Ellipse Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિઓ $S_1(ae, 0)$ અને $S_2(-ae, 0)$ છે. મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $A'(-a, 0)$ છે. ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $B(0, b)$ અને $B'(0, -b)$ છે.
નાભિ $S_1$ થી મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુ $A$ સુધીનું અંતર $a - ae = 4 - \sqrt{7}$ છે.
નાભિ $S_1$ થી ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ સુધીનું અંતર $\sqrt{(ae)^2 + b^2} = 4$ છે. $b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$\sqrt{(ae)^2 + a^2 - a^2e^2} = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
$a = 4$ ને $a(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ માં મૂકતા,$4(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ મળે,તેથી $1 - e = 1 - \frac{\sqrt{7}}{4}$,જે $e = \frac{\sqrt{7}}{4}$ આપે છે.
પછી $b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{7}{16}) = 16(\frac{9}{16}) = 9$,તેથી $b = 3$.
અંતર $S_1S_2 = 2ae = 2(4)(\frac{\sqrt{7}}{4}) = 2\sqrt{7}$.
$\triangle BS_1S_2$ માં,$BS_1 = BS_2 = 4$ અને $S_1S_2 = 2\sqrt{7}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{BS_1^2 + BS_2^2 - S_1S_2^2}{2(BS_1)(BS_2)} = \frac{4^2 + 4^2 - (2\sqrt{7})^2}{2(4)(4)} = \frac{16 + 16 - 28}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ ... $(i)$ થાય છે.
તે $(3,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ ... $(ii)$ થાય છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$\frac{8}{a^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
આમ,$a^2 = \frac{32}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $3a^2 = 32$.
$a^2$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$\frac{9}{32/3} + \frac{1}{b^2} = 1$,તેથી $\frac{27}{32} + \frac{1}{b^2} = 1$ મળે છે.
આથી $\frac{1}{b^2} = 1 - \frac{27}{32} = \frac{5}{32}$,તેથી $b^2 = \frac{32}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $5b^2 = 32$.
તેથી,$3a^2 + 5b^2 = 32 + 32 = 64$.

(B) નાભિઓ $F_1(-3, 0)$ અને $F_2(9, 0)$ આપેલ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $h = \frac{-3+9}{2} = 3$ અને $k = 0$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 12$,તેથી $ae = 6$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$a(\frac{1}{3}) = 6$,એટલે કે $a = 18$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1-e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 18^2(1 - \frac{1}{9}) = 288$,તેથી $b = 12\sqrt{2}$.
પ્રાચલ સમીકરણો $x = h + a \cos \theta$ અને $y = k + b \sin \theta$ મુજબ,$x = 3 + 18 \cos \theta$ અને $y = 12\sqrt{2} \sin \theta$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે જ્યાં $a > b$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2b^2}{a} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = \frac{3}{4}$ મૂકતા,$b^2 = a^2(1 - \frac{3}{4}) = \frac{a^2}{4}$ મળે,એટલે કે $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$ અથવા $b^2 = \frac{a^2}{4}$.
$b^2 = \frac{a^2}{4}$ ને નાભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2(a^2/4)}{a} = 1$.
આથી $\frac{a}{2} = 1$,તેથી $a = 2$.
પછી $b^2 = \frac{2^2}{4} = 1$,તેથી $b = 1$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(2) = 4$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(1) = 2$ છે.
પ્રધાન અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો સરવાળો $4 + 2 = 6$ થાય.

