Parabola Questions in Hindi

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $a = 1$ है।
रेखा $y = 3x + 4$ की प्रवणता $m = 3$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के $m$ प्रवणता वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
सूत्र में $a = 1$ और $m = 3$ रखने पर:
$y = 3x - 2(1)(3) - (1)(3)^3$
$y = 3x - 6 - 27$
$y = 3x - 33$.
अतः,अभिलंब का समीकरण $y = 3x - 33$ है।

(A) परवलय $y^2 = 2px$ की नाभि $(p/2, 0)$ है।
परवलय की नियता $x = -p/2$ है।
वृत्त का केंद्र $(p/2, 0)$ है और यह नियता को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r = p$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - p/2)^2 + y^2 = p^2$ है।
$y^2 = 2px$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x - p/2)^2 + 2px = p^2$
$x^2 - px + p^2/4 + 2px = p^2$
$x^2 + px - 3p^2/4 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = p/2$ या $x = -3p/2$ प्राप्त होता है।
$x = p/2$ के लिए,$y^2 = p^2$ अर्थात $y = \pm p$ है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(p/2, p)$ और $(p/2, -p)$ हैं।

(D) नाभिलंब जीवा $BC$ के अंतिम बिंदु $B(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ और $C(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ मानिए।
चूँकि यह एक नाभिलंब जीवा है,$t_{1}t_{2} = -1$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $a^{2} |t_{1} - t_{2}| = 5a^{2}$ है।
अतः $|t_{1} - t_{2}| = 5$ है।
नाभिलंब जीवा की लंबाई $a(t_{1} - t_{2})^{2} = a(t_{1} + 1/t_{1})^{2} = a(t_{1} - t_{2})^{2} = a(5)^{2} = 25a$ है।

(A) मान लीजिए कि परवलय $y^{2} = 4ax$ पर बिंदु $P$ और $Q$ के प्राचल $t_{1}$ और $t_{2}$ हैं,ताकि $P = (at_{1}^{2}, 2at_{1})$ और $Q = (at_{2}^{2}, 2at_{2})$ हो।
किसी बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 1/t$ होती है।
चूंकि $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$(1/t_{1}) \times (1/t_{2}) = -1 \implies t_{1}t_{2} = -1 \implies t_{2} = -1/t_{1}$.
दिया गया है $P(p, q) = (at_{1}^{2}, 2at_{1})$,इसलिए $q = 2at_{1} \implies t_{1} = q/(2a)$.
अतः,$t_{2} = -1/(q/2a) = -2a/q$.
$Q$ के निर्देशांक $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (a(-2a/q)^{2}, 2a(-2a/q)) = (a(4a^{2}/q^{2}), -4a^{2}/q)$ होंगे।
चूंकि $P(p, q)$,$y^{2} = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $q^{2} = 4ap$ होगा। $Q$ के $x$-निर्देशांक में $q^{2} = 4ap$ रखने पर:
$x_{Q} = (4a^{3})/(4ap) = a^{2}/p$.
इसलिए,$Q$ के निर्देशांक $(a^{2}/p, -4a^{2}/q)$ हैं।

(A) परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए,यदि नाभीय जीवा का एक सिरा $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ है,तो दूसरा सिरा $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ होगा जहाँ $t_{1}t_{2} = -1$.
यहाँ $y^{2} = 32x$ दिया गया है,इसलिए $4a = 32$,जिसका अर्थ है $a = 8$.
बिंदु $(2, -8)$,$(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ के अनुरूप है।
$2at_{1} = -8 \implies 2(8)t_{1} = -8 \implies 16t_{1} = -8 \implies t_{1} = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $t_{1}t_{2} = -1$,इसलिए $t_{2} = -\frac{1}{t_{1}} = -\frac{1}{-1/2} = 2$.
अतः दूसरा सिरा $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (8(2)^{2}, 2(8)(2)) = (8 \times 4, 32) = (32, 32)$ होगा।

(A) परवलय $y^{2} = 4ax$ के नाभिलंब के अंत्य बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं।
$(a, 2a)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2a}{2a} = 1$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-1$ होगी।
$(a, 2a)$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - 2a = -1(x - a) \implies x + y - 3a = 0$ $(i)$.
इसी प्रकार,$(a, -2a)$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - (-2a) = 1(x - a) \implies x - y - 3a = 0$ $(ii)$.
दोनों अभिलंबों का संयुक्त समीकरण: $(x + y - 3a)(x - y - 3a) = 0$.
अतः,$(x - 3a)^{2} - y^{2} = 0 \implies x^{2} - 6ax + 9a^{2} - y^{2} = 0$ अर्थात $x^{2} - y^{2} - 6ax + 9a^{2} = 0$.

