$(3, 5)$ માંથી પસાર થતા ઉપવલય $3x^2 + 5y^2 = 32$ પર દોરી શકાતા વાસ્તવિક સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

વક્ર $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના બિંદુ $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

એક રેખા જેનો $y$-અંતઃખંડ $5$ છે અને જે ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 144$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે,તેનો શક્ય સૌથી નાનો ધન ઢાળ કેટલો છે?

જો વક્ર $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો સ્પર્શક બિંદુ કયું છે?

એક ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ શોધો,જો તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2$ એકમ હોય અને તેના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{15}{2}$ એકમ હોય.

$9x^{2} + 16y^{2} = 144$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.