(D) આપેલ ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ છે.
બિંદુઓ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ એ $S^{\prime}$ પર આવેલા છે.
$Q$ ને સરળ બનાવતા,$Q \equiv (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ મળે.
$P$ એ $S^{\prime}$ પર હોવાથી:
$\frac{a^2 \cos^2 \theta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \sin^2 \theta}{\beta^2} = 1$ $(i)$
$Q$ એ $S^{\prime}$ પર હોવાથી:
$\frac{a^2 \sin^2 \theta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \cos^2 \theta}{\beta^2} = 1$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{a^2}{\alpha^2}(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \frac{b^2}{\beta^2}(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2$
$\frac{a^2}{\alpha^2} + \frac{b^2}{\beta^2} = 2$
$\frac{a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2}{\alpha^2 \beta^2} = 2$
તેથી,$\frac{1}{2}(a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2) = \alpha^2 \beta^2$.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
રેખા $x+y-10=0$ માં ઉપવલયનું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,આપણે કેન્દ્ર $(0,0)$ નું પ્રતિબિંબ શોધીએ.
ધારો કે પ્રતિબિંબ $(h,k)$ છે. $(0,0)$ અને $(h,k)$ ને જોડતી રેખા $x+y-10=0$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $1$ છે. એટલે કે,$\frac{k-0}{h-0} = 1 \implies k=h$.
મધ્યબિંદુ $(\frac{h}{2}, \frac{k}{2})$ એ રેખા $x+y-10=0$ પર છે,તેથી $\frac{h}{2}+\frac{k}{2}=10 \implies h+k=20$.
$k=h$ મૂકતા,$2h=20 \implies h=10, k=10$.
કેન્દ્રનું પ્રતિબિંબ $(10,10)$ છે.
ઉપવલયનો આકાર અને કદ બદલાતા નથી,તેથી નવું સમીકરણ $\frac{(x-10)^2}{25}+\frac{(y-10)^2}{16}=1$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{(x-10)^2}{16}+\frac{(y-10)^2}{25}=1$ સાથે સરખાવતા,છેદ અદલાબદલી થયેલ છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ એ વક્રના પ્રતિબિંબની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે,જે સાચું છે.
તેથી,$(A)$ ખોટું છે પણ $(R)$ સાચું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + by^2 = 15$ છે,જેને $\frac{x^2}{15/a} + \frac{y^2}{15/b} = 1$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $a'^2 = \frac{15}{a}$ અને $b'^2 = \frac{15}{b}$.
ઉપવલય માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2a'e = 2 \Rightarrow a'e = 1$ છે.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a'}{e} = 5 \Rightarrow \frac{a'}{e} = \frac{5}{2}$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(a'e) \times (a'/e) = 1 \times \frac{5}{2} \Rightarrow a'^2 = \frac{5}{2}$.
$a'^2 = \frac{15}{a}$ હોવાથી,$\frac{15}{a} = \frac{5}{2} \Rightarrow a = 6$ મળે.
$a'e = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$e^2 = \frac{1}{a'^2} = \frac{2}{5}$ મળે.
ઉપવલય માટે,$b'^2 = a'^2(1 - e^2) = \frac{5}{2}(1 - \frac{2}{5}) = \frac{5}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{2}$ છે.
$b'^2 = \frac{15}{b}$ હોવાથી,$\frac{15}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow b = 10$ મળે.
તેથી,$a + b = 6 + 10 = 16$.

(A) વિધાન $I$ માટે: સમીકરણ $4x^2+y^2-8x-4y+4=0$ ને $\frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $b > a$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
નિયામિકા $y = 2 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ મળે,એટલે કે $3y = 6 \pm 4\sqrt{3}$. તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: સમીકરણ $x^2+4y^2-4x-8y+4=0$ ને $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં નાભિલંબ $x = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે. તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 3a$.
નાભિ $(ae, 0)$ અને નજીકના શિરોબિંદુ $(a, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $a - ae = a(1 - e) = \frac{5}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b^2 = 3a$ મૂકતા,$3a = a^2(1 - e^2)$,તેથી $3 = a(1 - e^2) = a(1 - e)(1 + e)$.
$a(1 - e) = \frac{5}{3}$ હોવાથી,$3 = \frac{5}{3}(1 + e)$.
આથી $1 + e = \frac{9}{5}$,એટલે કે $e = \frac{4}{5}$.
હવે,$e = \frac{4}{5}$ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે તે તપાસીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $25(\frac{4}{5})^2 - 40(\frac{4}{5}) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0$.
આમ,$e$ એ $25e^2 - 40e + 16 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $25x^2+16y^2-150x-64y-111=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા:
$25(x-3)^2 + 16(y-2)^2 = 400$
$400$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1$
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 25$,તેથી $a = 4$ અને $b = 5$.
નાભિલંબની લંબાઈ $m = \frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $n = 2b = 2 \times 5 = 10$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(m, n) = \left(\frac{32}{5}, 10\right)$ છે.