(A) माना बिंदु $(h, k)$ है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^{3}$ है।
चूंकि यह $(h, k)$ से गुजरता है,$k = mh - 2am - am^{3}$,जो $am^{3} + m(2a - h) + k = 0$ में सरल हो जाता है।
माना अभिलंबों की ढाल $m_1, m_2, m_3$ है। मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 m_3 = -k/a$ है।
दिया गया है कि $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$,जहाँ $m_1 m_2 = 2$ है।
अतः,$2 m_3 = -k/a$,यानी $m_3 = -k/(2a)$।
चूंकि $m_3$ समीकरण $am^{3} + m(2a - h) + k = 0$ का एक मूल है,$m = -k/(2a)$ रखने पर:
$a(-k/(2a))^{3} + (-k/(2a))(2a - h) + k = 0$
$-k^{3}/(8a^{2}) - k + kh/(2a) + k = 0$
$-k^{3}/(8a^{2}) + kh/(2a) = 0$
$k^{2} = 4ah$।
अतः,बिंदुपथ $y^{2} = 4ax$ है।

(C) माना परवलय $y^{2} = 4ax$ पर एक चर बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ है और नाभि $S(a, 0)$ है।
माना $M(h, k)$ रेखाखंड $PS$ का मध्यबिंदु है।
तब $h = \frac{at^{2} + a}{2}$ और $k = \frac{2at + 0}{2} = at$ है।
$k = at$ से,$t = \frac{k}{a}$ प्राप्त होता है।
$h$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर: $h = \frac{a(k/a)^{2} + a}{2} = \frac{k^{2}/a + a}{2} = \frac{k^{2} + a^{2}}{2a}$।
अतः,$2ah = k^{2} + a^{2}$,जो $k^{2} = 2a(h - a/2)$ में सरल होता है।
$(h, k)$ का बिंदुपथ $y^{2} = 2a(x - a/2)$ है।
इसे मानक रूप $Y^{2} = 4AX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y$,$X = x - a/2$,और $4A = 2a \Rightarrow A = a/2$ है।
नियता $X = -A$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $x - a/2 = -a/2$।
अतः,$x = 0$।

(B) दिया गया परवलय: $y^{2} = 4x + 4y$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^{2} - 4y = 4x$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^{2} - 4y + 4 = 4x + 4$
$(y - 2)^{2} = 4(x + 1)$
मानक रूप $Y^{2} = 4AX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y - 2$,$X = x + 1$,और $A = 1$ है।
शीर्ष: $(X = 0, Y = 0) \implies (x + 1 = 0, y - 2 = 0) \implies (-1, 2)$.
नाभि: $(X = A, Y = 0) \implies (x + 1 = 1, y - 2 = 0) \implies (0, 2)$.
अक्ष: $Y = 0 \implies y - 2 = 0 \implies y = 2$.
नाभिलंब की लंबाई: $4A = 4(1) = 4$.
नियता का समीकरण: $X = -A \implies x + 1 = -1 \implies x = -2$.

(B) माना परवलय का समीकरण $y^{2} = 4ax$ है और जीवा $PQ$ के अंत्य बिंदु $P(at_1^{2}, 2at_1)$ और $Q(at_2^{2}, 2at_2)$ हैं।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $T$ के निर्देशांक $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ हैं।
नाभि $S(a, 0)$ से बिंदु $(at^{2}, 2at)$ की दूरी $a(1 + t^{2})$ होती है।
अतः,$SP = a(1 + t_1^{2})$ और $SQ = a(1 + t_2^{2})$ है।
नाभि $S(a, 0)$ से $T(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ की दूरी $ST$ इस प्रकार है:
$ST^{2} = (at_1t_2 - a)^{2} + (a(t_1 + t_2) - 0)^{2}$
$ST^{2} = a^{2}(t_1^{2}t_2^{2} + t_1^{2} + t_2^{2} + 1)$
$ST^{2} = a^{2}(1 + t_1^{2})(1 + t_2^{2})$
$ST^{2} = SP \cdot SQ$
चूंकि $ST^{2} = SP \cdot SQ$,इसलिए दूरियां $SP, ST, SQ$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(B) माना $P(at_1^2, 2at_1)$ अभिलंब जीवा का एक अंतिम बिंदु है,तो दूसरा अंतिम बिंदु $Q(at_2^2, 2at_2)$ होगा।
अभिलंब जीवा के लिए,प्राचलों के बीच संबंध $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \dots (1)$ है।
$OP$ का ढाल $m_1 = \frac{2at_1}{at_1^2} = \frac{2}{t_1}$ है।
$OQ$ का ढाल $m_2 = \frac{2at_2}{at_2^2} = \frac{2}{t_2}$ है।
चूंकि जीवा शीर्ष $O(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{2}{t_1} \times \frac{2}{t_2} = -1$ $\Rightarrow t_1t_2 = -4 \dots (2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-4/t_1 = -t_1 - 2/t_1$ $\Rightarrow -4/t_1 = -(t_1^2 + 2)/t_1$ $\Rightarrow 4 = t_1^2 + 2$ $\Rightarrow t_1^2 = 2$ $\Rightarrow t_1 = \pm \sqrt{2}$.
शीर्ष और अंतिम बिंदु $P$ को जोड़ने वाली रेखा का ढाल $m_1 = \frac{2}{t_1} = \frac{2}{\pm \sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 8(x - 3)$ है।
यहाँ $4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
शीर्ष $(3, 0)$ है और नाभि $S(5, 0)$ है।
नियता का समीकरण $x = 1$ है।
चूँकि $\triangle SPM$ एक समबाहु त्रिभुज है,$SP = PM = SM = L$ है।
ज्यामिति के अनुसार,$L = 8$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय $Y^{2} = 4AX$ के $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $Y = mX - 2Am - Am^{3}$ होता है।
यहाँ दिया गया परवलय $y^{2} = 1(x + a)$ है।
तुलना करने पर,$Y = y$,$X = x + a$,और $4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$y = m(x + a) - 2(\frac{1}{4})m - (\frac{1}{4})m^{3}$
$y = m(x + a) - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^{3}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$4y = 4m(x + a) - 2m - m^{3}$
$4y = 4mx + 4am - 2m - m^{3}$

