Parabola Questions in Hindi

(D) परवलय $y^2=lx$ का अक्ष $x$-अक्ष है,जिसका समीकरण $y=0$ है।
चूंकि रेखा $y=mx+c$,$x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका ढाल $m=0$ होगा।
अतः,रेखा का समीकरण $y=c$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि रेखा परवलय को $\left(\frac{c^2}{8}, c\right)$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए यह बिंदु परवलय के समीकरण $y^2=lx$ को संतुष्ट करेगा।
समीकरण $y^2=lx$ में $y=c$ और $x=\frac{c^2}{8}$ रखने पर:
$c^2 = l \left(\frac{c^2}{8}\right)$
यह मानते हुए कि $c \neq 0$,दोनों पक्षों को $c^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{l}{8}$
$l = 8$
परवलय $y^2=lx$ के नाभिलंब की लंबाई $l$ है।
इसलिए,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(C) $y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ है ...$(i)$
चूँकि परवलय $(0,4)$ से गुजरता है,$4 = A(0)^2 + B(0) + C$,जिससे $C = 4$ प्राप्त होता है ...(ii)
चूँकि यह $(1,9)$ से गुजरता है,$9 = A(1)^2 + B(1) + 4$,जिससे $A + B = 5$ प्राप्त होता है ...(iii)
चूँकि यह $(4,5)$ से गुजरता है,$5 = A(4)^2 + B(4) + 4$,जिससे $16A + 4B = 1$ या $4A + B = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है ...(iv)
समीकरण (iv) से (iii) घटाने पर: $3A = \frac{-19}{4}$,जिससे $A = \frac{-19}{12}$
$A$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर: $B = 5 + \frac{19}{12} = \frac{79}{12}$
अतः,परवलय का समीकरण $y = \frac{-19}{12} x^2 + \frac{79}{12} x + 4$ है।

(B) दिया गया परवलय $y^2+6y-2x+5=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2+6y+9-9-2x+5=0$
$(y+3)^2-4-2x=0$
$(y+3)^2=2(x+2)$।
$(y-k)^2=4a(x-h)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (-2, -3)$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $I$ सही है।
नियता के लिए,$4a=2 \implies a=\frac{1}{2}$।
नियता का समीकरण $x = h-a$ है।
$x = -2 - \frac{1}{2} = -2.5$,या $2x+5=0$।
चूंकि कथन $II$ में दी गई नियता $y+3=0$ है,इसलिए कथन $II$ गलत है।

(C) दिया गया है कि नाभि $S(3,0)$ है,माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि $S$ की दूरी,$P$ से नियता की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$SP^2 = PM^2$
$(x-3)^2 + (y-0)^2 = (x+3)^2$
$y^2 = (x+3)^2 - (x-3)^2$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करने पर:
$y^2 = (x+3+x-3)(x+3-x+3)$
$y^2 = (2x)(6)$
$y^2 = 12x$

(D) . समीकरण $y^2-2y+1 = -4x-3+1 \implies (y-1)^2 = -4(x+\frac{1}{2})$ है। शीर्ष $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ है,जो $(III)$ है।
$(B)$. समीकरण $x^2+8x+16 = -12y-4+16 \implies (x+4)^2 = -12(y-1)$ है। शीर्ष $(-4, 1)$ है,जो $(V)$ है।
$(C)$. समीकरण $y^2-2y+1 = x-2+1 \implies (y-1)^2 = 1(x-1)$ है। यहाँ $4a=1 \implies a=\frac{1}{4}$ है। नाभि $(h+a, k) = (1+\frac{1}{4}, 1) = \left(\frac{5}{4}, 1\right)$ है,जो $(I)$ है।
$(D)$. समीकरण $x^2-2x+1 = 8y+23+1 \implies (x-1)^2 = 8(y+3)$ है। यहाँ $4a=8 \implies a=2$ है। नाभि $(h, k+a) = (1, -3+2) = (1, -1)$ है,जो $(IV)$ है।
अतः,सही मिलान $A-III, B-V, C-I, D-IV$ है।

(A) माना परवलय का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है ... $(i)$
चूंकि परवलय $(0, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 = a(0)^2 + b(0) + c$,जिससे $c = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(1, -3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $-3 = a(1)^2 + b(1) + 2$,जो $a + b = -5$ देता है ... (ii)
चूंकि यह $(-1, 5)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $5 = a(-1)^2 + b(-1) + 2$,जो $a - b = 3$ देता है ... (iii)
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर,$2a = -2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -1$ है।
$a = -1$ को समीकरण (ii) में रखने पर,$-1 + b = -5$,जिससे $b = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय का समीकरण $y = -x^2 - 4x + 2$ है।
चूंकि $(2, k)$ इस परवलय पर स्थित है,इसलिए $x = 2$ रखने पर:
$k = -(2)^2 - 4(2) + 2 = -4 - 8 + 2 = -10$.

