ધારો કે P અને Q એ પરવલય y^2=2x પરના ભિન્ન બિં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 2x$ છે,તેથી $4a = 2$,જે $a = \frac{1}{2}$ આપે છે.ધારો કે $P = (\frac{t_1^2}{2}, t_1)$ અને $Q = (\frac{t_2^2}{2}, t_2)$ એ પર

Vedclass · Accepted Answer

$(A, D)$

Vedclass · Answer

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 2x$ છે,તેથી $4a = 2$,જે $a = \frac{1}{2}$ આપે છે.ધારો કે $P = (\frac{t_1^2}{2}, t_1)$ અને $Q = (\frac{t_2^2}{2}, t_2)$ એ પરવલય પરના બિંદુઓ છે.વ્યાસ $PQ$ વાળું વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સદિશ $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ લંબ છે,તેથી $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$.$(\frac{t_1^2}{2})(\frac{t_2^2}{2}) + t_1 t_2 = 0 \Rightarrow t_1 t_2 (\frac{t_1 t_2}{4} + 1) = 0$.$P$ અને $Q$ ભિન્ન હોવાથી,$t_1 t_2 = -4$.ધારો કે $t_1 = t$,તો $t_2 = -\frac{4}{t}$.યામ $P = (\frac{t^2}{2}, t)$ અને $Q = (\frac{8}{t^2}, -\frac{4}{t})$ છે.$\Delta OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_P y_Q - x_Q y_P| = \frac{1}{2} |(\frac{t^2}{2})(-\frac{4}{t}) - (\frac{8}{t^2})(t)| = \frac{1}{2} |-2t - \frac{8}{t}| = |t + \frac{4}{t}|$.ક્ષેત્રફળ $3\sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $|t + \frac{4}{t}| = 3\sqrt{2}$.$P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t^2 - 3\sqrt{2}t + 4 = 0$.$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 16}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}$.$t_1 = 2\sqrt{2}$ અને $t_2 = \sqrt{2}$.$t = 2\sqrt{2}$ માટે,$P = (\frac{(2\sqrt{2})^2}{2}, 2\sqrt{2}) = (4, 2\sqrt{2})$.$t = \sqrt{2}$ માટે,$P = (\frac{(\sqrt{2})^2}{2}, \sqrt{2}) = (1, \sqrt{2})$.આમ,$P$ ના યામ $(4, 2\sqrt{2})$ અને $(1, \sqrt{2})$ છે,જે વિકલ્પ $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

Similar Questions

પરવલય $y^{2}=16x$ ની નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો:

પરવલય $x^2 + 4x + 2y - 7 = 0$ નું શિરોબિંદુ શું થાય?

એક પરવલયનું સમીકરણ જે સીધી રેખા $x + y = 0$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4y = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તે છે:

$k$ ના કયા મૂલ્ય માટે,રેખા $2y - x + k = 0$ એ પરવલય $x^2 + 4y = 0$ ને સ્પર્શે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module