Ellipse Questions in Gujarati

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 36$. તેથી $a=4$ અને $b=6$.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(4 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ છે,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{6} = 1$ છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x_0 = \frac{4}{\cos \theta}$ અને $y_0 = \frac{6}{\sin \theta}$ છે.
સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_0 y_0| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\cos \theta} \cdot \frac{6}{\sin \theta} = \frac{12}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{\sin(2\theta)}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $\sin(2\theta)$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ. $\sin(2\theta)$ ની મહત્તમ કિંમત $2\theta = \pi/2$ એટલે કે $\theta = \pi/4$ પર $1$ છે.
આમ,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $S = \frac{24}{1} = 24$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 8y^2 = k$ છે,જેને $\frac{x^2}{k/3} + \frac{y^2}{k/8} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2 = k/3$ અને $b^2 = k/8$ છે,તેથી $\frac{kx}{3x_1} - \frac{ky}{8y_1} = \frac{k}{3} - \frac{k}{8} = \frac{5k}{24}$.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{3x_1} - \frac{y}{8y_1} = \frac{5}{24}$,અથવા $\frac{8x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 5$ મળે.
આને $4x - 3y - 5 = 0$ સાથે સરખાવતા,$\frac{8}{x_1} = 4 \Rightarrow x_1 = 2$ અને $\frac{3}{y_1} = 3 \Rightarrow y_1 = 1$ મળે.
બિંદુ $(2, 1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$3(2)^2 + 8(1)^2 = k \Rightarrow k = 12 + 8 = 20$.
ઉપવલય પરના બિંદુ $(-2, m)$ માટે,$3(-2)^2 + 8m^2 = 20$ $\Rightarrow 12 + 8m^2 = 20$ $\Rightarrow 8m^2 = 8$ $\Rightarrow m = 1$ ($m > 0$ હોવાથી).
$3x^2 + 8y^2 = 20$ ને $(-2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x(-2) + 8y(1) = 20$ છે.
$-6x + 8y = 20 \Rightarrow 3x - 4y + 10 = 0$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે. અહીં $b^2 = 25$ અને $a^2 = 9$,તેથી $b > a$ છે.
નાભિઓ $(0, \pm c)$ પર છે,જ્યાં $c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$,તેથી $c = 4$. આમ,નાભિઓ $S_1(0, 4)$ અને $S_2(0, -4)$ છે.
ધારો કે ઉપવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + C$ છે,જ્યાં $C^2 = a^2m^2 + b^2 = 9m^2 + 25$ છે.
$(0, 4)$ થી $mx - y + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $p_1 = \frac{|-4 + C|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
$(0, -4)$ થી $mx - y + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $p_2 = \frac{|4 + C|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
લંબનો ગુણાકાર $p_1 p_2 = \frac{|C^2 - 16|}{m^2 + 1} = \frac{9m^2 + 25 - 16}{m^2 + 1} = \frac{9m^2 + 9}{m^2 + 1} = \frac{9(m^2 + 1)}{m^2 + 1} = 9$ થાય.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{6} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 6$ છે.
ઉપવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ (director circle) છે,જેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 6$ છે.
તેથી,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4 + 6 = 10$ થાય.
$(\alpha, \beta)$ એ બે લંબ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ હોવાથી,તે નિયામક વર્તુળ પર આવેલું હોય.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = 10$.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ છે.
અહીં,$a^2=4, b^2=3$,તેથી $a=2, b=\sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
$L$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$L$ ના યામ $(ae, \frac{b^2}{a}) = (2 \times \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = (1, \frac{3}{2})$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$x_1 = 1, y_1 = \frac{3}{2}, a^2 = 4, b^2 = 3$ મૂકતા:
$\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3 \Rightarrow 4x - 2y = 1$.
અભિલંબ મુખ્ય અક્ષ ($x$-અક્ષ) ને $P$ માં મળે છે,$y=0$ લેતા: $4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$. તેથી,$P = (\frac{1}{4}, 0)$.
