ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય કોણ (eccentric angles) નીચેનામાંથી કયા છે?

જો $P(\alpha, \beta)$ એ પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $9x^2 + 4y^2 = 144$ પરનું બિંદુ હોય અને $P$ આગળ વક્રના સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $S$ હોય,તો

શંકુ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો ઉપવલયના કેન્દ્ર $O(0,0)$ થી નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો $8 \sqrt{6}$ એકમ હોય અને જે લઘુત્તમ લંબચોરસમાં આ ઉપવલય અંતર્ગત છે તેનું ક્ષેત્રફળ $80$ ચોરસ એકમ હોય,તો આવા ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો $E$ ના નાભિ $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ પર કેન્દ્રિત અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ,$E$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે,તો $PQ^{2}$ ની કિંમત શોધો:

જો $4x + 2y + n = 0$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ નો અભિલંબ હોય,તો $n = $