ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ ના બિંદુ $(1/4, 1/4)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ શું છે?

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 + 8x + 36y + 4 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

એક ઉપવલય એવી રીતે દોરવામાં આવે છે કે જેથી વર્તૂળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ નો વ્યાસ એ ગૌણ અક્ષની અર્ધલંબાઈ છે અને વર્તૂળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ નો વ્યાસ એ પ્રધાન અક્ષની અર્ધલંબાઈ છે. જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોય અને તેની અક્ષો યામાક્ષો હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{14} + \frac{y^2}{5} = 1$ પરના બિંદુ $P(\theta)$ આગળનો અભિલંબ તેને ફરીથી બિંદુ $Q(2\theta)$ પર છેદે,તો $\cos \theta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ પરના બિંદુ $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $\frac{7}{4}$ છે. તો આવા બે ઉપવલયોની ઉત્કેન્દ્રતાનો તફાવત (absolute difference) કેટલો થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથ કેવો હોય?