અભિલંબ ગૌણ અક્ષ ($y$-અક્ષ) ને $Q$ માં મળે છે,$x=0$ લેતા: $-2y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$. તેથી,$Q = (0, -\frac{1}{2})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{1}{4} - 0)^2 + (0 - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + ay^2 - 8x - 2ay + 8 - a = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $2(x-2)^2 + a(y-1)^2 = 2a$.
$2a$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-2)^2}{a} + \frac{(y-1)^2}{2} = 1$.
મુખ્ય અક્ષ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$2 > a$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$a = 2(1 - e^2) = 2(1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-2)^2}{4/3} + \frac{(y-1)^2}{2} = 1$ મળે.
$m=1$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 2) \pm \sqrt{A^2m^2 + B^2}$ છે.
અહીં $A^2 = 4/3$ અને $B^2 = 2$ લેતા,$y - 1 = x - 2 \pm \sqrt{\frac{4}{3} + 2} = x - 2 \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$.
તેથી,$x - y - 1 \pm \sqrt{\frac{10}{3}} = 0$.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{49}=1$ છે.
અહીં,$a^2=64 \Rightarrow a=8$ અને $b^2=49 \Rightarrow b=7$.
કોઈપણ બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડ $x_0 = \frac{a}{\cos \theta}$ અને $y_0 = \frac{b}{\sin \theta}$ છે.
અંતઃખંડનો સરવાળો $L = a \sec \theta + b \csc \theta$ છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને $0$ સાથે સરખાવીએ: $\frac{dL}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta - b \csc \theta \cot \theta = 0$.
આનાથી $\tan^3 \theta = \frac{b}{a}$ મળે છે,તેથી $\tan \theta = (b/a)^{1/3}$.
અંતઃખંડનો ન્યૂનતમ સરવાળો $a+b = 8+7 = 15$ છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 32$. અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
$m = -\frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(-\frac{4}{3})^2 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(\frac{16}{9}) + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{32 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$.
આથી $4x + 3y = \pm 24$ મળે છે.
સ્પર્શક $4x + 3y = 24$ માટે:
$x$-અંતઃખંડ ($y=0$ લેતા) $Q(6,0)$ છે.
$y$-અંતઃખંડ ($x=0$ લેતા) $P(0,8)$ છે.
આમ,બિંદુઓ $P(0,8)$ અને $Q(6,0)$ છે.

(C) રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
અહીં,$a^2=4$,$b^2=1$,અને $m=4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $c^2 = 4(4)^2 + 1 = 4(16) + 1 = 64 + 1 = 65$ મળે છે.
આમ,$c = \pm \sqrt{65}$.
'$c$' માટે $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $x^2+16y^2=16$ છે,જેને $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=16$ અને $b^2=1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(\sqrt{3})^2+1}$.
$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(3)+1} = \sqrt{3}x \pm \sqrt{49} = \sqrt{3}x \pm 7$.
તેથી,સમીકરણો $\sqrt{3}x-y+7=0$ અથવા $\sqrt{3}x-y-7=0$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\sqrt{3}x-y+7=0$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $x^2+4y^2=4$ છે. $4$ વડે ભાગતા,આપણને ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$.
અહીં,$a^2=4$ અને $b^2=1$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
$y=2x+c$ ને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=2$ મળે છે.
કિંમતો $a^2=4$,$b^2=1$,અને $m=2$ ને શરતમાં મૂકતા:
$c^2 = (4)(2)^2 + 1$
$c^2 = 4(4) + 1$
$c^2 = 16 + 1 = 17$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^2=9$ અને $b^2=5$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $L(2, \frac{5}{3})$,$M(-2, \frac{5}{3})$,$M'(-2, -\frac{5}{3})$ અને $L'(2, -\frac{5}{3})$ છે.
આ બિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોના સમીકરણો $2x+3y=9$,$2x-3y=9$,$-2x+3y=9$ અને $-2x-3y=9$ છે.
આ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 3)$,$B(-\frac{9}{2}, 0)$,$C(0, -3)$ અને $D(\frac{9}{2}, 0)$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણ}_1 \times \text{વિકર્ણ}_2 = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ છે.
બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ છે.
$X$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ $Q$ માટે $y=0$ લેતા,$x = \frac{5}{\cos \theta}$ મળે.
તેથી,$Q = (5 \sec \theta, 0)$.
$R$ એ $y=x$ ની સાપેક્ષે $Q$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,યામો અદલાબદલી કરતા $R = (0, 5 \sec \theta)$ મળે.
$QR$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_Q)(x - x_R) + (y - y_Q)(y - y_R) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 5 \sec \theta)(x - 0) + (y - 0)(y - 5 \sec \theta) = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - (5 \sec \theta)x - (5 \sec \theta)y = 0$ થાય છે.
$\theta$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,બિંદુ $(0,0)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,વર્તુળ હંમેશા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે. $36$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે,તેથી $a = 3$ અને $b = 2$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
બીજા ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $P(-\sqrt{5}, \frac{4}{3})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ મુજબ:
$\frac{x(-\sqrt{5})}{9} + \frac{y(4/3)}{4} = 1$.
$\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}x}{9} + \frac{y}{3} = 1$.
$-9$ વડે ગુણતા: $\sqrt{5}x - 3y + 9 = 0$ મળે.

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$ છે.
ધારો કે કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી આ સ્પર્શક પરના લંબનો પાદ $(h, k)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે,તેથી લંબ રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ થાય.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી લંબ રેખાનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{m} x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $m = -\frac{x}{y}$.
કારણ કે $(h, k)$ સ્પર્શક પર છે,તેથી $k = mh + \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$.
$m = -\frac{h}{k}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $k = -\frac{h^2}{k} + \sqrt{a^2 \frac{h^2}{k^2} + b^2}$.
$k + \frac{h^2}{k} = \sqrt{\frac{a^2 h^2 + b^2 k^2}{k^2}}$.
$\frac{k^2 + h^2}{k} = \frac{\sqrt{a^2 h^2 + b^2 k^2}}{k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(h^2 + k^2)^2 = a^2 h^2 + b^2 k^2$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x^2 + y^2)^2 = a^2 x^2 + b^2 y^2$ છે.

(C) રેખા $y=4x+m$ એ ઉપવલય $x^2+4y^2=4$ ને સ્પર્શક છે. ઉપવલયના સમીકરણમાં $y=4x+m$ મૂકતા:
$x^2+4(4x+m)^2=4$
$x^2+4(16x^2+8mx+m^2)=4$
$x^2+64x^2+32mx+4m^2-4=0$
$65x^2+32mx+4(m^2-1)=0$
રેખા વક્રને સ્પર્શતી હોવાથી,વિવેચક $D=0$ થાય:
$D = (32m)^2 - 4(65)(4(m^2-1)) = 0$
$1024m^2 - 16(65)(m^2-1) = 0$
$16$ વડે ભાગતા:
$64m^2 - 65(m^2-1) = 0$
$64m^2 - 65m^2 + 65 = 0$
$-m^2 + 65 = 0$
$m^2 = 65$
$m = \pm \sqrt{65}$

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2-2x+8y+5=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-1)^2 + 2(y+2)^2 = 4$ મળે છે.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{2} = 1$ મળે છે.
બિંદુ $P(\sqrt{2}+1, -1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y' = -\frac{x-1}{2(y+2)}$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ $y' = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \sqrt{2}$ થાય.