(C) दिया गया परवलय $y^2=4ax$ है। चूंकि $P(9,9)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $81=4 \times a \times 9$,जिससे $a=\frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि नाभिलंब जीवा के अंतिम बिंदु $P(at^2, 2at)$ और $Q(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ होते हैं।
$P(9,9)$ की तुलना $(at^2, 2at)$ से करने पर,$2at=9$ $\Rightarrow 2(\frac{9}{4})t=9$ $\Rightarrow t=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = (\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t}) = (\frac{9/4}{4}, -\frac{2(9/4)}{2}) = (\frac{9}{16}, -\frac{9}{4})$.
इसलिए,$p=\frac{9}{16}$ और $q=-\frac{9}{4}$.
अतः $p-q = \frac{9}{16} - (-\frac{9}{4}) = \frac{9}{16} + \frac{36}{16} = \frac{45}{16}$.

(C) परवलय $x^2=12y$ है,जो $x^2=4ay$ के रूप में है,जहाँ $4a=12$,इसलिए $a=3$ है। नाभि $(0,3)$ है।
चूँकि जीवा नाभि $(0,3)$ और बिंदु $(3,0)$ से होकर गुजरती है,इसका समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = 1$ है,जो $y = 3-x$ में सरल होता है।
$y = 3-x$ को परवलय समीकरण $x^2 = 12y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = 12(3-x)$
$x^2 = 36 - 12x$
$x^2 + 12x - 36 = 0$.
मान लीजिए बिंदुओं $P$ और $Q$ के भुज $x_1$ और $x_2$ हैं। ये द्विघात समीकरण $x^2 + 12x - 36 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के योग के गुणधर्म से,$x_1 + x_2 = -12$ और मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = -36$ है।
भुजों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{-12}{-36} = \frac{1}{3}$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है। इसे $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=4$ प्राप्त होता है।
परवलय पर किसी भी बिंदु को $(at^2, 2at) = (4t^2, 8t)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
बिंदु $P(4,8)$ के लिए,$4t_1^2=4 \implies t_1=1$ (चूंकि $8t_1=8$)।
बिंदु $R(16,16)$ के लिए,$4t_2^2=16 \implies t_2=2$ (चूंकि $8t_2=16$)।
चूंकि $PQ$ और $RT$ नाभिलंब जीवाएँ हैं,इसलिए एक नाभिलंब जीवा के अंत बिंदुओं के प्राचलों का गुणनफल $-1$ होता है।
जीवा $PQ$ के लिए,$t_P \cdot t_Q = -1 \implies 1 \cdot t_Q = -1 \implies t_Q = -1$. अतः,$Q = (4(-1)^2, 8(-1)) = (4, -8)$।
जीवा $RT$ के लिए,$t_R \cdot t_T = -1 \implies 2 \cdot t_T = -1 \implies t_T = -1/2$. अतः,$T = (4(-1/2)^2, 8(-1/2)) = (1, -4)$।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर $QT = \sqrt{(4-1)^2 + (-8 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$।

