ઉપવલય $\left( \frac{x - 3}{y} \right)^2 + \left( 1 - \frac{4}{y} \right)^2 = \frac{1}{9}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા એ વિધેય $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$,$t \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $a^2 + b^2$ ની કિંમત શોધો:

જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(0, 0)$,એક નાભિ $(0, 3)$ અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $5$ હોય,તો તેનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ ના નાભિઓ છે. $F_1$ માંથી નીકળતું કિરણ ઉપવલયના અરીસા પર બિંદુ $P$ આગળ અથડાય છે અને પરાવર્તિત થાય છે. તો આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ શું હશે?

ઉપવલય $x^2+4y^2=64$ માં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની બાજુઓ છે:

ધારો કે એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો $E$ ના નાભિ $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ પર કેન્દ્રિત અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ,$E$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે,તો $PQ^{2}$ ની કિંમત શોધો: