अभिलंब परवलय y^2 = 4ax को उस बिंदु पर मिलता ह | vedclass

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Question

(D) माना कि अभिलंब परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ पर खींचा गया है। यदि यह अभिलंब परवलय को पुनः बिंदु $Q(at_2^2, 2at_2)$ पर मिलता है,तो

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$(9a, -6a)$

Vedclass · Answer

(D) माना कि अभिलंब परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ पर खींचा गया है। यदि यह अभिलंब परवलय को पुनः बिंदु $Q(at_2^2, 2at_2)$ पर मिलता है,तो प्राचलों के बीच संबंध $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ है।दिया गया है कि बिंदु $Q$ पर,भुज और कोटि समान हैं,इसलिए $x = y$ है।परवलय के समीकरण $y^2 = 4ax$ में $x = y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = 4ay$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है $y(y - 4a) = 0$,इसलिए $y = 0$ या $y = 4a$ है।विकल्पों की जाँच करने पर,$(9a, -6a)$ के लिए,$x=9a, y=-6a$ है। बिंदु $Q(9a, -6a)$ के लिए,$at_2^2 = 9a \implies t_2^2 = 9 \implies t_2 = -3$ (क्योंकि $2at_2 = -6a$ है)।तब $-3 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \implies t_1^2 - 3t_1 + 2 = 0 \implies (t_1-1)(t_1-2) = 0$ है।अतः,$t_1 = 1$ या $t_1 = 2$,जो अभिलंब के लिए मान्य प्राचल हैं।

अभिलंब परवलय $y^2 = 4ax$ को उस बिंदु पर मिलता है जहाँ बिंदु का भुज (abscissa) उसकी कोटि (ordinate) के बराबर है। वह बिंदु ज्ञात कीजिए।

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