(D) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S(0, 0)$ સુધીનું અંતર એ નિયામિકા $x = 4$ સુધીના અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
$SP^2 = e^2 \times (\text{નિયામિકાથી અંતર})^2$
$x^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2 (x - 4)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{4} (x^2 - 8x + 16)$
$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$
$3x^2 + 8x + 4y^2 = 16$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે $3$ વડે ગુણતા:
$9x^2 + 24x + 12y^2 = 48$
$(3x + 4)^2 - 16 + 12y^2 = 48$
$(3x + 4)^2 + 12y^2 = 64$

(A) આપેલ સમીકરણ $4(x-2y+1)^2 + 9(2x+y+2)^2 = 25$ છે.
$25$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-2y+1)^2}{25/4} + \frac{(2x+y+2)^2}{25/9} = 1$.
ધારો કે $X = \frac{x-2y+1}{\sqrt{5}}$ અને $Y = \frac{2x+y+2}{\sqrt{5}}$.
સમીકરણ $\frac{X^2}{5/4} + \frac{Y^2}{5/9} = 1$ બને છે.
અહીં $a^2 = 5/4$ અને $b^2 = 5/9$,તેથી $a = \sqrt{5}/2$ અને $b = \sqrt{5}/3$.
પ્રધાન અક્ષ $X=0$ એટલે કે $x-2y+1=0$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - 4/9} = \sqrt{5}/3$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = \sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્ર $(-4/5, -2/5)$ છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,અંતર્ગત લંબચોરસના શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm a \cos \theta, \pm b \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2a \cos \theta)(2b \sin \theta) = 2ab \sin 2\theta$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2\theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ લંબાઈ $L = 2a \cos \theta = 2a \cos(\frac{\pi}{4}) = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$,તેથી $a = 8$.
આપેલ પહોળાઈ $B = 2b \sin \theta = 2b \sin(\frac{\pi}{4}) = b\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$,તેથી $b = 4$.
આમ,$\frac{b}{a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $b > a$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
આપેલ છે કે નાભિલંબની લંબાઈ એ ગૌણ અક્ષની લંબાઈના $\frac{2}{3}$ ગણી છે:
$\frac{2a^2}{b} = \frac{2}{3}(2a)$
$\frac{a^2}{b} = \frac{2a}{3}$
$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{4}{9}$
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(A) આપેલ છે,ઉપવલયનું સમીકરણ $16 x^2+25 y^2=400$ $\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=5$ અને $b=4$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ ઉપવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
નાભિ અંતર $P F_1 = 5 - 3 \cos \theta$ અને $P F_2 = 5 + 3 \cos \theta$ છે.
હવે,ગુણાકાર $P F_1 \cdot P F_2 = (5 - 3 \cos \theta)(5 + 3 \cos \theta) = 25 - 9 \cos^2 \theta$.
$0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$ હોવાથી,
$25 - 9(1) \leq 25 - 9 \cos^2 \theta \leq 25 - 9(0)$
$16 \leq P F_1 \cdot P F_2 \leq 25$.
આમ,કિંમત $[16, 25]$ અંતરાલમાં છે.

(D) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2+4y^2=36$ છે.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ (કારણ કે $9 > 4$) સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મળે છે,તેથી $a = 3$ અને $b = 2$ થાય.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,તેના નાભિ અંતરોનો સરવાળો $PF_1 + PF_2$ એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
અહીં,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે કારણ કે $a > b$.
તેથી,નાભિ અંતરોનો સરવાળો $2a = 2 \times 3 = 6$ થાય છે.