અભિલંબનું સમીકરણ $y+1 = \sqrt{2}(x - (\sqrt{2}+1))$ એટલે કે $\sqrt{2}x-y=3+\sqrt{2}$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે. બિંદુ $P$ ના યામ $(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. અભિલંબનું સમીકરણ $2x - y = \frac{3}{\sqrt{2}}$ મળે છે. આ રેખા અને ઉપવલયનું છેદબિંદુ શોધતા $\alpha = \frac{-23}{17\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36} = 1$ પર બિંદુ $P(2 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ છે. બિંદુ $P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 36$ છે. બિંદુ $(2 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ મૂકતા,આપણને મળે: $\frac{4x}{2 \cos \theta} - \frac{36y}{6 \sin \theta} = 4 - 36$. સાદું રૂપ આપતા,$2x \sec \theta - 6y \operatorname{cosec} \theta + 32 = 0$ મળે છે. તેને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$\frac{a}{2 \sec \theta} = \frac{b}{-6 \operatorname{cosec} \theta} = \frac{c}{32}$ મળે. આથી $\cos \theta = \frac{c}{16a}$ અને $\sin \theta = -\frac{3c}{16b}$ મળે છે. $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{c^2}{256a^2} + \frac{9c^2}{256b^2} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{a^2} + \frac{9}{b^2} = \frac{256}{c^2}$ થાય છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ છે. ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે $P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a\sqrt{2}} + \frac{y}{b\sqrt{2}} = 1$ છે. $y=0$ લેતા $X$-અંત:ખંડ $M = (a\sqrt{2}, 0)$ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{b}{a}$ છે. અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \frac{a}{b}$ છે. $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ છે. $y=0$ લેતા $X$-અંત:ખંડ $N = \left(\frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}, 0\right)$ મળે છે.
ત્રિકોણનો પાયો $MN = |a\sqrt{2} - \frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}| = \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}}$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ એટલે કે $\frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}} \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 32$.
નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = (ae, \frac{b^2}{a})$ મૂકતા,આપણને $\frac{a^2x}{ae} - \frac{b^2y}{b^2/a} = a^2 - b^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ થાય.
આ અભિલંબ ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $(0, b)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$\frac{a(0)}{e} - a(b) = a^2 - b^2$,એટલે કે $-ab = a^2 - b^2$,અથવા $b^2 - ab - a^2 = 0$.
$a^2$ વડે ભાગતા,$(\frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{a}) - 1 = 0$ મળે.
$b^2 = a^2(1-e^2)$ હોવાથી,$(\frac{b}{a})^2 = 1-e^2$.
આમ,$(1-e^2) - \sqrt{1-e^2} - 1 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\sqrt{1-e^2} = -e^2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1-e^2 = e^4$,તેથી $1 = e^4 + e^2$.
આપણે $\frac{e^4}{1-e^2}$ શોધવાનું છે. $1-e^2 = e^4$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{e^4}{e^4} = 1$ થાય.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4 x^2+9 y^2-24 x+36 y=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$4(x-3)^2+9(y+2)^2 = 72$
$\frac{(x-3)^2}{18}+\frac{(y+2)^2}{8}=1$.
અહીં $a^2=18$ અને $b^2=8$ છે.
પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના બિંદુપથને નિયામક વર્તુળ કહેવાય છે,જેનું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2 = a^2+b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(x-3)^2+(y+2)^2 = 18+8$
$x^2-6 x+9+y^2+4 y+4 = 26$
$x^2+y^2-6 x+4 y-13 = 0$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 2y^2 - 5 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ છે.
સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં $S = 3x^2 + 2y^2 - 5$,$S_1 = 6$,અને $T = 3x + 4y - 5$.
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(3x^2 + 2y^2 - 5)(6) = (3x + 4y - 5)^2$.
સાદુરૂપ આપતા $9x^2 - 4y^2 - 24xy + 30x + 40y - 55 = 0$ મળે છે.
અહીં $a = 9$,$b = -4$,અને $h = -12$ છે.
ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{144 + 36}}{5} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12\sqrt{5}}{5}\right)$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2+9y^2-16x+54y+61=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$4(x-2)^2 + 9(y+3)^2 = 36$ મળે.
જેને $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
ઉપવલયના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ છે.
નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2 + b^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્ર છે.
કેન્દ્ર $(2, -3)$ હોવાથી,$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9 + 4 = 13$.
સાદુરૂપ આપતા $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2-4=0$ છે, જેને $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં, $a^2=4$ અને $b^2=1$, તેથી $a=2$ અને $b=1$.
$A_1$ એ ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ છે, જે $A_1 = \pi ab = \pi(2)(1) = 2\pi$ દ્વારા મળે છે.
નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2+b^2 = 4+1=5$ છે.
તેથી, $A_2$ એ નિયામક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે, $A_2 = \pi(r^2) = 5\pi$.
સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2 = 4$ છે.
તેથી, $A_3$ એ સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે, $A_3 = \pi(r^2) = 4\pi$.
અંતે, $A_2+A_3-A_1 = 5\pi+4\pi-2\pi = 7\pi$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $x^2 + y^2 = 20$,તેથી $a^2 + b^2 = 20$ $(i)$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = a$ $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $a^2 + a - 20 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a + 5)(a - 4) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે.
તેથી $b^2 = 4$.
ઉપવલય માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c$ છે,જ્યાં $c^2 = a^2 - b^2$.
$c^2 = 16 - 4 = 12$,તેથી $c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
આમ,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ થાય.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = a \implies 2b^2 = a^2 \dots (i)$.
ડાયરેક્ટર વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $a^2 + b^2 = 3$.
$a^2 = 2b^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2b^2 + b^2 = 3 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1$.
તેથી $a^2 = 2$,એટલે કે $a = \sqrt{2}$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\frac{1}{e} = \sqrt{2}$.
તેથી,લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{e}$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે.
$36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
ઉપવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેના નિયામક વર્તુળ (director circle) તરીકે ઓળખાય છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 9 + 4$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી વક્ર $x^2 + y^2 = 13$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $y=2x+\sqrt{76}$ અને $y=-\frac{1}{2}x+4$ છે.
ઢાળ-અંત:ખંડ સ્વરૂપ $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઢાળ $m_1=2$ અને $m_2=-\frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,તેથી બંને રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
ઉપવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ (director circle) છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2+b^2$ છે.
અહીં,$a^2=16$ અને $b^2=12$ છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=16+12=28$ થાય.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi ab$ છે.
ધારો કે નાભિ $S(ae, 0)$ અને ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$SP$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ એ $h = \frac{a \cos \theta + ae}{2}$ અને $k = \frac{b \sin \theta}{2}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{2h - ae}{a}$ અને $\sin \theta = \frac{2k}{b}$ મળે.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{(2h - ae)^2}{a^2} + \frac{4k^2}{b^2} = 1$ મળે.
આને $\frac{(h - ae/2)^2}{(a/2)^2} + \frac{k^2}{(b/2)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક ઉપવલય છે જેની અર્ધ-ધરીઓ $a' = a/2$ અને $b' = b/2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi a' b' = \frac{\pi ab}{4}$ છે.
તેથી,$A_1 : A_2 = \pi ab : \frac{\pi ab}{4} = 4 : 1$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
અહીં,$a^2=25$ અને $b^2=16$,તેથી $a=5$ અને $b=4$. ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C$ એ $(0,0)$ છે.
કેન્દ્ર $C(0,0)$ થી બિંદુ $P(x, y)$ નું અંતર $CP = \sqrt{x^2+y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી ઉપવલયનું મહત્તમ અંતર મુખ્ય અક્ષના શિરોબિંદુઓ પર મળે છે,જે $(\pm 5, 0)$ છે. તેથી,$CP$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $a = 5$ છે.
કેન્દ્રથી ઉપવલયનું ન્યૂનતમ અંતર ગૌણ અક્ષના શિરોબિંદુઓ પર મળે છે,જે $(0, \pm 4)$ છે. તેથી,$CP$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $b = 4$ છે.
$CP$ ના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યોનો સરવાળો $a+b = 5+4 = 9$ થાય છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 2a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $ae = 2\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = 8$.
કારણ કે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 8$,જે $a^2 - b^2 = 8$ માં પરિણમે છે.
$b^2 = 2a$ મૂકતા,આપણને $a^2 - 2a - 8 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(a - 4)(a + 2) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$.
તેથી $b^2 = 2(4) = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 2y^2 = 16$ થાય છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \dots (i)$
બિંદુ $A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીશું.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
બિંદુ $A$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = -\frac{b^2}{a^2} \left( \frac{a/\sqrt{2}}{b/\sqrt{2}} \right) = -\frac{b}{a}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{a}{b}$.
