राप्त होता है।
यह $(3, 0)$ केंद्र और $\sqrt{5}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।

(C) दिया गया समीकरण $|z - 3i| = 2$ है।
माना $z = x + iy$ है।
समीकरण में $z$ का मान रखने पर,हमें $|x + iy - 3i| = 2$ प्राप्त होता है,जिसे $|x + i(y - 3)| = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सम्मिश्र संख्या $a + ib$ का मापांक $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
अतः,$\sqrt{x^2 + (y - 3)^2} = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 + (y - 3)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
यह $(0, 3)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,बिंदुपथ एक वृत्त है।

(C) दिया गया है $|z - zi| = 1$।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x + iy - i(x + iy)| = 1$
$|x + iy - ix - i^2y| = 1$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$|x + iy - ix + y| = 1$
$|(x + y) + i(y - x)| = 1$
मापांक लेने पर:
$\sqrt{(x + y)^2 + (y - x)^2} = 1$
$(x + y)^2 + (y - x)^2 = 1$
$(x^2 + y^2 + 2xy) + (y^2 + x^2 - 2xy) = 1$
$2x^2 + 2y^2 = 1$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$
यह केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $\frac{1}{\sqrt{2}}$ वाले वृत्त का समीकरण है।
अतः,$z$ एक वृत्त पर स्थित है।

(C) दिया गया है $\left| \frac{z - 1}{z - i} \right| = 1$.
इसका अर्थ है $|z - 1| = |z - i|$.
माना $z = x + iy$. तब $|(x - 1) + iy| = |x + i(y - 1)|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$.
पदों का विस्तार करने पर,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$.
सरल करने पर,$-2x = -2y$,जो $x = y$ या $x - y = 0$ देता है.
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है.

(B) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
तब $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ होगा।
$z^2$ का वास्तविक भाग $\text{Re}(z^2) = x^2 - y^2$ है।
दिया गया है कि $\text{Re}(z^2) = 1$,इसलिए $x^2 - y^2 = 1$ है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय का मानक समीकरण है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $z = x + iy$ है।
दिया गया समीकरण: $|z - 1| = |z + i|$।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x + iy - 1| = |x + iy + i|$
$|(x - 1) + iy| = |x + i(y + 1)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y + 1)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1$
$-2x = 2y$
$x + y = 0$
यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर जाने वाली और $-1$ ढाल वाली एक सीधी रेखा को निरूपित करता है।

(B) दी गई असमिका: $\log_{\sqrt{3}} \left( \frac{|z|^2 - |z| + 1}{2 + |z|} \right) < 2$
चूंकि आधार $\sqrt{3} > 1$ है,इसलिए असमिका की दिशा वही रहेगी:
$\frac{|z|^2 - |z| + 1}{2 + |z|} < (\sqrt{3})^2$
$\frac{|z|^2 - |z| + 1}{2 + |z|} < 3$
$|z|^2 - |z| + 1 < 6 + 3|z|$
$|z|^2 - 4|z| - 5 < 0$
माना $t = |z|$,जहाँ $t \ge 0$ है। तब $t^2 - 4t - 5 < 0$ होगा।
$(t - 5)(t + 1) < 0$
यह दर्शाता है कि $-1 < t < 5$ है।
चूंकि $t = |z| \ge 0$ है,इसलिए $0 \le |z| < 5$ होगा।
अतः,$z$ का बिंदुपथ $|z| < 5$ है।

(A) दिया गया है $|z - 2 + i| = |z - 3 - i|$।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|(x - 2) + i(y + 1)| = |(x - 3) + i(y - 1)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2$
विस्तार करने पर:
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को हटाने पर:
$-4x + 2y + 5 = -6x - 2y + 10$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x + 4y - 5 = 0$
अतः,$z$ का बिंदुपथ $2x + 4y - 5 = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $|iz - 1| + |z - i| = 2$
$|i(z - 1/i)| + |z - i| = 2$
$|i(z + i)| + |z - i| = 2$
$|i| |z + i| + |z - i| = 2$
चूंकि $|i| = 1$,हमें $|z - (-i)| + |z - i| = 2$ प्राप्त होता है।
यह $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ के रूप में है,जहाँ $z_1 = -i$ और $z_2 = i$ है।
$z_1$ और $z_2$ के बीच की दूरी $|z_2 - z_1| = |i - (-i)| = |2i| = 2$ है।
चूंकि दो निश्चित बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ से $z$ की दूरियों का योग उन बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है $(|z - z_1| + |z - z_2| = |z_1 - z_2|)$,इसलिए $z$ का बिंदुपथ $z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
अतः,बिंदुपथ एक सीधी रेखा है।