(B) दिया गया परवलय $y^2=16x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=4$ प्राप्त होता है। अतः,नाभि $(4,0)$ है।
नाभीय जीवा $(2,2)$ और $(4,0)$ से गुजरती है। ढाल $m = \frac{0-2}{4-2} = -1$ है।
नाभीय जीवा का समीकरण $y-0 = -1(x-4)$ अर्थात $x+y=4$ है।
दोहरे कोटि की लंबाई $24$ है। अतः $2|y|=24$,जिससे $y=12$ या $y=-12$ प्राप्त होता है।
$y^2=16x$ में $y=12$ रखने पर,$144=16x$,जिससे $x=9$ प्राप्त होता है।
नाभीय जीवा $x+y=4$ में $x=9$ रखने पर,$9+y=4$,जिससे $y=-5$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(9,-5)$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,इसलिए $a=2$ है। नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
माना परवलय पर बिंदु $(x_1, y_1) = (at_1^2, 2at_1)$ और $(x_2, y_2) = (at_2^2, 2at_2)$ हैं।
चूंकि जीवा एक नाभीय जीवा है,यह नाभि $(2, 0)$ से गुजरती है,जिसका अर्थ है $t_1 t_2 = -1$।
जीवा बिंदु $(1, 2)$ से भी गुजरती है। $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $y(t_1+t_2) = 2x + 2at_1 t_2$ है।
$a=2$ और $t_1 t_2 = -1$ रखने पर,हमें $y(t_1+t_2) = 2x - 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि जीवा $(1, 2)$ से गुजरती है,हमारे पास $2(t_1+t_2) = 2(1) - 4 = -2$ है,इसलिए $t_1+t_2 = -1$ है।
हमें $x_1+x_2 = at_1^2 + at_2^2 = a(t_1^2 + t_2^2) = a((t_1+t_2)^2 - 2t_1 t_2)$ ज्ञात करना है।
$a=2$,$t_1+t_2 = -1$,और $t_1 t_2 = -1$ के मान रखने पर:
$x_1+x_2 = 2((-1)^2 - 2(-1)) = 2(1+2) = 2(3) = 6$।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = \frac{8}{a} x$ है।
बिंदु $(1, 4)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $x = 1$ और $y = 4$ रखने पर:
$4^2 = \frac{8}{a} (1)$ $\Rightarrow 16 = \frac{8}{a}$ $\Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
समीकरण $y^2 = 16x$ प्राप्त होता है,जहाँ $4A = 16 \Rightarrow A = 4$.
नाभिलंब जीवा की लंबाई का सूत्र $A(t + 1/t)^2$ है।
बिंदु $(1, 4)$ के लिए $2At = 4$ $\Rightarrow 8t = 4$ $\Rightarrow t = 1/2$.
लंबाई $L = 4(1/2 + 2)^2 = 4(5/2)^2 = 4(25/4) = 25$.

(D) दिया गया समीकरण $25[(x-2)^2+(y-3)^2]=(3x-4y+7)^2$ है।
$25$ से भाग देने पर,हमें $(x-2)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{3x-4y+7}{5}\right)^2$ प्राप्त होता है।
यह $SP^2 = PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S(2,3)$ नाभि है और $3x-4y+7=0$ नियता है।
यहाँ,नाभि से नियता की दूरी $a = \left|\frac{3(2)-4(3)+7}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right| = \left|\frac{6-12+7}{5}\right| = \frac{1}{5}$ है।
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
अतः,लंबाई $= 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(A) परवलय का समीकरण $(y + 2)^2 = -4(x - 1)$ है।
यहाँ $A = -1$ है। प्राचलिक निर्देशांक $x - 1 = -t^2$ और $y + 2 = -2t$ हैं।
बिंदु $P(-3, 2)$ के लिए $t = -2$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब जीवा के अंतिम बिंदुओं के लिए $t_1 t_2 = -1$ होता है,इसलिए $t_2 = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(\frac{3}{4}, -3)$ हैं।
स्पर्शरेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{y + 2}$ है।
$Q$ पर स्पर्शरेखा की प्रवणता $m_T = 2$ है।
अतः,अभिलंब की प्रवणता $m_N = \frac{-1}{m_T} = \frac{-1}{2}$ होगी।