(C) નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,તેથી $b^2 = 2a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $ae = 2\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = 8$.
સંબંધ $a^2e^2 = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2 - b^2 = 8$.
$b^2 = 2a$ મૂકતા,$a^2 - 2a - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(a - 4)(a + 2) = 0$ ઉકેલતા,$a = 4$ મળે છે (કારણ કે $a > 0$).
તેથી $b^2 = 2(4) = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એટલે કે $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ થાય.
$16$ વડે ગુણતા,$x^2 + 2y^2 = 16$ મળે છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(3 \sqrt{2}, \sqrt{10})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{18}{a^2} + \frac{10}{b^2} = 1$ $(i)$.
નાભિ $(\pm 4, 0)$ છે,તેથી $ae = 4$ એટલે કે $a^2 e^2 = 16$.
સંબંધ $b^2 = a^2 - a^2 e^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = a^2 - 16$.
સમીકરણ $(i)$ માં $b^2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{18}{a^2} + \frac{10}{a^2 - 16} = 1$.
સાદુરૂપ આપતા $a^4 - 44a^2 + 288 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા $(a^2 - 36)(a^2 - 8) = 0$.
$b^2 > 0$ હોવાથી $a^2 = 36$.
તેથી,$e^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$,એટલે કે $e = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ ઉપવલયની નાભિ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,તે શિરોલંબ ઉપવલય છે.
ધારો કે જરૂરી સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 > b^2$.
નાભિ $(0, \pm c) = (0, \pm 1)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 1$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = \sqrt{5}$ છે,તેથી $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ અને $a^2 = \frac{5}{4}$.
સંબંધ $c^2 = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = \frac{5}{4} - b^2$.
આમ,$b^2 = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{5/4} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4x^2 + \frac{4y^2}{5} = 1$ અથવા $20x^2 + 4y^2 = 5$ મળે છે.

(B) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $(x, y)$ થી નાભિનું અંતર એ બિંદુથી નિયામિકાના અંતરના $e$ ગણું હોય છે: $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} = \frac{1}{2} \frac{|3x+4y-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-1)^2+(y-2)^2 = \frac{1}{4} \frac{(3x+4y-5)^2}{25}$.
$100(x^2-2x+1+y^2-4y+4) = (3x+4y-5)^2$.
$100(x^2+y^2-2x-4y+5) = 9x^2+16y^2+25+24xy-30x-40y$.
$100x^2+100y^2-200x-400y+500 = 9x^2+16y^2+24xy-30x-40y+25$.
પદોને ગોઠવતા: $91x^2+84y^2-24xy-170x-360y+475=0$.