$A$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \dots (ii)$.
$A$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \dots (iii)$.
$X$-અક્ષ પર ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,$(ii)$ અને $(iii)$ માં $y=0$ મૂકો:
સ્પર્શક માટે,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies \frac{a}{\sqrt{2}} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \sqrt{2}a$. બિંદુ $B = (\sqrt{2}a, 0)$.
અભિલંબ માટે,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies -\frac{b^2}{\sqrt{2}a} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}$. બિંદુ $C = (\frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}, 0)$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ બિંદુ $A$ નો $y$-યામ છે,જે $h = \frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.
પાયો $BC = \sqrt{2}a - \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{2a^2 - a^2 + b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a} \right) \times \left( \frac{b}{\sqrt{2}} \right) = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(A) આપેલ વક્ર $x=3 \cos \theta$ અને $y=2 \sin \theta$ છે.
આ એક ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ દર્શાવે છે.
જ્યારે સ્પર્શકનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોય ત્યારે સ્પર્શક $X$-અક્ષને લંબ હોય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\frac{dx}{d\theta} = 0$ અને $\frac{dy}{d\theta} \neq 0$ હોય.
વિકલન કરતા: $\frac{dx}{d\theta} = -3 \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = 0$ લેતા,$-3 \sin \theta = 0$ મળે,તેથી $\sin \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$.
$\theta = 0$ માટે,$x = 3 \cos(0) = 3$ અને $y = 2 \sin(0) = 0$.
$\theta = \pi$ માટે,$x = 3 \cos(\pi) = -3$ અને $y = 2 \sin(\pi) = 0$.
આમ,બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(-3, 0)$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(3, 0)$ એ સાચું બિંદુ છે.

(D) ધારો કે નાભિ $S = (2, -3)$ છે અને નિયામિકા $L: 2x + y - 5 = 0$ છે. ધારો કે બીજી નાભિ $S' = (h, k)$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C$ એ નાભિમાંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખા પર આવેલું છે.
નિયામિકાનો ઢાળ $m = -2$ છે,તેથી અક્ષનો ઢાળ $m' = \frac{1}{2}$ થશે.
અક્ષનું સમીકરણ $x - 2y - 8 = 0$ મળે છે.
અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ $Z = (3.6, -2.2)$ મળે છે.
ઉપવલય માટે $CS = ae$ અને $CZ = \frac{a}{e}$ હોવાથી $CS = e^2 CZ$ થાય.
અહીં $e^2 = \frac{5}{9}$ હોવાથી,ગણતરી કરતા બીજી નાભિ $S'$ ના યામ $(-4, -6)$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{12-\alpha} + \frac{y^2}{\alpha-10} = 1$ છે.
આ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે બંને છેદ ધન હોવા જોઈએ.
ધારો કે $a^2 = 12-\alpha$ અને $b^2 = \alpha-10$.
ઉપવલય માટે,આપણે $12-\alpha > 0$ અને $\alpha-10 > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $10 < \alpha < 12$.
કારણ કે તમામ $\alpha \in (10, 12)$ માટે,$12-\alpha$ અને $\alpha-10$ બંને ધન છે,તેથી આ સમીકરણ $(10, 12)$ અંતરાલની તમામ કિંમતો માટે ઉપવલય દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિ $S(1, -2)$ થી અંતર એ નિયામિકા $x+y-2=0$ થી અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
$(x-1)^2 + (y+2)^2 = e^2 \frac{(x+y-2)^2}{1^2+1^2}$
$2(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4) = e^2(x^2 + y^2 + 4 + 2xy - 4x - 4y)$
$(2-e^2)x^2 - 2e^2xy + (2-e^2)y^2 + (4e^2-4)x + (8+4e^2)y + (10-4e^2) = 0$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $17x^2 - 2xy + 17y^2 - 32x + 76y + 86 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{2-e^2}{17} = \frac{-2e^2}{-2} = \frac{4e^2-4}{-32}$
$\frac{2-e^2}{17} = e^2$ લેતા:
$2 - e^2 = 17e^2$ $\Rightarrow 18e^2 = 2$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow e = \frac{1}{3}$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$ માટે,$a^2 = 169$ અને $b^2 = 144$,તેથી $a = 13$ અને $b = 12$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$.