(A) माना जीवा का रेखा $y=ax$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $M(\alpha, a\alpha)$ है। चूँकि $M$ जीवा का मध्य बिंदु है,जिसका एक सिरा $A(4,4)$ और दूसरा सिरा $Q(x_1, y_1)$ है:
$\alpha = \frac{4+x_1}{2} \Rightarrow x_1 = 2\alpha - 4$
$a\alpha = \frac{4+y_1}{2} \Rightarrow y_1 = 2a\alpha - 4$
चूँकि $Q(x_1, y_1)$ परवलय $y^2=4x$ पर स्थित है:
$(2a\alpha - 4)^2 = 4(2\alpha - 4)$
$4a^2\alpha^2 - 16a\alpha + 16 = 8\alpha - 16$
$4a^2\alpha^2 - (16a+8)\alpha + 32 = 0$
दो भिन्न जीवाओं के लिए,द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए,इसलिए विविक्तकर $D > 0$:
$D = (16a+8)^2 - 4(4a^2)(32) > 0$
$64(2a+1)^2 - 512a^2 > 0$
$64(4a^2 + 4a + 1) - 512a^2 > 0$
$-256a^2 + 256a + 64 > 0$
$4a^2 - 4a - 1 < 0$
$4a^2 - 4a - 1 = 0$ को हल करने पर $a = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतराल $\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)$ है,जो $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(C) माना $P(t^2, 2t)$ परवलय $y^2=4x$ की एक नाभीय जीवा $PQ$ का एक सिरा है। दूसरे सिरे $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^2}, \frac{-2}{t})$ हैं,क्योंकि $tt' = -1$।
दिया गया है कि जीवा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए जीवा की ढाल $\tan \theta$ है।
$\tan \theta = \frac{\frac{-2}{t} - 2t}{\frac{1}{t^2} - t^2} = \frac{2t}{t^2-1}$।
वैकल्पिक रूप से,नाभीय जीवा की ढाल के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan \theta = \frac{2}{t - \frac{1}{t}}$,इसलिए $t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$।
नाभीय जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t + \frac{1}{t})^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a=1$ है।
$PQ = (t + \frac{1}{t})^2 = (t - \frac{1}{t})^2 + 4$।
$t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$ रखने पर:
$PQ = (2 \cot \theta)^2 + 4 = 4 \cot^2 \theta + 4 = 4(1 + \cot^2 \theta) = 4 \operatorname{cosec}^2 \theta$।

(D) परवलय का अर्ध-नाभिलंब उसकी किसी भी नाभिकीय जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होता है।
माना $l$ अर्ध-नाभिलंब की लंबाई है।
दिया गया है कि नाभिकीय जीवा के खंड $b$ और $c$ हैं।
दो संख्याओं $b$ और $c$ का हरात्मक माध्य $H = \frac{2bc}{b+c}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अर्ध-नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2bc}{b+c}$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2+8x-2y+17=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(y^2-2y+1) + 8x + 17 - 1 = 0$
$(y-1)^2 + 8x + 16 = 0$
$(y-1)^2 = -8x - 16$
$(y-1)^2 = -8(x+2)$
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 9x$ है,इसलिए $4a = 9$,जिससे $a = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
माना स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{9}{4m}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(1, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $5 = m(1) + \frac{9}{4m}$।
$4m$ से गुणा करने पर,$20m = 4m^2 + 9$,या $4m^2 - 20m + 9 = 0$।
माना मूल $m_1$ और $m_2$ हैं। तो $m_1 + m_2 = 5$ और $m_1 m_2 = \frac{9}{4}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{25 - 4(\frac{9}{4})} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$।
अतः,$\tan \theta = |\frac{4}{1 + 9/4}| = |\frac{4}{13/4}| = \frac{16}{13}$।
चूंकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ और $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.732$,और $1 < \frac{16}{13} < 1.732$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$।

(B) दिया गया परवलय $(y-2)^2 = 3(x-1)$ है।
इसे $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ के साथ तुलना करने पर,$h=1, k=2$ और $4a=3$,इसलिए $a = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
नाभि के निर्देशांक $(h+a, k) = (1 + \frac{3}{4}, 2) = (\frac{7}{4}, 2)$ हैं।
नाभिलंब के सिरे $(h+a, k \pm 2a) = (\frac{7}{4}, 2 \pm \frac{3}{2})$ हैं।
अतः,सिरे $(\frac{7}{4}, \frac{7}{2})$ और $(\frac{7}{4}, \frac{1}{2})$ हैं।
चूंकि $q > 3$,बिंदु $L$ $(\frac{7}{4}, \frac{7}{2})$ है।
परवलय $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-k)(y_1-k) = 2a(x+x_1-2h)$ है।
मान रखने पर: $(y-2)(\frac{7}{2}-2) = 2(\frac{3}{4})(x+\frac{7}{4}-2(1))$
$(y-2)(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}(x-\frac{1}{4})$
$y-2 = x-\frac{1}{4}$
$x-y+\frac{7}{4} = 0$,जिसे सरल करने पर $4x-4y+7=0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखा: $x-2y+k=0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$.
$y=mx+c$ से तुलना करने पर,$m=\frac{1}{2}$ और $c=\frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया परवलय: $y^2-4x-4y+8=0$.
मानक रूप में: $(y-2)^2 = 4(x-1)$.
$x = 2y-k$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y-2)^2 = 4(2y-k-1) \Rightarrow y^2-12y+(8+4k) = 0$.
स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D=0$ होना चाहिए:
$(-12)^2 - 4(8+4k) = 0 \Rightarrow 144 - 32 - 16k = 0$.
$112 = 16k \Rightarrow k = 7$.

