ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{2}$ અને નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા એ વિધેય $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$,$t \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $a^2 + b^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $S$ અને $S^{\prime}$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ ના નાભિઓ છે અને $P(\alpha, \beta)$ એ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય પરનું એક બિંદુ છે. જો $(SP)^2+(S^{\prime}P)^2-SP \cdot S^{\prime}P=37$ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2$ ની કિંમત શોધો:

બે ઉપવલયોના સમીકરણો $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ અને $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{\sqrt{2}}{3}$ હોય,તો બીજા ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો ગુણાકાર $\qquad$ છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર શોધો,જો $P$ અને $Q$ ના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણાઓનો તફાવત $\frac{3\pi}{2}$ હોય.

પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લંબવૃત્ત (ellipse) ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ ($y$-અક્ષ પર) $\frac{4}{\sqrt{3}}$ છે. જો આ લંબવૃત્ત રેખા $x+6y=8$ ને સ્પર્શે છે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.