(C) माना परवलय पर बिंदु $P(at^2, 2at)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।
नियता $x = -a$ है।
स्पर्शरेखा और नियता के प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ को खोजने के लिए,स्पर्शरेखा के समीकरण में $x = -a$ रखें:
$ty = -a + at^2 \implies y = \frac{a(t^2 - 1)}{t}$.
अतः,$Q = (-a, \frac{a(t^2 - 1)}{t})$.
नाभि $S(a, 0)$ है।
$SP$ की ढाल $m_1 = \frac{2at - 0}{at^2 - a} = \frac{2t}{t^2 - 1}$ है।
$SQ$ की ढाल $m_2 = \frac{\frac{a(t^2 - 1)}{t} - 0}{-a - a} = \frac{a(t^2 - 1)}{t(-2a)} = -\frac{t^2 - 1}{2t}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = \left(\frac{2t}{t^2 - 1}\right) \times \left(-\frac{t^2 - 1}{2t}\right) = -1$,इसलिए रेखाएं $SP$ और $SQ$ लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) नाभि $S(0, 1)$ है और नियता $x + 2 = 0$ है।
परवलय की परिभाषा $SP = PM$ है,जहाँ $P(x, y)$ परवलय पर एक बिंदु है।
$SP^2 = PM^2 \implies (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = (x + 2)^2$
$x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + 4x + 4$
$(y - 1)^2 = 4(x + 1)$
मान लीजिए $Y = y - 1$ और $X = x + 1$ है। तब समीकरण $Y^2 = 4X$ हो जाता है,जो $Y^2 = 4aX$ के रूप में है जहाँ $a = 1$ है।
$Y^2 = 4aX$ के लिए प्राचलिक निर्देशांक $(at^2, 2at)$ होते हैं।
यहाँ,$X = t^2$ और $Y = 2t$ है।
$x$ और $y$ के लिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 1 = t^2 \implies x = t^2 - 1$
$y - 1 = 2t \implies y = 2t + 1$
अतः,प्राचलिक निर्देशांक $(t^2 - 1, 2t + 1)$ हैं।

(D) परवलय का अक्ष नियता $x + y - 2 = 0$ के लंबवत है।
अतः,अक्ष का समीकरण $x - y + k = 0$ है।
चूँकि यह नाभि $S(3, -4)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $3 - (-4) + k = 0$ है,जिससे $k = -7$ प्राप्त होता है।
अक्ष का समीकरण $x - y - 7 = 0$ है।
माना $Z$ अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $x + y - 2 = 0$ और $x - y - 7 = 0$ को हल करने पर,हमें $Z = (9/2, -5/2)$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $A$,$SZ$ का मध्यबिंदु है।
$A = \left( \frac{3 + 9/2}{2}, \frac{-4 - 5/2}{2} \right) = \left( \frac{15/2}{2}, \frac{-13/2}{2} \right) = \left( \frac{15}{4}, -\frac{13}{4} \right)$.