(A) रेखा $y=1+2x$ को $2x-y+1=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना रेखा परवलय को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। $P(0,1)$ से गुजरने वाली और $m=2$ ढाल वाली रेखा का प्राचलिक रूप $\frac{x-0}{\cos \theta} = \frac{y-1}{\sin \theta} = r$ है,जहाँ $\tan \theta = 2$ है। अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ और $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
$x = \frac{r}{\sqrt{5}}$ और $y = 1 + \frac{2r}{\sqrt{5}}$ को परवलय के समीकरण $x^2=4ay$ में रखने पर:
$\left(\frac{r}{\sqrt{5}}\right)^2 = 4a\left(1 + \frac{2r}{\sqrt{5}}\right)$
$\frac{r^2}{5} = 4a + \frac{8ar}{\sqrt{5}}$
$r^2 - 8\sqrt{5}ar - 20a = 0$
माना $r_1$ और $r_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं। अंतःखंड की लंबाई $|r_1 - r_2| = \sqrt{40}$ है।
$(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2$ का उपयोग करने पर:
$40 = (8\sqrt{5}a)^2 - 4(-20a)$
$40 = 320a^2 + 80a$
$32a^2 + 8a - 4 = 0$
$8a^2 + 2a - 1 = 0$
$(4a-1)(2a+1) = 0$
चूंकि $a>0$ है,इसलिए हमें $4a=1$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जिसका शीर्ष $V(0,0)$ है।
परवलय पर एक बिंदु $P(at^2, 2at)$ मान लीजिए।
$V(0,0)$ और $P(at^2, 2at)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $\frac{2at-0}{at^2-0} = \tan \theta$ है।
सरल करने पर,$\frac{2}{t} = \tan \theta$,जिसका अर्थ है $t = 2 \cot \theta$।
रेखाखंड $VP$ की लंबाई $\sqrt{(at^2)^2 + (2at)^2} = a|t|\sqrt{t^2+4}$ है।
$t = 2 \cot \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$VP = 2a \cot \theta \cdot 2 \sqrt{\cot^2 \theta + 1} = 4a \cot \theta \operatorname{cosec} \theta = \frac{4a \cos \theta}{\sin^2 \theta}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) रेखा का समीकरण $y = x + 4K$ है। परवलय $y^2 = 8x$ (जहाँ $a=2$) के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c = a/m$ है।
यहाँ,$c = 4K$,$a = 2$,और $m = 1$ है।
अतः,$4K = 2/1 \implies 4K = 2 \implies K = 1/2$ है।
स्पर्श बिंदु $P$ का मान $(a/m^2, 2a/m) = (2/1^2, 2(2)/1) = (2, 4)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ है।
$x_1 = 2, y_1 = 4, a = 2$ रखने पर: $y - 4 = -\frac{4}{2(2)}(x - 2) \implies y - 4 = -1(x - 2) \implies x + y - 6 = 0$ है।
बिंदु $(K, 2K)$ का मान $(1/2, 1)$ है।
$(1/2, 1)$ से $x + y - 6 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1/2 + 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3/2 - 6|}{\sqrt{2}} = \frac{|-9/2|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 32x$ है,इसलिए $4a = 32$,जिसका अर्थ है $a = 8$।
बिंदु $P(8, 16)$,$(at^2, 2at)$ के रूप में है,अतः $t_1 = 2$।
$t_1$ पर अभिलंब परवलय को $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} = -2 - \frac{2}{2} = -3$ पर मिलता है।
$Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (8(-3)^2, 16(-3)) = (72, -48)$ हैं।
$Q(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर: $y(-48) = 2(8)(x + 72)$ $\Rightarrow -48y = 16(x + 72)$ $\Rightarrow -3y = x + 72$ $\Rightarrow x + 3y + 72 = 0$।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ की $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
यहाँ,$4a = 11$,इसलिए $a = \frac{11}{4}$ है।
स्पर्श रेखा बिंदु $(1, 4)$ से गुजरती है,इसलिए $4 = m(1) + \frac{11}{4m}$ है।
$4m$ से गुणा करने पर,हमें $16m = 4m^2 + 11$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4m^2 - 16m + 11 = 0$ मिलता है।
चूंकि $m_1$ और $m_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,इसलिए $m_1 + m_2 = 4$ और $m_1m_2 = \frac{11}{4}$ है।
हमें $2(m_1^2 + m_2^2) = 2((m_1 + m_2)^2 - 2m_1m_2)$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$2(4^2 - 2 \times \frac{11}{4}) = 2(16 - \frac{11}{2}) = 2(\frac{32 - 11}{2}) = 21$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा $4x - y = 0$ पर स्थित बिंदु $P(h, k)$ के लिए $k = 4h$ है। परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ होने पर बिंदु का बिंदुपथ $(y^2 - 4ax) \tan^2 \alpha = (x + a)^2$ होता है। यहाँ $a = 1$ और $\alpha = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,$3(y^2 - 4x) = (x + 1)^2$ प्राप्त होता है। $P(h, 4h)$ रखने पर $47h^2 - 14h - 1 = 0$ मिलता है। अतः $h$ का योग $\frac{14}{47}$ है।