નાભિઓ $S = (5, 0)$ અને $S^{\prime} = (-5, 0)$ છે.
બિંદુ $B = (0, 12)$ છે.
ત્રિકોણ $SBS^{\prime}$ ની બાજુઓ $10, 13, 13$ છે.
અંતઃકેન્દ્રનું સૂત્ર વાપરતા,$x = \frac{13(5) + 13(-5) + 10(0)}{36} = 0$ અને $y = \frac{13(0) + 13(0) + 10(12)}{36} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}$.
આમ,અંતઃકેન્દ્ર $(0, \frac{10}{3})$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $a^2 = 9$ $(a = 3)$ અને $b < 3$ છે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - e^2)$ થાય.
નાભિ $(ae, 0)$ થી નિયામિકા $x = \frac{a}{e}$ નું અંતર $\frac{a}{e} - ae = \frac{b^2}{ae}$ છે.
આપેલ અંતર $\frac{4}{\sqrt{5}}$ હોવાથી,$\frac{b^2}{3e} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$b^2 = 9(1 - e^2)$ મૂકતા,$\frac{3(1 - e^2)}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$e^2 = t$ લેતા,$45t^2 - 106t + 45 = 0$ મળે.
ઉકેલતા $t = e^2 = \frac{5}{9}$ મળે,તેથી $b^2 = 4$ અને $b = 2$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} = -\frac{4(3/\sqrt{2})}{9(2/\sqrt{2})} = -\frac{2}{3}$ થાય.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ એ $(\pm ae, 0)$ પર છે,જ્યાં $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$.
તેથી,નાભિઓ $S(4, 0)$ અને $S^{\prime}(-4, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $SS^{\prime} = 2ae = 8$ છે.
$\Delta SPS^{\prime}$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times SS^{\prime} \times |y_P|$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $|y_P|$ મહત્તમ હોય,જે $b = 3$ છે.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P_i = (a \cos \theta_i, b \sin \theta_i)$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,તેનું પરિકેન્દ્ર $(r, s)$ એ તેનું મધ્યકેન્દ્ર પણ છે.
તેથી,$r = \frac{a}{3} \sum \cos \theta_i$ અને $s = \frac{b}{3} \sum \sin \theta_i$.
આથી $\sum \cos \theta_i = \frac{3r}{a}$ અને $\sum \sin \theta_i = \frac{3s}{b}$ મળે.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$(\sum \cos \theta_i)^2 + (\sum \sin \theta_i)^2 = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3 + 2(\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)) = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$.
$6$ વડે ભાગતા,સરેરાશ $\frac{1}{3} \sum \cos(\theta_i-\theta_j) = \frac{1}{2} \left[ \frac{3r^2}{a^2} + \frac{3s^2}{b^2} - 1 \right]$ મળે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 + 4y^2 - 18x - 16y - 11 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 36$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1$
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$. મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ છે.
નિયામિકાઓના સમીકરણો: $y - k = \pm \frac{b}{e}$
$y - 2 = \pm \frac{3}{\sqrt{5}/3} = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$
$y = 2 \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 25$,તેથી $a = 5$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8$ આપેલ છે,તેથી $2(5)e = 8$,જે $e = \frac{4}{5}$ આપે છે.
ઋણ $X$-અક્ષ પરના નાભિ $S^{\prime}$ ના યામ $(-ae, 0) = (-4, 0)$ છે.
ઉપવલય પરનું બિંદુ $P$ એ $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (5 \cos \theta, b \sin \theta)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
નાભિ અંતર $S^{\prime}P$ એ $a + ex$ થાય છે.
તેથી,$S^{\prime}P = 5 + 5(\frac{4}{5}) \cos \theta = 5 + 4 \cos \theta$.