(C) यदि बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो,तो बिंदु संरेख होते हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
बिंदुओं $(a, 0)$,$(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |a(2at_1 - 2at_2) + at_1^2(2at_2 - 0) + at_2^2(0 - 2at_1)| = 0$.
$2a^2$ से विभाजित करने पर (मान लें $a \neq 0$):
$|(t_1 - t_2) + t_1^2 t_2 - t_2^2 t_1| = 0$.
$t_1 - t_2 + t_1 t_2 (t_1 - t_2) = 0$.
$(t_1 - t_2)(1 + t_1 t_2) = 0$.
चूंकि अलग-अलग बिंदुओं के लिए $t_1 \neq t_2$,इसलिए $1 + t_1 t_2 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $t_1 t_2 = -1$।

(B) माना $P, Q, R$ के निर्देशांक $(at_i^2, 2at_i)$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
चूँकि कोटियाँ $2at_1, 2at_2, 2at_3$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $t_1, t_2, t_3$ भी गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अतः,$t_1 t_3 = t_2^2$ है।
$P$ और $R$ पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण $t_1y = x + at_1^2$ और $t_3y = x + at_3^2$ हैं।
इन्हें हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ के लिए $x = at_1t_3 = at_2^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $at_2^2$ है,जो कि $Q$ का $x$-निर्देशांक है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ से गुजरने वाली $y$-अक्ष के समांतर रेखा पर स्थित है।

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है और इसका शीर्ष $A(0, 0)$ है।
द्विकोटि $x = x_1$ पर है,इसलिए बिंदु $P(x_1, 2\sqrt{ax_1})$ और $Q(x_1, -2\sqrt{ax_1})$ हैं।
यदि कोण $90^\circ$ है,तो $AP$ की ढाल $m_1 = \frac{y_1}{x_1}$ और $AQ$ की ढाल $m_2 = -\frac{y_1}{x_1}$ का गुणनफल $-1$ होगा।
$-\frac{y_1^2}{x_1^2} = -1 \implies y_1^2 = x_1^2$।
परवलय के समीकरण $y_1^2 = 4ax_1$ से,$x_1^2 = 4ax_1 \implies x_1 = 4a$।
अतः,$x = 4a$ पर बनने वाला कोण $90^\circ$ है।

(A) परवलय $y^2 = 4x$ की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ होता है।
यदि यह बिंदु $(-2, -1)$ से गुजरती है,तो:
$-1 = -2m + \frac{1}{m}$
$2m^2 - m - 1 = 0$
माना कि दो स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। द्विघात समीकरण से:
$m_1 + m_2 = \frac{1}{2}$
$m_1 m_2 = -\frac{1}{2}$
दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ है:
$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
सर्वसमिका $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ का उपयोग करने पर:
$(m_1 - m_2)^2 = (\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4}$
$|m_1 - m_2| = \frac{3}{2}$
मान रखने पर:
$\tan \alpha = \left| \frac{3/2}{1 - 1/2} \right| = 3$

(C) शीर्ष $V(0, 4)$ है और नाभि $S(0, 2)$ है।
चूंकि दोनों बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = |4 - 2| = 2$ है।
चूंकि नाभि शीर्ष के नीचे है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
शीर्ष $(h, k)$ वाले और नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का मानक समीकरण $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ है।
$h = 0, k = 4$,और $a = 2$ रखने पर:
$(x - 0)^2 = -4(2)(y - 4)$
$x^2 = -8(y - 4)$
$x^2 = -8y + 32$
$x^2 + 8y = 32$.

(D) दिया गया समीकरण: $y^2 - 2y = x - 2$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - 1)^2 - 1 = x - 2$,जो सरल होकर $(y - 1)^2 = x - 1$ हो जाता है।
माना $Y = y - 1$ और $X = x - 1$ है। समीकरण $Y^2 = X$ बन जाता है।
यह $Y^2 = 4aX$ के रूप का एक मानक परवलय है,जहाँ $4a = 1$,इसलिए $a = 1/4$ है।
$(X, Y)$ निर्देशांक प्रणाली में नाभि $(a, 0) = (1/4, 0)$ है।
मूल $(x, y)$ निर्देशांक प्रणाली में नाभि ज्ञात करने के लिए,हम $x = X + 1$ और $y = Y + 1$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$x = 1/4 + 1 = 5/4$ और $y = 0 + 1 = 1$ है।
नाभि $(5/4, 1)$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y = \frac{a^3x^2}{3} + \frac{a^2x}{2} - 2a$ है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$y = \frac{a^3}{3} \left( x^2 + \frac{3}{2a}x \right) - 2a$
$y = \frac{a^3}{3} \left( x^2 + \frac{3}{2a}x + \left(\frac{3}{4a}\right)^2 - \left(\frac{3}{4a}\right)^2 \right) - 2a$
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{a^3}{3} \cdot \frac{9}{16a^2} - 2a$
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{3a}{16} - 2a$
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{35a}{16}$
शीर्ष $(x, y)$,$x = -\frac{3}{4a}$ और $y = -\frac{35a}{16}$ द्वारा प्राप्त होता है।
बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ का गुणा करते हैं:
$xy = \left( -\frac{3}{4a} \right) \left( -\frac{35a}{16} \right) = \frac{105}{64}$.
अतः,बिंदुपथ $xy = \frac{105}{64}$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $4y^2 + 12x - 20y + 67 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4y^2 - 20y = -12x - 67$ प्राप्त होता है।
$4$ से विभाजित करने पर,$y^2 - 5y = -3x - 67/4$ मिलता है।
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - 5/2)^2 = -3x - 67/4 + 25/4$।
$(y - 5/2)^2 = -3x - 42/4 = -3x - 21/2$।
$(y - 5/2)^2 = -3(x + 7/2)$।
इसकी तुलना मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से करने पर,जहाँ $Y = y - 5/2$,$X = x + 7/2$,और $4a = -3$ (अर्थात $a = -3/4$)।
$Y^2 = 4aX$ की नाभि $(a, 0) = (-3/4, 0)$ होती है।
अतः,$x + 7/2 = -3/4$ और $y - 5/2 = 0$।
$x = -3/4 - 14/4 = -17/4$ और $y = 5/2$।
अतः,नाभि $(-17/4, 5/2)$ है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है। यहाँ $a = 1$ है,अतः समीकरण $y = mx - 2m - m^3$ है।
चूंकि अभिलंब $(15, 12)$ से गुजरता है,इसलिए $12 = 15m - 2m - m^3$,जो सरल होकर $m^3 - 13m + 12 = 0$ बनता है।
मान लीजिए कि तीन अभिलंबों की ढाल $m_1, m_2, m_3$ है। त्रिघात समीकरण से,मूलों का योग $m_1 + m_2 + m_3 = 0$ होता है।
दिए गए दो अभिलंब $4x + y = 72$ (ढाल $m_1 = -4$) और $3x - y = 33$ (ढाल $m_2 = 3$) हैं,इसलिए $-4 + 3 + m_3 = 0$,जिससे $m_3 = 1$ प्राप्त होता है।
$(15, 12)$ से गुजरने वाले और $m = 1$ ढाल वाले तीसरे अभिलंब का समीकरण $y - 12 = 1(x - 15)$ है,जो सरल होकर $y = x - 3$ बनता है।