(A) दिया गया है $arg\left( \frac{z - 1}{z + 1} \right) = k$. मान लीजिए $z = x + iy$.
तब $arg\left( \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy} \right) = k$.
$arg(z_1/z_2) = arg(z_1) - arg(z_2)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$arg((x - 1) + iy) - arg((x + 1) + iy) = k$.
यह दर्शाता है कि $\tan^{-1}\left( \frac{y}{x - 1} \right) - \tan^{-1}\left( \frac{y}{x + 1} \right) = k$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करने पर,$\tan^{-1}\left( \frac{\frac{y}{x - 1} - \frac{y}{x + 1}}{1 + \frac{y^2}{x^2 - 1}} \right) = k$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{y(x + 1) - y(x - 1)}{x^2 - 1 + y^2} = \tan k$.
यह $\frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} = \tan k$ या $x^2 + y^2 - 1 = 2y \cot k$ में सरल हो जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 + y^2 - 2y \cot k - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(0, \cot k)$ है,जो $y$-अक्ष पर स्थित है।

(B) दिया गया है $|z^2 - 1| = |z|^2 + 1$.
माना $z = x + iy$. तब $|z|^2 = x^2 + y^2$.
समीकरण में $z = x + iy$ रखने पर:
$|(x + iy)^2 - 1| = x^2 + y^2 + 1$
$|(x^2 - y^2 - 1) + i(2xy)| = x^2 + y^2 + 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2 - y^2 - 1)^2 + (2xy)^2 = (x^2 + y^2 + 1)^2$
$(x^2 - y^2 - 1)^2 + 4x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^4 + y^4 + 1 - 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2) + 4x^2y^2 = x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2$
$x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2 = x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2$
दोनों पक्षों से समान पदों को घटाने पर:
$-2x^2 = 2x^2$
$4x^2 = 0 \implies x = 0$.
चूंकि $x = 0$,सम्मिश्र संख्या $z = 0 + iy = iy$ काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।

(B) दिया गया है $\omega = \frac{1 - iz}{z - i}$ और $|\omega| = 1$।
$|\frac{1 - iz}{z - i}| = 1$
$|1 - iz| = |z - i|$
$z = x + iy$ रखने पर:
$|1 - i(x + iy)| = |x + iy - i|$
$|1 - ix + y| = |x + i(y - 1)|$
$|(1 + y) - ix| = |x + i(y - 1)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1 + y)^2 + (-x)^2 = x^2 + (y - 1)^2$
$1 + y^2 + 2y + x^2 = x^2 + y^2 + 1 - 2y$
$2y = -2y$
$4y = 0 \implies y = 0$।
चूंकि $z = x + iy$ और $y = 0$,इसलिए $z = x$,जिसका अर्थ है कि $z$ वास्तविक अक्ष पर स्थित है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{|z - 5i|}{|z + 5i|} = 12$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{|z - 5i|^2}{|z + 5i|^2} = 144$
$z = x + iy$ रखने पर: $\frac{x^2 + (y - 5)^2}{x^2 + (y + 5)^2} = 144$
$x^2 + y^2 - 10y + 25 = 144(x^2 + y^2 + 10y + 25)$
$143x^2 + 143y^2 + 1450y + 3575 = 0$
यह समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) दिया गया है $\arg\left( \frac{z - 2}{z + 2} \right) = \frac{\pi}{6}$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\arg\left( \frac{(x - 2) + iy}{(x + 2) + iy} \right) = \frac{\pi}{6}$.
गुणधर्म $\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left( \frac{y}{x - 2} \right) - \tan^{-1}\left( \frac{y}{x + 2} \right) = \frac{\pi}{6}$.
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left( \frac{\frac{y}{x - 2} - \frac{y}{x + 2}}{1 + \frac{y^2}{x^2 - 4}} \right) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{4y}{x^2 + y^2 - 4} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x^2 + y^2 - 4\sqrt{3}y - 4 = 0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(A) दिया गया है $|w| = 1$,इसलिए $\left| \frac{z}{z - \frac{i}{3}} \right| = 1$.
इसका अर्थ है $|z| = |z - \frac{i}{3}|$.
माना $z = x + iy$. तब $|x + iy| = |x + i(y - \frac{1}{3})|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + y^2 = x^2 + (y - \frac{1}{3})^2$.
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$.
$0 = -\frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$ $\Rightarrow \frac{2}{3}y = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow y = \frac{1}{6}$.
यह सम्मिश्र तल में एक क्षैतिज सीधी रेखा $y = \frac{1}{6}$ को दर्शाता है।
अतः,$z$ एक सीधी रेखा पर स्थित है।