(D) दिए गए परवलय $S \equiv y^2 - 4ax = 0$ और $S' \equiv y^2 + 4ax = 0$ हैं।
माना $P$ परवलय $S' = 0$ पर एक बिंदु $P = \left(-\frac{t^2}{4a}, t\right)$ है।
$P$ से अक्षों पर लंब के पाद $A = \left(-\frac{t^2}{4a}, 0\right)$ और $B = (0, t)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{-t^2/4a} + \frac{y}{t} = 1$ अर्थात $4ax - ty + t^2 = 0$ है।
परवलय $S \equiv y^2 = 4ax$ के बिंदु $Q(at_1^2, 2at_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y t_1 = x + at_1^2$ है।
तुलना करने पर,हमें $t_1 = \frac{t}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $x_1+a$ होती है।
दिया गया परवलय $y^2=kx$ है,इसलिए $4a=k \Rightarrow a=k/4$।
नाभीय दूरी $x_1+a = 2 + k/4 = 3$ है।
$k/4 = 1 \Rightarrow k=4$।
परवलय $y^2=4x$ है।
चूंकि $P(2, y_1)$,$y^2=4x$ पर स्थित है,इसलिए $y_1^2 = 4(2) = 8 \Rightarrow y_1 = \pm 2\sqrt{2}$।
अतः $P$ बिंदु $(2, 2\sqrt{2})$ या $(2, -2\sqrt{2})$ है।
$y^2=4x$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2(x+x_1)$ है।
$P(2, 2\sqrt{2})$ के लिए: $y(2\sqrt{2}) = 2(x+2)$ $\Rightarrow \sqrt{2}y = x+2$ $\Rightarrow x - \sqrt{2}y + 2 = 0$।
$P(2, -2\sqrt{2})$ के लिए: $y(-2\sqrt{2}) = 2(x+2)$ $\Rightarrow -\sqrt{2}y = x+2$ $\Rightarrow x + \sqrt{2}y + 2 = 0$।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $x \pm \sqrt{2}y + 2 = 0$ है।

(D) दिया गया परवलय $y^2-4y-4x+8=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(y-2)^2 = 4(x-1)$ प्राप्त होता है।
परवलय $(y-k_0)^2 = 4a(x-h_0)$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-k_0) = m(x-h_0) + \frac{a}{m}$ है।
यहाँ $h_0=1, k_0=2, a=1$ है। अतः,$y = mx - m + \frac{1}{m} + 2$।
दी गई स्पर्श रेखा $y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ है।
ढाल की तुलना करने पर,$m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड की तुलना करने पर,$\frac{k}{2} = -\frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{7}{2}$,इसलिए $k=7$।
परवलय पर बिंदु $(1, 7)$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y-2}$ प्राप्त होता है।
$(1, 7)$ पर ढाल $\frac{2}{7-2} = \frac{2}{5}$ है।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\alpha = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र से प्राप्त होता है। \\ बिंदुओं $A(1, 2), B(4, -4), C(2, 2\sqrt{2})$ को रखने पर: \\ $\alpha = \frac{1}{2} |1(-4 - 2\sqrt{2}) + 4(2\sqrt{2} - 2) + 2(2 - (-4))| = 3\sqrt{2}$. \\ परवलय के लिए,बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है। \\ अतः,$\alpha = 2\beta$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. \\ इसलिए,$\alpha \beta = (3\sqrt{2}) \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) = 9$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2=8x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$,अतः $a=2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2=4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x+x_1)$ होता है।
बिंदु $P(2,4)$ के लिए,स्पर्श रेखा $4y = 4(x+2) \Rightarrow y = x+2$ $(i)$ है।
बिंदु $Q(18,-12)$ के लिए,स्पर्श रेखा $-12y = 4(x+18) \Rightarrow -3y = x+18$ $(ii)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(i)$ से $x = y-2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-3y = (y-2) + 18$ $\Rightarrow -3y = y + 16$ $\Rightarrow 4y = -16$ $\Rightarrow y = -4$.
$y = -4$ को $(i)$ में रखने पर,$x = -4-2 = -6$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-6, -4)$ है।
$(-6, -4)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-4) = \frac{1}{2}(x - (-6))$ $\Rightarrow y+4 = \frac{1}{2}(x+6)$ $\Rightarrow 2y+8 = x+6$ $\Rightarrow x-2y = 2$.