(D) परवलय $y^{2} = 8ax$ की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2a}{m}$ होता है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^{2} + y^{2} = 2a^{2}$ की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $mx - y + \frac{2a}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = a\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|\frac{2a}{m}|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = a\sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4a^{2}}{m^{2}(m^{2} + 1)} = 2a^{2}$.
$\frac{2}{m^{2}(m^{2} + 1)} = 1 \Rightarrow m^{4} + m^{2} - 2 = 0$.
$(m^{2} + 2)(m^{2} - 1) = 0$. चूंकि $m$ वास्तविक है,इसलिए $m^{2} = 1$,अर्थात $m = \pm 1$.
$m = 1$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर: $y = x + \frac{2a}{1} = x + 2a$.
अतः,$y = x + 2a$ एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

(A) माना शीर्ष $A(4, -1)$ है और नाभिकेंद्र $S(4, -3)$ है।
परवलय का अक्ष वह रेखा है जो नाभिकेंद्र और शीर्ष से होकर गुजरती है,जो $x = 4$ है।
चूंकि शीर्ष $A(4, -1)$,नाभिकेंद्र $S(4, -3)$ से $a = |-1 - (-3)| = 2$ की दूरी पर है,और परवलय नीचे की ओर खुलता है (क्योंकि नाभिकेंद्र शीर्ष के नीचे है),इसलिए परवलय का समीकरण $(x - h)^{2} = -4a(y - k)$ के रूप में है,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है।
यहाँ,$(h, k) = (4, -1)$ और $a = 2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - 4)^{2} = -4(2)(y - (-1))$
$(x - 4)^{2} = -8(y + 1)$
$x^{2} - 8x + 16 = -8y - 8$
$x^{2} - 8x + 8y + 24 = 0$.

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 64x$ है,इसलिए $4a = 64$,जिससे $a = 16$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $4y = 3x - 48$ है,जिसे $y = \frac{3}{4}x - 12$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$m = \frac{3}{4}$ और $c = -12$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर रेखा $y = mx + c$ द्वारा काटे गए जीवा की लंबाई का सूत्र $L = \frac{4}{m^2} \sqrt{a(1+m^2)(a-mc)}$ है।
मान रखने पर: $L = \frac{4}{(3/4)^2} \sqrt{16(1 + (3/4)^2)(16 - (3/4)(-12))}$.
$L = \frac{4}{9/16} \sqrt{16(1 + 9/16)(16 + 9)}$.
$L = \frac{64}{9} \sqrt{16(\frac{25}{16})(25)}$.
$L = \frac{64}{9} \sqrt{25 \times 25} = \frac{64}{9} \times 25 = \frac{1600}{9}$.

