रेखा $y = mx + c$ परवलय $y^2 = 4a(x + a)$ को स्पर्श करती है यदि...

परवलय $y = x^2$ पर,सरल रेखा $y = 2x - 4$ से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिंदु है

परवलय $y^2 = 4x$ के शीर्ष से खींची गई जीवा के मध्यबिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि परवलय $y^{2}=4x$ के मूल बिंदु $O$ से गुजरने वाली जीवा के मध्य-बिंदु का बिंदु पथ वक्र $S$ है। मान लीजिए $P$,$S$ पर कोई बिंदु है। तो उस बिंदु का बिंदु पथ,जो $OP$ को $3:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,है:

मान लीजिए कि $P$ और $Q$ परवलय $y^2=2x$ पर स्थित दो भिन्न बिंदु हैं,इस प्रकार कि $PQ$ को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त परवलय के शीर्ष $O$ से होकर गुजरता है। यदि $P$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है और त्रिभुज $\Delta OPQ$ का क्षेत्रफल $3\sqrt{2}$ है,तो $P$ के निर्देशांक निम्नलिखित में से कौन से हैं?
$(A)$ $(4, 2\sqrt{2})$
$(B)$ $(9, 3\sqrt{2})$
$(C)$ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}})$
$(D)$ $(1, \sqrt{2})$

माना $M$ परवलय $y^2=8(x-3)$ पर स्थित एक बिंदु $P$ से उसकी नियता (directrix) पर डाले गए लंब का पाद है और $S$ परवलय की नाभि (focus) है। यदि $\triangle SPM$ एक समबाहु त्रिभुज है,तो $P$ का मान क्या है?