(D) ધારો કે જરૂરી ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad (a>b)$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,કેન્દ્રથી દરેક નાભિનું અંતર $ae$ છે,તેથી અંતરનો સરવાળો $2ae = 8\sqrt{6} \Rightarrow ae = 4\sqrt{6}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = 96$ મળે.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$a^2 - b^2 = 96 \quad (i)$ મળે.
ઉપવલય જે લઘુત્તમ લંબચોરસમાં અંતર્ગત છે તેની બાજુઓ $2a$ અને $2b$ છે. તેથી $4ab = 80$ $\Rightarrow ab = 20$ $\Rightarrow a^2b^2 = 400 \quad (ii)$ મળે.
નિત્યસમ $(a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + 4a^2b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a^2+b^2)^2 = (96)^2 + 4(400) = 10816$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$a^2+b^2 = 104 \quad (iii)$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2a^2 = 200 \Rightarrow a^2 = 100$ મળે.
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$2b^2 = 8 \Rightarrow b^2 = 4$ મળે.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$ છે.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિઓના યામ $A(-ae, 0)$ અને $B(ae, 0)$ છે અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષનું અંતિમ બિંદુ $T(0, b)$ છે.
$AT$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b}{ae}$ અને $BT$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{b}{ae}$ છે.
$\angle ATB = 90^{\circ}$ હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{b}{ae}\right) \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2 e^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = a^2 e^2$.
ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ છે.
$b^2 = a^2 e^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2 e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = 1 - e^2
$ $\Rightarrow 2e^2 = 1
$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}
$ $\Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ ના પરિમાણ $2a$ અને $2b$ છે. ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ છે.
વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. લંબચોરસની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{b}{a}$.
વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan(2\theta) = 4\sqrt{3}$ આપેલ છે.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4\sqrt{3} = \frac{2(b/a)}{1-(b/a)^2}$
$2\sqrt{3} = \frac{b/a}{1-(b/a)^2}$
ધારો કે $k = b/a$. તો $2\sqrt{3}k^2 + k - 2\sqrt{3} = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - k^2}$.
$e = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે,ઉત્કેન્દ્રિતતા $e = \frac{1}{2}$,કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e} = 4$ છે.
$e = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{a}{1/2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
હવે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે છે.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 + 4y^2 = 12$ મળે છે.

(C) ઉપવલય $S$ એ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ છે. તેના શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 3)$ છે. ધારો કે $A = (0, 3)$.
ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ માટે,મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે,$a^2=9, b^2=4$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{5}, 0)$ છે.
ધારો કે $F = (\sqrt{5}, 0)$. બિંદુ $P$ એ $\overline{OF}$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$P = \left(\frac{2(\sqrt{5})+1(0)}{2+1}, 0\right) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$.
$A(0, 3)$ અને $P\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{0-3}{\frac{2\sqrt{5}}{3}-0}(x-0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -\frac{9}{2\sqrt{5}}x + 3$ થાય છે.
$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x$ ને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{(3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ મળે છે.
$\frac{x^2}{4} + \frac{9(1 - \frac{3}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ $\Rightarrow \frac{x^2}{4} + 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}x + \frac{9}{20}x^2 = 1$.
$\frac{5x^2 + 9x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow \frac{14x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow x = 0$ અથવા $x = \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{20}{14} = \frac{30}{7\sqrt{5}}$.
$x = \frac{30}{7\sqrt{5}}$ માટે,$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}(\frac{30}{7\sqrt{5}}) = 3 - \frac{270}{70} = 3 - \frac{27}{7} = -\frac{6}{7}$.
જીવાની લંબાઈ $\sqrt{(\frac{30}{7\sqrt{5}} - 0)^2 + (-\frac{6}{7} - 3)^2} = \sqrt{\frac{900}{49 \times 5} + (-\frac{27}{7})^2} = \sqrt{\frac{180}{49} + \frac{729}{49}} = \sqrt{\frac{909}{49}} = \frac{3\sqrt{101}}{7}$.
તેથી,$k=7$.

(A) આપેલ છે કે ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 > b^2$.
તે $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ $(i)$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ છે,તેથી $e^2 = \frac{2}{5}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = a^2(1 - \frac{2}{5}) = a^2(\frac{3}{5})$,એટલે કે $b^2 = \frac{3a^2}{5}$ (ii).
(ii) ને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{9}{a^2} + \frac{5}{3a^2} = 1$.
$3a^2$ વડે ગુણતા: $27 + 5 = 3a^2$,તેથી $3a^2 = 32$,જે $a^2 = \frac{32}{3}$ આપે છે.
ત્યારબાદ $b^2 = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{32/3} + \frac{y^2}{32/5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 + 5y^2 = 32$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$
અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 4$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$.
નાભિ $(h, k \pm be) = (1, -1 \pm \sqrt{3})$ મળે છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = k \pm \frac{b}{e} = -1 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,નાભિ $(1, -1-\sqrt{3})$ માટે નિયામિકા $\sqrt{3}y + \sqrt{3} + 4 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $25x^2 + 100x + 4y^2 - 4y + 100 = 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $25(x + 2)^2 + 4(y - 1/2)^2 = 1$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x + 2)^2}{(1/5)^2} + \frac{(y - 1/2)^2}{(1/2)^2} = 1$
અહીં $a^2 = 1/25$ અને $b^2 = 1/4$. $b > a$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ $(x = -2)$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.
નાભિઓ $(h, k \pm be)$ છે,જ્યાં $(h, k) = (-2, 1/2)$.
નાભિઓ $= (-2, 1/2 \pm \sqrt{21}/10) = (-2, \frac{5 \pm \sqrt{21}}{10})$.

