यदि परवलय y^{2} = 4ax के बिंदु P(p, q) पर स्प | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि परवलय $y^{2} = 4ax$ पर बिंदु $P$ और $Q$ के प्राचल $t_{1}$ और $t_{2}$ हैं,ताकि $P = (at_{1}^{2}, 2at_{1})$ और $Q = (at_{2}^{2}, 2at_{2

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$(a^{2}/p, -4a^{2}/q)$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि परवलय $y^{2} = 4ax$ पर बिंदु $P$ और $Q$ के प्राचल $t_{1}$ और $t_{2}$ हैं,ताकि $P = (at_{1}^{2}, 2at_{1})$ और $Q = (at_{2}^{2}, 2at_{2})$ हो।किसी बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 1/t$ होती है।चूंकि $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:$(1/t_{1}) 	imes (1/t_{2}) = -1 \implies t_{1}t_{2} = -1 \implies t_{2} = -1/t_{1}$.दिया गया है $P(p, q) = (at_{1}^{2}, 2at_{1})$,इसलिए $q = 2at_{1} \implies t_{1} = q/(2a)$.अतः,$t_{2} = -1/(q/2a) = -2a/q$.$Q$ के निर्देशांक $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (a(-2a/q)^{2}, 2a(-2a/q)) = (a(4a^{2}/q^{2}), -4a^{2}/q)$ होंगे।चूंकि $P(p, q)$,$y^{2} = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $q^{2} = 4ap$ होगा। $Q$ के $x$-निर्देशांक में $q^{2} = 4ap$ रखने पर:$x_{Q} = (4a^{3})/(4ap) = a^{2}/p$.इसलिए,$Q$ के निर्देशांक $(a^{2}/p, -4a^{2}/q)$ हैं।

यदि परवलय $y^{2} = 4ax$ के बिंदु $P(p, q)$ पर स्पर्श रेखा दूसरे बिंदु $Q$ पर स्पर्श रेखा के लंबवत है,तो $Q$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

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