(B) माना शीर्ष $A(0,0)$ है। माना $P$ परवलय $x^2 = 4ay$ पर एक बिंदु है ताकि जीवा $AP$ का ढाल $\tan \alpha$ हो। $P$ के निर्देशांक $(2at, at^2)$ हैं।
$AP$ का ढाल $\frac{at^2 - 0}{2at - 0} = \frac{t}{2}$ है।
दिया गया ढाल $\tan \alpha$ है,इसलिए $\frac{t}{2} = \tan \alpha$,जिसका अर्थ है $t = 2 \tan \alpha$।
जीवा $AP$ की लंबाई $\sqrt{(2at - 0)^2 + (at^2 - 0)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + a^2t^4} = at \sqrt{4 + t^2}$ है।
$t = 2 \tan \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:
$AP = a(2 \tan \alpha) \sqrt{4 + (2 \tan \alpha)^2} = 2a \tan \alpha \sqrt{4(1 + \tan^2 \alpha)}$।
चूंकि $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$,हमें प्राप्त होता है:
$AP = 2a \tan \alpha (2 \sec \alpha) = 4a \tan \alpha \sec \alpha$।

(A) माना $P\ (x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है जिसकी नाभि $S\ (-1, -2)$ और नियता $x - 2y + 3 = 0$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P$ से नाभि $S$ की दूरी,बिंदु $P$ से नियता की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$SP = PM$
$SP^2 = PM^2$
$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = \left( \frac{|x - 2y + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} \right)^2$
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = \frac{(x - 2y + 3)^2}{5}$
$5(x^2 + y^2 + 2x + 4y + 5) = x^2 + 4y^2 + 9 - 4xy + 6x - 12y$
$5x^2 + 5y^2 + 10x + 20y + 25 = x^2 + 4y^2 - 4xy + 6x - 12y + 9$
$4x^2 + y^2 + 4xy + 4x + 32y + 16 = 0$

(B) परवलय का शीर्ष $V(0, a)$ है और नाभि $S(0, 0)$ है।
चूंकि नाभि और शीर्ष $y$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = |a - 0| = |a|$ है।
चूंकि नाभि शीर्ष के नीचे है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
शीर्ष $(h, k)$ वाले नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का मानक रूप $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ है।
यहाँ,$(h, k) = (0, a)$ और शीर्ष से नाभि की दूरी $a$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x - 0)^2 = -4a(y - a)$ प्राप्त होता है।
$x^2 = -4a(y - a)$.
$x^2 = 4a(a - y)$.

(C) दिया गया समीकरण: $4y^2 - 4y = 6x + 5$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(y^2 - y) = 6x + 5$
$4(y^2 - y + \frac{1}{4}) = 6x + 5 + 1$
$4(y - \frac{1}{2})^2 = 6(x + 1)$
$(y - \frac{1}{2})^2 = \frac{6}{4}(x + 1) = \frac{3}{2}(x + 1)$
$(Y)^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y - \frac{1}{2}$,$X = x + 1$,और $4a = \frac{3}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{8}$ है।
अक्ष $Y = 0$ $\Rightarrow y - \frac{1}{2} = 0$ $\Rightarrow 2y - 1 = 0$ है।
नियता $X + a = 0$ $\Rightarrow x + 1 + \frac{3}{8} = 0$ $\Rightarrow x + \frac{11}{8} = 0$ $\Rightarrow 8x + 11 = 0$ है।

(A) मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
परवलय $x^2 + 4y = 0$ के लिए,मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $xh + 2(y + k) = h^2 + 4k$ है।
चूंकि जीवा नाभि $(0, -1)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x(0) + 2(-1 + k) = h^2 + 4k$
$-2 + 2k = h^2 + 4k$
$h^2 + 2k + 2 = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + 2y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) शीर्ष $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $x-$ अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाने वाली जीवा का समीकरण $y = x \tan \theta$ है।
परवलय के समीकरण $y^2 = 4ax$ में $y = x \tan \theta$ रखने पर:
$(x \tan \theta)^2 = 4ax$
$x^2 \tan^2 \theta = 4ax$
$x(x \tan^2 \theta - 4a) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = \frac{4a}{\tan^2 \theta}$.
जब $x = \frac{4a}{\tan^2 \theta}$,तब $y = \frac{4a}{\tan \theta}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{4a}{\tan^2 \theta}, \frac{4a}{\tan \theta})$ हैं।
जीवा की लंबाई $L$ दूरी सूत्र द्वारा:
$L = \sqrt{(\frac{4a}{\tan^2 \theta})^2 + (\frac{4a}{\tan \theta})^2}$
$L = \frac{4a}{\tan \theta} \sqrt{\frac{1}{\tan^2 \theta} + 1} = \frac{4a}{\tan \theta} \csc \theta = 4a \cos \theta \csc^2 \theta$.