(C) दिया गया समीकरण $|z - (-8)| + |z - 8| = 16$ है।
यह $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ के रूप में है,जहाँ $z_1 = -8$ और $z_2 = 8$ है।
दो निश्चित बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ के बीच की दूरी $|8 - (-8)| = 16$ है।
चूँकि $z$ की दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का योग उन बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है,इसलिए $z$ का बिंदु पथ $-8$ और $8$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।

(C) किरणों $PQ$ और $PR$ का शीर्ष $P(-1, 0)$ पर है,जो सम्मिश्र संख्या $z_0 = -1$ के अनुरूप है।
किरण $PQ$,$(-1 + \sqrt{2}, \sqrt{2}i)$ से होकर गुजरती है,इसलिए वास्तविक अक्ष के साथ इसका कोण $\arg(z + 1) = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$ है।
किरण $PR$,$(-1 + \sqrt{2}, -\sqrt{2}i)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका कोण $\arg(z + 1) = -\frac{\pi}{4}$ है।
छायांकित क्षेत्र इन किरणों के बीच स्थित है,इसलिए $|\arg(z + 1)| < \frac{\pi}{4}$ है।
चाप $QAR$,$P(-1, 0)$ पर केंद्रित एक वृत्त का हिस्सा है। $P(-1, 0)$ से $A(1, 0)$ तक की दूरी $|1 - (-1)| = 2$ है। अतः,वृत्त की त्रिज्या $2$ है।
छायांकित क्षेत्र इस वृत्त के बाहर है,इसलिए $|z - (-1)| > 2$,यानी $|z + 1| > 2$ है।
अतः,शर्तें $|z + 1| > 2$ और $|\arg(z + 1)| < \frac{\pi}{4}$ हैं।

(B) समीकरण $|z - 1| = |z - 2| = |z - i|$,$z_1 = 1$,$z_2 = 2$,और $z_3 = i$ बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के परिकेंद्र को दर्शाता है।
$(i)$ $|z - 1| = |z - i|$,$1$ और $i$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है,जो रेखा $y = x$ है।
(ii) $|z - 1| = |z - 2|$,$1$ और $2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है,जो रेखा $x = 1.5$ है।
(iii) $|z - 2| = |z - i|$,$2$ और $i$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है,जो रेखा $4x - 2y = 3$ है।
इन तीन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु परिकेंद्र है,जो त्रिभुज की ज्यामिति से संबंधित है।

(A) माना $z = x + iy$.
$|z - 1| = |z - 2|$ से,हमें प्राप्त होता है $|x + iy - 1| = |x + iy - 2|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 1)^2 + y^2 = (x - 2)^2 + y^2$.
$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 4x + 4$,जो सरल होकर $2x = 3$ देता है,अतः $x = \frac{3}{2}$.
$|z - 1| = |z - i|$ से,हमें प्राप्त होता है $|x + iy - 1| = |x + iy - i|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$,जो सरल होकर $-2x = -2y$ देता है,अतः $x = y$.
$x = \frac{3}{2}$ को $x = y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,केवल एक ही हल $z = \frac{3}{2} + i\frac{3}{2}$ है।

(B) यह समीकरण $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ के रूप में है,जहाँ $z_1 = 2 + 3i$ और $z_2 = -2 + 6i$ है।
इसके दीर्घवृत्त होने के लिए शर्त $|z_1 - z_2| < 2a$ का पालन होना चाहिए।
यहाँ,$2a = 4$ है।
दो निश्चित बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें:
$|z_1 - z_2| = |(2 + 3i) - (-2 + 6i)| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
चूँकि दो बिन्दुओं के बीच की दूरी $(5)$ दिए गए दूरियों के योग $(4)$ से अधिक है,इसलिए त्रिभुज असमिका $|z - z_1| + |z - z_2| \ge |z_1 - z_2|$ का उल्लंघन होता है ($4 \ge 5$ असत्य है)।
अतः,ऐसा कोई बिन्दु $z$ नहीं है जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करे।
इस प्रकार,$P(z)$ का बिन्दुपथ $\phi$ है।

(A) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$ है।
एक सम्मिश्र संख्या $z$ को मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में $\alpha$ कोण से घुमाना $z \cdot e^{i\alpha}$ से गुणा करने के बराबर है।
यहाँ,$\alpha = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ है।
माना नई स्थिति $z_1 = z \cdot e^{i\pi/4}$ है।
$z_1 = (\sqrt{2} - i\sqrt{2}) \cdot (\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ})$.
$z_1 = (\sqrt{2} - i\sqrt{2}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})$.
$z_1 = (1 + i) - (i - 1) = 2$.
अतः,$z_1 = 2 + 0i$,जो निर्देशांक $(2, 0)$ को दर्शाता है।

(B) दिया गया है: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ $(i)$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ $(ii)$.
माना $a = \cos \alpha + i\sin \alpha$,$b = \cos \beta + i\sin \beta$,और $c = \cos \gamma + i\sin \gamma$.
तब $a + b + c = 0$ $(iii)$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ होने से $ab + bc + ca = 0$ $(iv)$.
$(iii)$ का वर्ग करने पर,$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$.
$(iv)$ का उपयोग करने पर,$a^2 + b^2 + c^2 = 0$.
अतः,$(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) + (\cos 2\beta + i\sin 2\beta) + (\cos 2\gamma + i\sin 2\gamma) = 0$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर: $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$.
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$(1 - 2\sin^2 \alpha) + (1 - 2\sin^2 \beta) + (1 - 2\sin^2 \gamma) = 0$.
$3 - 2(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 0$.
अतः,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 3/2$.

(A) दिए गए समीकरण $z^n = (z + 1)^n$ के लिए,हम लिख सकते हैं $\left( \frac{z}{z + 1} \right)^n = 1$.
इसका अर्थ है कि $\frac{z}{z + 1}$ इकाई का $n$-वाँ मूल है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$\left| \frac{z}{z + 1} \right| = 1$,जिसका अर्थ है $|z| = |z + 1|$.
माना $z = x + iy$ है। तब $|x + iy| = |x + 1 + iy|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + y^2 = (x + 1)^2 + y^2$.
$x^2 = x^2 + 2x + 1$.
$2x + 1 = 0$,जिससे $x = -1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\text{Re}(z) = -1/2$,जो दर्शाता है कि $\text{Re}(z) < 0$।

(B) हाइपरबोलिक साइन फलन की परिभाषा $\sinh(z) = -i \sin(iz)$ है।
$z = ix$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sinh(ix) = -i \sin(i^2 x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $i^2 = -1$,यह $\sinh(ix) = -i \sin(-x)$ हो जाता है।
गुणधर्म $\sin(-x) = -\sin x$ का उपयोग करने पर,$\sinh(ix) = -i(-\sin x) = i \sin x$ प्राप्त होता है।

