एक बाहरी बिंदु $P$ से परवलय $y^2 = 4x$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जाता है। यदि $\theta_1$ और $\theta_2$ स्पर्श रेखाओं द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं,जैसे कि $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4}$,तो $P$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

परवलय $y^2 = 16x$ की दो नाभिलंब जीवाओं की लंबाई प्रत्येक $25$ इकाई है। यदि ये दो जीवाएं परवलय को $A, B, C$ और $D$ पर काटती हैं,तो $A, B, C$ और $D$ द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) क्या है?

परवलय $y^2=4x$ पर विचार करें। मान लीजिए $S$ परवलय की नाभि है। बिंदु $P=(-2,1)$ से परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखाओं का एक युग्म परवलय को $P_1$ और $P_2$ पर मिलता है। मान लीजिए $Q_1$ और $Q_2$ क्रमशः रेखाओं $SP_1$ और $SP_2$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $PQ_1$,$SP_1$ के लंबवत है और $PQ_2$,$SP_2$ के लंबवत है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $SQ_1=2$
$(B)$ $Q_1Q_2=\frac{3\sqrt{10}}{5}$
$(C)$ $PQ_1=3$
$(D)$ $SQ_2=1$

यदि एक समबाहु त्रिभुज के सभी शीर्ष परवलय $y^2=16x$ पर स्थित हैं और उनमें से एक परवलय के शीर्ष के साथ संपाती है,तो उस त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि $(2,3)$ परवलय का शीर्ष है और $(3,2)$ नाभि है,तो इसका समीकरण क्या होगा?

मान लीजिए $BOAC$ $XY$-समतल में एक आयत है जहाँ $O$ मूलबिंदु है और $A, B$ परवलय $y=x^2$ पर स्थित हैं। तो,$C$ को किस वक्र पर स्थित होना चाहिए?