(C) चरण $1$: परवलय पर बिंदु की पहचान करें।
परवलय $y^2 = 4ax$ है। नाभिलंब का एक सिरा $P(a, 2a)$ है।
चरण $2$: स्पर्शरेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात करें।
$P(a, 2a)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} = \frac{2a}{2a} = 1$ है।
$P(a, 2a)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 2a = 1(x - a) \Rightarrow y = x + a$ है।
यह स्पर्शरेखा $x$-अक्ष $(y=0)$ को $T(-a, 0)$ पर मिलती है।
$P(a, 2a)$ पर अभिलंब की ढाल $-1$ है (क्योंकि स्पर्शरेखा की ढाल $1$ है)।
$P(a, 2a)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2a = -1(x - a) \Rightarrow y = -x + 3a$ है।
यह अभिलंब $x$-अक्ष $(y=0)$ को $N(3a, 0)$ पर मिलता है।
चरण $3$: त्रिभुज $PTN$ का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
त्रिभुज के शीर्ष $P(a, 2a)$,$T(-a, 0)$ और $N(3a, 0)$ हैं।
आधार $TN$,$x$-अक्ष पर स्थित है,जिसकी लंबाई $TN = |3a - (-a)| = 4a$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $2a$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4a \times 2a = 4a^2$.

(B) दिया गया परवलय $y^2 = 4x$ है।
रेखा $y = x$ के लिए,परवलय के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $x^2 = 4x \implies x(x - 4) = 0$.
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $x = 4$,जिससे $y = 4$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $A = (4, 4)$ है।
रेखा $y = -x$ के लिए,परवलय के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $(-x)^2 = 4x \implies x^2 = 4x \implies x(x - 4) = 0$.
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $x = 4$,जिससे $y = -4$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $B = (4, -4)$ है।
$AB$ की लंबाई $(4, 4)$ और $(4, -4)$ के बीच की दूरी है।
$AB = \sqrt{(4 - 4)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8$.

(A) जीवा की लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम पहले परवलय $y = x^2 + 3x$ और रेखा $y = 5 - x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y$ के लिए दोनों समीकरणों को बराबर करने पर:
$x^2 + 3x = 5 - x$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
$(x + 5)(x - 1) = 0$
अतः,$x = 1$ और $x = -5$ है।
$x = 1$ के लिए,$y = 5 - 1 = 4$। बिंदु $(1, 4)$ है।
$x = -5$ के लिए,$y = 5 - (-5) = 10$। बिंदु $(-5, 10)$ है।
जीवा की लंबाई $(1, 4)$ और $(-5, 10)$ के बीच की दूरी है:
$L = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (10 - 4)^2}$
$L = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2}$
$L = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$।

(D) दिया गया समीकरण: $y^2 + 4y + 4x + 2 = 0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y^2 + 4y + 4) - 4 + 4x + 2 = 0$
$(y + 2)^2 = -4x + 2$
$(y + 2)^2 = -4(x - \frac{1}{2})$
इसे मानक रूप $(Y)^2 = -4a(X)$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y + 2$,$X = x - \frac{1}{2}$,और $4a = 4 \Rightarrow a = 1$ है।
शीर्ष $(\frac{1}{2}, -2)$ है।
$Y^2 = -4aX$ के लिए नियता का समीकरण $X = a$ होता है।
मान रखने पर: $x - \frac{1}{2} = 1$
$x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण $y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha}$ है।
परवलय के मानक रूप $x^2 = -4ay$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha} = x \tan \alpha - y$
$x^2 = \frac{2 u^2 \cos^2 \alpha}{g} (x \tan \alpha - y)$.
यह $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ के रूप में है।
$y$ के गुणांक की तुलना करने पर,हमें $4a = \frac{2 u^2 \cos^2 \alpha}{g}$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4a = \frac{2 u^2 \cos^2 \alpha}{g}$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = \frac{25}{7}x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = \frac{25}{7}$,अतः $a = \frac{25}{28}$ प्राप्त होता है।
दी गई समांतर जीवाओं के निकाय का समीकरण $4x - y + \lambda = 0$ है,इसलिए जीवाओं की ढाल $m = 4$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली जीवाओं के संगत व्यास का समीकरण $y = \frac{2a}{m}$ होता है।
मान रखने पर,$y = \frac{2 \times (25/28)}{4} = \frac{50/28}{4} = \frac{50}{112} = \frac{25}{56}$।
अतः,$56y = 25$।

(A) परवलय का मानक समीकरण $x^2 = 4ay$ या $x^2 = -4ay$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^2 = -y$ की तुलना $x^2 = -4ay$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4a = 1$
$a = 1/4$
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ के रूप में परिभाषित की जाती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= |4 \times (1/4)| = 1$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
$y^2 = 4x$ के लिए,$a = 1$ है,इसलिए स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
यदि बिंदु $P(h, k)$ स्पर्श रेखा पर स्थित है,तो $k = mh + \frac{1}{m}$,जो $m^2h - mk + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए $m_1 = \tan \theta_1$ और $m_2 = \tan \theta_2$ बिंदु $P(h, k)$ से गुजरने वाली दो स्पर्श रेखाओं की ढाल हैं।
तब $m_1$ और $m_2$ द्विघात समीकरण $m^2h - km + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{h}$ है।
दिया गया है कि $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
सूत्र $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} = 1$ का उपयोग करते हुए।
मान रखने पर: $\frac{k/h}{1 - 1/h} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{k/h}{(h-1)/h} = 1 \Rightarrow \frac{k}{h-1} = 1$ है।
अतः,$k = h - 1$,या $h - k - 1 = 0$ है।
$P(h, k)$ का बिंदुपथ $x - y - 1 = 0$ है।