(A) નાભિઓના યામ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$\triangle SBS^{\prime}$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$SB = S^{\prime}B$ અને $SB^2 + S^{\prime}B^2 = SS^{\prime 2}$ થાય.
$SB = \sqrt{(ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
$SS^{\prime} = 2ae$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $SB^2 + S^{\prime}B^2 = SS^{\prime 2}$.
$(a^2e^2 + b^2) + (a^2e^2 + b^2) = (2ae)^2$.
$2(a^2e^2 + b^2) = 4a^2e^2$.
$b^2 = a^2e^2$.
$b^2 = a^2(1-e^2)$ હોવાથી,$a^2(1-e^2) = a^2e^2$.
$1-e^2 = e^2$.
$2e^2 = 1$.
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
અહીં,$a^2=25 \implies a=5$ અને $b^2=16 \implies b=4$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતરનો સરવાળો $PS+PS^{\prime} = 2a$ થાય.
તેથી,$PS+PS^{\prime} = 2 \times 5 = 10$.
આપેલ છે કે $SP=8$,તેથી $8+PS^{\prime} = 10 \implies PS^{\prime} = 2$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $SS^{\prime} = 2ae = 2 \times 5 \times \frac{3}{5} = 6$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$4+S^{\prime}P = 4+2 = 6$.
તેથી,$SS^{\prime} = 4+S^{\prime}P$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{16}=1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$h=3, k=2, a^2=25, b^2=16$ મળે છે.
તેથી,$a=5$ અને $b=4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$(i)$ મુખ્ય અક્ષનું સમીકરણ $y = k$ છે,તેથી $y = 2$. આ $(q)$ સાથે સુસંગત છે.
$(ii)$ નિયામિકાઓના સમીકરણો $x = h \pm \frac{a}{e}$ છે.
$x = 3 \pm \frac{5}{3/5} = 3 \pm \frac{25}{3}$.
$x = 3 + \frac{25}{3} = \frac{34}{3} \Rightarrow 3x = 34$.
$x = 3 - \frac{25}{3} = -\frac{16}{3} \Rightarrow 3x = -16$.
તેથી,$3x = 34$ એ $(p)$ સાથે સુસંગત છે.
$(iii)$ નાભિલંબના સમીકરણો $x = h \pm ae$ છે.
$x = 3 \pm (5 \times \frac{3}{5}) = 3 \pm 3$.
$x = 3 + 3 = 6$ અથવા $x = 3 - 3 = 0$.
તેથી,$x = 6$ એ $(s)$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,સાચી જોડ $(i) \rightarrow (q)$,$(ii) \rightarrow (p)$,$(iii) \rightarrow (s)$ છે.

(P-6, Q-1, R-3) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે. અહીં,$a^2=25 \Rightarrow a=5$ અને $b^2=16 \Rightarrow b=4$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$(P)$ નાભિ $(-ae, 0) = (-3, 0)$ ને અનુરૂપ નિયામિકા $x = -\frac{a}{e} = -\frac{5}{3/5} = -\frac{25}{3}$ છે,જે $3x + 25 = 0$ આપે છે. આ $(6)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(Q)$ શિરોબિંદુ $(0, 4)$ આગળ સ્પર્શક $y = 4$ છે. આ $(1)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(R)$ નાભિ $(ae, 0) = (3, 0)$ માંથી પસાર થતું નાભિલંબ $x = ae = 5 \times \frac{3}{5} = 3$ છે. આ $(3)$ સાથે બંધ બેસે છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે વર્ગની અંદરના રેખીય પદોને શૂન્ય તરીકે લઈએ છીએ:
$x+y-3=0 \quad (i)$
$x-y+1=0 \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x+y-3) + (x-y+1) = 0 + 0$
$2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x=1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1+y-3=0 \Rightarrow y=2$
આમ,ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(1,2)$ છે.