$S^{\prime}P = 7$ આપેલ હોવાથી,$5 + 4 \cos \theta = 7$.
$4 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) ઉપવલયના કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = \sqrt{5}$ છે,તેથી $a^2e^2 = 5$.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 5$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 - b^2 = 5$,અથવા $b^2 = a^2 - 5$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{8}{3}$ છે.
$b^2 = a^2 - 5$ મૂકતા,આપણને $\frac{2(a^2 - 5)}{a} = \frac{8}{3}$ મળે છે.
$6(a^2 - 5) = 8a \Rightarrow 3a^2 - 4a - 15 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $3a^2 - 9a + 5a - 15 = 0 \Rightarrow 3a(a - 3) + 5(a - 3) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 3$.
તેથી $b^2 = 3^2 - 5 = 4$,એટલે કે $b = 2$.
અંતે,$\sqrt{a^2 + 6ab + b^2} = \sqrt{3^2 + 6(3)(2) + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.

(A) લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે $b^2 = 2a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $ae = 2\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2e^2 = 8$ મળે છે.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,આપણી પાસે $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 8$ છે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - b^2 = 8$ થાય છે.
$b^2 = 2a$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a^2 - 2a - 8 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(a - 4)(a + 2) = 0$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે છે.
તેથી $b^2 = 2(4) = 8$.
અંતે,$a^2 + b^2 = 4^2 + 8 = 16 + 8 = 24$.

(C) નાભિ $S=(-1, 1)$ અને નિયામિકા $2x-3y+1=0$ છે,ઉત્કેન્દ્રતા $e=\frac{1}{2}$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(a, b)$ એ અક્ષ પર આવેલું હોય છે,જે નાભિમાંથી પસાર થાય છે અને નિયામિકાને લંબ હોય છે.
અક્ષનું સમીકરણ $3x+2y+1=0$ મળે છે.
આથી,$3a+2b+1=0 \Rightarrow 3a+2b=-1$.

(A) ધારો કે નાભિ $S(-1, -1)$ છે અને નિયામિકા $L: x + y + 1 = 0$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|-1 - 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
ઉપવલય માટે,નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $\frac{a}{e} - ae = d$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{1/\sqrt{2}} - a(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a\sqrt{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $2a - a = 1$,તેથી $a = 1$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(1) = 2$ થાય.

(A) ધારો કે નાભિઓ $S_1 = (3,3)$ અને $S_2 = (-4,4)$ છે,અને ઉપવલય પરનું બિંદુ $P = (0,0)$ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુથી બે નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો અચળ હોય છે અને તે મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
$PS_1 + PS_2 = 2a$
$\sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} + \sqrt{(-4-0)^2 + (4-0)^2} = 2a$
$3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 2a$
$7\sqrt{2} = 2a \Rightarrow a = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = S_1S_2$ છે.
$S_1S_2 = \sqrt{(-4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$2ae = 5\sqrt{2}$
$2 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot e = 5\sqrt{2}$
$7\sqrt{2} \cdot e = 5\sqrt{2}$
$e = \frac{5}{7}$.

(C) ઉપવલય $E$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$. $\triangle OBS$ માં,$\angle OSB = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આનાથી $3b^2 = a^2e^2$ મળે છે.
કારણ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,આપણી પાસે $a^2e^2 = a^2 - b^2$ છે.
આને મૂકતા,$3b^2 = a^2 - b^2$,જે $a^2 = 4b^2$ આપે છે.
બિંદુ $(2\sqrt{3}, 1)$ ઉપવલય પર છે,તેથી $\frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$.
$a^2 = 4b^2$ મૂકતા,આપણને $\frac{12}{4b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ મળે છે,જે $\frac{3}{b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ માં સરળ બને છે.
તેથી,$\frac{4}{b^2} = 1$,એટલે કે $b^2 = 4$ અને $a^2 = 16$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
લંબાઈના વર્ગોનો સરવાળો $(2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(16) + 4(4) = 64 + 16 = 80$ થાય.