(C) दिया गया है कि $\triangle SPM$ समबाहु है।
परवलय $y^2=8(x-3)$ के लिए,$4a=8$,अतः $a=2$ है।
शीर्ष $(3, 0)$ है और नाभि $S(5, 0)$ है।
नियता $x=1$ है।
$P(x, y)$ के लिए,$PS = PM = |x-1|$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए $PS=SM$ होना चाहिए।
$SM^2 = (5-1)^2 + y^2 = 16 + y^2$ है।
$PS^2 = (x-1)^2 = 16 + y^2$ है।
$y^2 = 8(x-3)$ रखने पर,$(x-1)^2 = 16 + 8(x-3) = 8x - 8$ प्राप्त होता है।
$x^2 - 2x + 1 = 8x - 8 \Rightarrow x^2 - 10x + 9 = 0$ है।
$(x-9)(x-1) = 0$। अतः $x=9$ है।
$y^2 = 8(9-3) = 48 \Rightarrow y = \pm 4\sqrt{3}$ है।
अतः $P = (9, 4\sqrt{3})$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=4ax$ है।
माना रेखा का समीकरण $y=mx+c$ है।
यदि यह रेखा परवलय को स्पर्श करती है,तो शर्त $c = \frac{a}{m}$ होती है।
इस मान को रेखा के समीकरण में रखने पर,$y = mx + \frac{a}{m}$ प्राप्त होता है।
$m$ से गुणा करने पर,$my = m^2x + a$ प्राप्त होता है।
$m$ को $\frac{1}{m}$ से बदलने पर,$y = \frac{1}{m}x + am^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $my = x + am^2$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x - my + am^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) कथन $I$ के लिए: परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x,y)$ की नाभि $S(2,3)$ से दूरी और नियता $x+2y+5=0$ से दूरी समान होती है।
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = \frac{(x+2y+5)^2}{1^2+2^2}$
हल करने पर $4x^2+y^2-4xy-30x-50y+40=0$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: समीकरण $x^2-4x+16y+52=0$ को $(x-2)^2 = -16(y+3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $4a=16$,इसलिए $a=4$ है। शीर्ष $(2,-3)$ है।
नियता $y = k+a = -3+4 = 1$ अर्थात $y-1=0$ है। अतः,कथन $II$ असत्य है।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = -2 + 2t^2$ और $y = 2 + 4t$ हैं।
$y = 2 + 4t$ से,हमें $t = \frac{y - 2}{4}$ प्राप्त होता है।
$t$ के इस मान को समीकरण $x = -2 + 2t^2$ में रखने पर:
$x = -2 + 2 \left( \frac{y - 2}{4} \right)^2$
$x = -2 + 2 \left( \frac{(y - 2)^2}{16} \right)$
$x = -2 + \frac{(y - 2)^2}{8}$
$8$ से गुणा करने पर:
$8x = -16 + (y - 2)^2$
$8x = -16 + y^2 - 4y + 4$
$8x = y^2 - 4y - 12$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 - 8x - 4y - 12 = 0$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिए गए परवलय $x^2=108y$ और $y^2=32x$ हैं।
$x^2=4ay$ के लिए,$4a=108 \Rightarrow a=27$. स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx-27m^2$ है $... (i)$.
$y^2=4ax$ के लिए,$4a=32 \Rightarrow a=8$. स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{8}{m}$ है $... (ii)$.
चूंकि $(i)$ और $(ii)$ समान रेखा को दर्शाते हैं,$-27m^2 = \frac{8}{m}$.
$m^3 = -\frac{8}{27} \Rightarrow m = -\frac{2}{3}$.
$m$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$y = -\frac{2}{3}x - 27(-\frac{2}{3})^2$
$y = -\frac{2}{3}x - 12$
$3y = -2x - 36$
$2x + 3y + 36 = 0$.

