ઉપવલય $3x^2 + 5y^2 = 1$ ના કોઈપણ સ્પર્શક પર નાભિઓમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

એલિપ્સના સંગ્રહ $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ અને લંબચોરસના સંગ્રહ $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરો:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ માં અંતર્ગત સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબગોળ $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ.
તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $E_{18}$ અને $E_{19}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન નથી
$(2)$ $E_9$ માં કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $\frac{\sqrt{5}}{32}$ છે
$(3)$ $E_9$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{6}$ છે
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,દરેક ધન પૂર્ણાંક $N$ માટે

ઉપવલયનું એક નાભિ $(2,-3)$ છે અને તેની અનુરૂપ નિયામિકા $2x+y=5$ છે. જો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{5}}{3}$ હોય,તો બીજી નાભિના યામ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $S(p, q)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું એક બિંદુ છે જેથી $\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{4}>1$ થાય. $S$ માંથી ઉપવલય પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે,જેમાંથી એક ઉપવલયને ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુ પર મળે છે અને બીજો ઉપવલયને ચોથા ચરણમાં બિંદુ $T$ પર મળે છે. ધારો કે $R$ એ ધન $x$-યામ ધરાવતું ઉપવલયનું શિરોબિંદુ છે અને $O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે. જો ત્રિકોણ $\triangle ORT$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

ઉપવલય $9x^2+4y^2-18x-8y-23=0$ ના નાભિલંબના સમીકરણો કયા છે?

ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો જેની નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ હોય અને ઉત્કેન્દ્રિતા $1/2$ હોય.