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर दो बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
यदि $t_1$ और $t_2$ पर अभिलंब परवलय पर एक बिंदु $(x, y)$ पर मिलते हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 2a + a(t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2)$ और $y = -at_1t_2(t_1 + t_2)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $(-at_1t_2(t_1 + t_2))^2 = 4a(2a + a(t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2))$ होगा।
इसे सरल करने पर $a^2t_1^2t_2^2(t_1 + t_2)^2 = 4a^2(2 + t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2)$ प्राप्त होता है।
अभिलंबों के परवलय पर मिलने के लिए शर्त $t_1t_2 = 2$ है।
बिंदुओं की कोटि $y_1 = 2at_1$ और $y_2 = 2at_2$ हैं।
कोटियों का गुणनफल $y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2)$ है।
$t_1t_2 = 2$ रखने पर,$y_1y_2 = 4a^2(2) = 8a^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 1$ प्राप्त होता है,अतः $a = 1/4$ है।
माना परवलय पर बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित बिंदु $P(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $x_1 + a$ होती है।
दिया गया है कि $x_1 + 1/4 = 17/4$,जिससे $x_1 = 16/4 = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y^2 = x$,इसलिए $y^2 = 4$,जिससे $y = \pm 2$ प्राप्त होता है। चूंकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $y_1 = 2$ होगा।
अतः,बिंदु $P(4, 2)$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{2y_1} = \frac{1}{2(2)} = 1/4$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -1/m_t = -4$ है।
$(4, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -4(x - 4)$ है।
$y - 2 = -4x + 16$.
$4x + y = 18$.

(B) नाभि $S$ बिंदु $(0, 0)$ पर है।
नियता रेखा $x = 2$ है।
परवलय का अक्ष नाभि से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा है,जो कि $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
शीर्ष $V$,नाभि $(0, 0)$ और अक्ष तथा नियता के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है।
अक्ष $(y = 0)$ और नियता $(x = 2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 0)$ है।
शीर्ष $V$,$(0, 0)$ और $(2, 0)$ का मध्यबिंदु है,जो कि $(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0)$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
यहाँ $a = 1$ है,अतः $(t_1^2, 2t_1)$ पर अभिलंब $y = -t_1x + 2t_1 + t_1^3$ है।
चूँकि यह अभिलंब $(t_2^2, 2t_2)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2t_2 = -t_1(t_2^2) + 2t_1 + t_1^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2(t_2 - t_1) = -t_1(t_2^2 - t_1^2)$.
$2(t_2 - t_1) = -t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$.
चूँकि $t_1 \neq t_2$,हम $(t_2 - t_1)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2 = -t_1(t_2 + t_1)$.
$2 = -t_1t_2 - t_1^2$.
$t_1t_2 = -(t_1^2 + 2)$.

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 = 12x$ है।
इसे मानक रूप $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3$।
परवलय $y^2 = 4ax$ की नाभि $(a, 0)$ होती है,इसलिए यहाँ नाभि $(3, 0)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी का सूत्र $|x_1 + a|$ है।
$a = 3$ का मान रखने पर,नाभीय दूरी $|x_1 + 3|$ प्राप्त होती है।
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 12x$ पर स्थित है,इसलिए $x_1 \ge 0$ होना चाहिए,अतः $x_1 + 3$ हमेशा धनात्मक होगा।
इस प्रकार,नाभीय दूरी $x_1 + 3$ है।

(A) परवलय का शीर्ष $V(0, 1)$ है और नाभि $F(0, 0)$ है।
चूंकि $x$-निर्देशांक समान हैं,परवलय का अक्ष $y$-अक्ष $(x = 0)$ है।
परवलय नीचे की ओर खुलता है क्योंकि नाभि शीर्ष के नीचे है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = |1 - 0| = 1$ है।
शीर्ष $(h, k)$ वाले नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का मानक समीकरण $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ है।
$h = 0, k = 1$,और $a = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 0)^2 = -4(1)(y - 1)$
$x^2 = -4y + 4$
$x^2 + 4y - 4 = 0$.

(A) दी गई रेखा $2x + y - 1 = 0$ से,हम $y = 1 - 2x$ लिख सकते हैं।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 - 2x)^2 = 4x$
$1 - 4x + 4x^2 = 4x$
$4x^2 - 8x + 1 = 0$
अब,इस द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ की गणना करें:
$D = (-8)^2 - 4(4)(1) = 64 - 16 = 48$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
अतः,रेखा परवलय को दो वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।