(B) परवलय $y^2=16x$ के बिंदु $P(4,8)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $8y = 8(x+4)$ है,जो सरल होकर $y = x+4$ $\dots(i)$ हो जाता है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(i)$ परवलय $y^2 = 16x+80$ को $A$ और $B$ पर काटती है,इसलिए $y = x+4$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+4)^2 = 16x + 80$
$x^2 + 8x + 16 = 16x + 80$
$x^2 - 8x - 64 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ और $B$ के $(x_2, y_2)$ हैं। द्विघात समीकरण $x^2 - 8x - 64 = 0$ के मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। मूलों का योग $x_1 + x_2 = 8$ है।
$AB$ के मध्य-बिंदु $M(h, k)$ के निर्देशांक $h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ हैं।
चूंकि मध्य-बिंदु रेखा $y = x+4$ पर स्थित है,इसलिए $k = h+4 = 4+4 = 8$ होगा।
अतः,$AB$ का मध्य-बिंदु $(4,8)$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 3$,अतः $a = \frac{3}{4}$ है।
परवलय पर बिंदु $(at^2, 2at)$ के लिए,$t$ पर अभिलंब $y = -tx + 2at + at^3$ है।
बिंदु $P\left(\frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)$ के लिए,$at^2 = \frac{3}{4} \implies t_1 = 1$ है।
बिंदु $Q(3,3)$ के लिए,$at^2 = 3 \implies t_2 = 2$ है।
यदि $t_1$ और $t_2$ पर अभिलंब $R(t_3)$ पर मिलते हैं,तो $t_3 = -(t_1 + t_2) = -(1 + 2) = -3$ है।
$R$ के निर्देशांक $(at_3^2, 2at_3) = (\frac{3}{4}(-3)^2, 2(\frac{3}{4})(-3)) = (\frac{27}{4}, -\frac{9}{2})$ हैं।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 7$,इसलिए $a = \frac{7}{4}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
चूँकि अभिलंब बिंदु $(2, 0)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 2$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 = -t(2) + 2(\frac{7}{4})t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = -2t + \frac{7}{2}t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = \frac{3}{2}t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = t(\frac{3}{2} + \frac{7}{4}t^2)$
इससे $t = 0$ या $t^2 = -\frac{6}{7}$ प्राप्त होता है।
वास्तविक $t$ के लिए $t^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए केवल $t = 0$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।
अतः,केवल $1$ अभिलंब खींचा जा सकता है।

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है जहाँ $a = 1$ है। परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(t^2, 2t)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2t + t^3$ है।
यदि यह अभिलंब बिंदु $P(h, k)$ से गुजरता है,तो $k = -th + 2t + t^3$,जो $t^3 + (2-h)t - k = 0$ में सरल हो जाता है।
माना इस त्रिघात समीकरण के मूल $t_1, t_2, t_3$ हैं। ये तीन अभिलंबों के पाद के प्राचल हैं।
पाद के निर्देशांक $(t_1^2, 2t_1), (t_2^2, 2t_2), (t_3^2, 2t_3)$ हैं।
इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $G(x_g, y_g) = (\frac{t_1^2 + t_2^2 + t_3^2}{3}, \frac{2(t_1 + t_2 + t_3)}{3})$ है।
समीकरण $t^3 + (2-h)t - k = 0$ से,$\sum t_i = 0$ और $\sum t_i t_j = 2-h$ है।
चूंकि $\sum t_i = 0$,केंद्रक का $y$-निर्देशांक $y_g = 0$ है,जो $G(2,0)$ से मेल खाता है।
अब,$x_g = \frac{(\sum t_i)^2 - 2\sum t_i t_j}{3} = \frac{0^2 - 2(2-h)}{3} = \frac{2(h-2)}{3}$ है।
$x_g = 2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2(h-2)}{3} = 2$,जिसका अर्थ है $h-2 = 3$,अतः $h = 5$।