જો રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ ને સ્પર્શતી હોય,તો $c = $

ધારો કે $P$ એ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ઉપવલય પરનું એક ચલિત બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $\triangle PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ હોય,તો $A$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો:

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરનું એક બિંદુ છે. ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષને સમાંતર રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બિંદુ $Q$ માં મળે છે,જેથી $P$ અને $Q$ એ $x$-અક્ષની એક જ બાજુએ હોય. તો,જેમ $P$ ઉપવલય પર ગતિ કરે તેમ $PQ$ પરના બિંદુ $R$ ના બિંદુપથની ઉત્કેન્દ્રિયતા,જ્યાં $PR:RQ=4:3$ છે,તે શોધો:

ધારો કે $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b)$ એક ઉપવલય છે જેની નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ વિધેય $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ ની મહત્તમ કિંમત હોય,તો $a^{2} + b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત એક ઉપવલય (ellipse) વર્તુળાકાર ચાપને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે અને સીમાવર્તી વ્યાસને પણ સ્પર્શે છે. તેનો મુખ્ય અક્ષ સીમાવર્તી વ્યાસને સમાંતર છે. જ્યારે ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય,ત્યારે તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી હશે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના કોઈપણ સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?