(B) નાભિઓનો $y$-યામ $0$ છે,તેથી મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે. \\
આપેલ છે કે $ae = 4$. \\
ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. \\
$b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - (ae)^2 = a^2 - 16$ હોવાથી,બિંદુ $(4\sqrt{2}, 2\sqrt{6})$ મૂકતા: \\
$\frac{32}{a^2} + \frac{24}{a^2 - 16} = 1$ \\
$32(a^2 - 16) + 24a^2 = a^2(a^2 - 16)$ \\
$a^4 - 72a^2 + 512 = 0$ \\
$(a^2 - 64)(a^2 - 8) = 0$ \\
$a > ae$ હોવાથી $a^2 > 16$,તેથી $a^2 = 64$ અને $a = 8$. \\
$ae = 4$ હોવાથી $8e = 4$,એટલે કે $e = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ રેખા $2x + 5y = 12$ છે અને ઉપવલય $4x^2 + 5y^2 = 20$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $x = \frac{12 - 5y}{2}$ મૂકતા:
$4\left(\frac{12 - 5y}{2}\right)^2 + 5y^2 = 20$
$(12 - 5y)^2 + 5y^2 = 20$
$144 - 120y + 25y^2 + 5y^2 = 20$
$30y^2 - 120y + 124 = 0$
$15y^2 - 60y + 62 = 0$
વિવેચક $D = (-60)^2 - 4(15)(62) = 3600 - 3720 = -120$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,રેખા ઉપવલયને કોઈ વાસ્તવિક બિંદુમાં છેદતી નથી.
તેથી,બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવાની શરત સંતોષાતી નથી,અને જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' આવશે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^2+4 y^2+2 x+16 y+13=0$
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2+2x+1) + 4(y^2+4y+4) + 13 - 1 - 16 = 0$
$(x+1)^2 + 4(y+2)^2 = 4$
$4$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} = 1$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$ મળે છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $b^2 = a^2(1 - e^2)$ છે.
$1 = 4(1 - e^2)$
$1 - e^2 = \frac{1}{4}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) અહીં,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$ છે,તેથી $ae = 3$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 8$ છે,તેથી $b = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$.
$b = 4$ અને $ae = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે $16 = a^2 - (3)^2$.
$16 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{ae}{a} = \frac{3}{5}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $\frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} = 1$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (k, -1)$,$a^2 = 3$,અને $b^2 = 2$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{(1)(k)}{3} + \frac{(2)(-1)}{2} = 1$
$\frac{k}{3} - 1 = 1$
$\frac{k}{3} = 2$
$k = 6$.

(A) આપેલ સમીકરણ $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$36(x^2 - x) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y) = 119$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$36(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}) = 119 + 9 + 16$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $36(x - \frac{1}{2})^2 + 144(y - \frac{1}{3})^2 = 144$ થાય.
$144$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 1/2)^2}{4} + \frac{(y - 1/3)^2}{1} = 1$ મળે.
આ ઉપવલય (ellipse) નું સમીકરણ છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 4y) = 16$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x^2 - 2x + 1) + 5(y^2 - 4y + 4) = 16 + 9 + 20$ મળે.
આથી $9(x - 1)^2 + 5(y - 2)^2 = 45$ થાય.
$45$ વડે ભાગતા,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$ છે. $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉપવલય ઉભું છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ થાય.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}}$.
$e = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}}$.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$.