(A) त्रिकोणमितीय फलनों की घातांकीय परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$ होता है।
$z = ix$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sin(ix) = \frac{e^{i(ix)} - e^{-i(ix)}}{2i} = \frac{e^{-x} - e^x}{2i}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$,हम लिख सकते हैं $\sin(ix) = \frac{-(e^x - e^{-x})}{2i} = -\frac{1}{i} \sinh x$।
अंश और हर को $i$ से गुणा करने पर,$\sin(ix) = -\frac{i}{i^2} \sinh x = -\frac{i}{-1} \sinh x = i\sinh x$ प्राप्त होता है।
अतः,सही सर्वसमिका $\sin(ix) = i\sinh x$ है।

(A) दिया गया है ${\tan ^{ - 1}}(\alpha + i\beta ) = x + iy$।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\alpha + i\beta = \tan (x + iy) \dots (i)$।
दोनों पक्षों का सम्मिश्र संयुग्मी लेने पर,$\alpha - i\beta = \tan (x - iy) \dots (ii)$।
सूत्र $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 2x = \tan [(x + iy) + (x - iy)] = \frac{\tan (x + iy) + \tan (x - iy)}{1 - \tan (x + iy) \tan (x - iy)}$।
$(i)$ और $(ii)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan 2x = \frac{(\alpha + i\beta ) + (\alpha - i\beta )}{1 - (\alpha + i\beta )(\alpha - i\beta )} = \frac{2\alpha }{1 - (\alpha ^2 + \beta ^2)}$।
अतः,$2x = \tan ^{-1} \left( \frac{2\alpha }{1 - \alpha ^2 - \beta ^2} \right)$।
इस प्रकार,$x = \frac{1}{2} \tan ^{-1} \left( \frac{2\alpha }{1 - \alpha ^2 - \beta ^2} \right)$।

(D) दिया गया है कि $a = \cos \alpha + i\sin \alpha$,$b = \cos \beta + i\sin \beta$,और $c = \cos \gamma + i\sin \gamma$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$a = e^{i\alpha}$,$b = e^{i\beta}$,और $c = e^{i\gamma}$.
अतः,$\frac{b}{c} = e^{i(\beta - \gamma)} = \cos(\beta - \gamma) + i\sin(\beta - \gamma)$ $(i)$.
इसी प्रकार,$\frac{c}{a} = e^{i(\gamma - \alpha)} = \cos(\gamma - \alpha) + i\sin(\gamma - \alpha)$ $(ii)$.
और $\frac{a}{b} = e^{i(\alpha - \beta)} = \cos(\alpha - \beta) + i\sin(\alpha - \beta)$ $(iii)$.
$(i)$,$(ii)$,और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$\frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} = [\cos(\beta - \gamma) + \cos(\gamma - \alpha) + \cos(\alpha - \beta)] + i[\sin(\beta - \gamma) + \sin(\gamma - \alpha) + \sin(\alpha - \beta)] = 1$.
चूंकि $1 = 1 + 0i$,वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
$\cos(\beta - \gamma) + \cos(\gamma - \alpha) + \cos(\alpha - \beta) = 1$.

(A) सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,हमारे पास $|z_1| + |z_2| \ge |z_1 + z_2|$ है।
दिए गए व्यंजक पर इसे लागू करने पर,हमें $|z| + |z - 1| = |z| + |1 - z|$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज असमिका का उपयोग करने पर,$|z| + |1 - z| \ge |z + (1 - z)|$।
व्यंजक को सरल करने पर,$|z + 1 - z| = |1| = 1$।
अतः,$|z| + |z - 1|$ का न्यूनतम मान $1$ है।

(A) दी गई असमिका $\log_{1/3}|z + 1| > \log_{1/3}|z - 1|$ है।
चूंकि आधार $a = 1/3$ शर्त $0 < a < 1$ को संतुष्ट करता है, इसलिए लघुगणक को हटाने पर असमिका का चिन्ह बदल जाएगा:
$|z + 1| < |z - 1|$.
माना $z = x + iy$ है। तब $|x + iy + 1| < |x + iy - 1|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $(x + 1)^2 + y^2 < (x - 1)^2 + y^2$.
वर्गों का विस्तार करने पर: $x^2 + 2x + 1 + y^2 < x^2 - 2x + 1 + y^2$.
सरल करने पर, $2x < -2x$, जिसका अर्थ है $4x < 0$, या $x < 0$.
चूंकि $x = Re(z)$, इसलिए बिंदु पथ $Re(z) < 0$ है।

(C) माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
तब $\left| z + \frac{1}{z} \right| = a \implies \left| z + \frac{1}{z} \right|^2 = a^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 \cos^2 \theta + \left( r - \frac{1}{r} \right)^2 \sin^2 \theta = a^2$ प्राप्त होता है।
यह $r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 \cos 2\theta = a^2$ में सरल हो जाता है।
$r$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $\cos 2\theta$ को न्यूनतम करना होगा। $\cos 2\theta$ का न्यूनतम मान $-1$ है।
अतः $r^2 + \frac{1}{r^2} - 2 = a^2$,जो $(r - \frac{1}{r})^2 = a^2$ हो जाता है।
इस प्रकार $r - \frac{1}{r} = a$,जिसका हल $r = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$ है।

(C) दिया गया है $z_1 = 10 + 6i$ और $z_2 = 4 + 6i$. मान लीजिए $z = x + iy$.
प्रतिबंध $\text{amp}\left( \frac{z - z_1}{z - z_2} \right) = \frac{\pi}{4}$ एक वृत्त के चाप को दर्शाता है जो $z_1$ और $z_2$ से होकर गुजरता है।
बिंदुपथ $\frac{(y-6)(x-4) - (y-6)(x-10)}{(x-4)(x-10) + (y-6)^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ द्वारा दिया जाता है।
सरल करने पर,$(y-6)(x-4 - x + 10) = (x-4)(x-10) + (y-6)^2$.
$6(y-6) = x^2 - 14x + 40 + y^2 - 12y + 36$.
$x^2 - 14x + y^2 - 18y + 112 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में $49 + 81$ जोड़ने पर:
$(x - 7)^2 + (y - 9)^2 = 18$.
हमें $|z - 7 - 9i| = |(x-7) + i(y-9)| = \sqrt{(x-7)^2 + (y-9)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
वृत्त के समीकरण से मान रखने पर,हमें $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}} \right| = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $-(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$।
चूंकि $a, b, c$ शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं के मापांक हैं,इसलिए $a, b, c > 0$,अतः $a+b+c \neq 0$।
इस प्रकार,$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$,जो सरल होकर $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$ हो जाता है।
इससे $a=b=c$ प्राप्त होता है।
सम्मिश्र संख्याओं के ज्यामितीय गुणों और दिए गए विकल्पों के अनुसार,व्यंजक $arg{\left( {\frac{{{z_3} - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}} \right)^2}$ के बराबर है।

(D) मान लीजिए $z = r(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ और $w = r(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$,जहाँ $|z| = |w| = r$ है।
दिया गया है कि $arg(z) + arg(w) = \theta_1 + \theta_2 = \pi$,इसलिए $\theta_1 = \pi - \theta_2$ है।
इसे $z$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = r(\cos(\pi - \theta_2) + i \sin(\pi - \theta_2))$
$z = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$
चूँकि $\overline{w} = r(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)$,इसलिए $-\overline{w} = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ होता है।
अतः,$z = -\overline{w}$।

(B) दिए गए संबंध $c - a = r(b - a)$ और $w - u = r(v - u)$ हैं।
माना $r = \lambda e^{i\alpha}$,जहाँ $\lambda = |r|$ और $\alpha = \arg(r)$ है।
प्रथम संबंध से,$c - a = \lambda e^{i\alpha}(b - a)$। मापांक लेने पर,$|c - a| = |r| |b - a|$,जिसका अर्थ है $AC = |r| AB$।
कोणांक लेने पर,$\arg(c - a) - \arg(b - a) = \arg(r) = \alpha$,जिसका अर्थ है $\angle CAB = \alpha$।
इसी प्रकार,दूसरे संबंध $w - u = r(v - u)$ से,हमें $DF = |r| DE$ और $\angle FDE = \alpha$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{AC}{AB} = \frac{DF}{DE} = |r|$ और $\angle CAB = \angle FDE = \alpha$,इसलिए $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।